周易敏

中圖分類號：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B 文章編號：1002-7661（2016）19-106-02

一、引言

曲線在人們的生活中隨處可見，同時在人們的學(xué)習(xí)和工作中隨時都要面臨解決各類曲線的問題.曲率用來描述曲線的彎曲程度.曲線的曲率就是曲線上某點(diǎn)的切線方向角對弧長的旋轉(zhuǎn)速度.通過微分來定義，表明曲線偏離直線的程度.曲率越大，曲線的彎曲程度就越大.曲率在射影幾何當(dāng)中也有著非常重要的作用.了解曲率就要建立在認(rèn)識Frenet標(biāo)架中的三點(diǎn)三線三向量的前提下進(jìn)行.本文分別給出了各類曲率的基本概念，幾何意義和計(jì)算公式，并且對不同曲率關(guān)系進(jìn)行了討論，給出了它們之間的區(qū)別和聯(lián)系，使我們在對曲率的學(xué)習(xí)中對曲線和曲面有深一步的認(rèn)識.

二、曲線論中曲線的曲率

1、曲率的定義

我們首先研究空間曲線的曲率的概念.在不同的曲線或同一條曲線的不同點(diǎn)處，曲線彎曲的程度可能不同.為了衡量單位切向方向的變化率，需要將曲線上“動點(diǎn)的運(yùn)動速率”進(jìn)行統(tǒng)一規(guī)定.自然的想法是利用弧長參數(shù)化，考慮單位切向及其方向?qū)τ诨￠L的變化率.

要從直觀的基礎(chǔ)上引入曲率的確切的定義，我們首先注意到，曲線彎曲的程度越大，則從點(diǎn)到點(diǎn)變動時，其切向量的方向改變的越快.所以作為曲線在已知一曲線段的平均彎曲程度可取為曲線在兩端點(diǎn)間切向量關(guān)于弧長的平均旋轉(zhuǎn)角.所以我們用空間曲線在一點(diǎn)處的切向量對于弧長的旋轉(zhuǎn)速度來定義曲線在這一點(diǎn)的曲率.

四、結(jié)束語

本篇論文主要通過分兩大版塊，曲線論和曲面論，來分別介紹各大曲率的由來，基本定義以及計(jì)算公式.并且對每個曲率的幾何意義進(jìn)行了研究，給出了一些在特殊情況下曲率的特殊結(jié)論和性質(zhì).通過對一些常用的或者說是特殊的曲線和曲面進(jìn)行了單獨(dú)分析和計(jì)算，以例題的形式導(dǎo)出了它們的各個曲率的值.并且把曲率和內(nèi)蘊(yùn)量聯(lián)系在一起，分析了曲率的內(nèi)蘊(yùn)性質(zhì).對我們?nèi)蘸笪⒎謳缀蔚膶W(xué)習(xí)有一定的幫助.