楊 磊，韋喜忠，趙 峰，李勝忠

(中國(guó)船舶科學(xué)研究中心，江蘇 無(wú)錫 214082)

多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化算法研究綜述

楊 磊，韋喜忠，趙 峰，李勝忠

(中國(guó)船舶科學(xué)研究中心，江蘇 無(wú)錫 214082)

隨著多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化（Multidisciplinary Design Optimization，MDO）技術(shù)的發(fā)展，它將成為優(yōu)化設(shè)計(jì)的大趨勢(shì)。為了能夠更好地運(yùn)用 MDO 來(lái)解決船舶設(shè)計(jì)優(yōu)化問(wèn)題，本文對(duì)近年來(lái)發(fā)展的 MDO 算法進(jìn)行系統(tǒng)梳理和分類(lèi)，對(duì)發(fā)展已較成熟的幾種算法進(jìn)行簡(jiǎn)要介紹，對(duì)新發(fā)展的幾種特殊算法應(yīng)用環(huán)境、性能特點(diǎn)進(jìn)行重點(diǎn)介紹；最后，對(duì) MDO 算法研究存在的不足和今后發(fā)展趨勢(shì)提出了若干建議。

多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化；多學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化算法；算法分類(lèi)

0 引 言

現(xiàn)代工程系統(tǒng)規(guī)模越來(lái)越大、系統(tǒng)之間的交互作用越來(lái)越精細(xì)、復(fù)雜，已很難應(yīng)用傳統(tǒng)優(yōu)化方法，并通過(guò)經(jīng)驗(yàn)來(lái)協(xié)調(diào)系統(tǒng)內(nèi)部的耦合效應(yīng)。在此背景下，MDO 技術(shù)應(yīng)運(yùn)而生。MDO 是 Sobieski 等[1]在研究大型結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)優(yōu)化問(wèn)題時(shí)提出的一種耦合系統(tǒng)設(shè)計(jì)優(yōu)化方法，其基本思想是通過(guò)充分探索和利用系統(tǒng)中相互作用的協(xié)同機(jī)制來(lái)設(shè)計(jì)復(fù)雜系統(tǒng)和子系統(tǒng)[2]。MDO 方法最先在航空航天領(lǐng)域獲得研究和應(yīng)用，已初見(jiàn)成效[3-6]，隨后迅速擴(kuò)展至武器、汽車(chē)、機(jī)械、船舶等諸多領(lǐng)域。自 20 世紀(jì) 80 年代末以來(lái)，MDO 技術(shù)得到美國(guó)、俄羅斯、歐洲等國(guó)家政府機(jī)構(gòu)、企業(yè)界和學(xué)術(shù)機(jī)構(gòu)的支持和研究，MDO 作為一門(mén)正在崛起的新的工程學(xué)科，必將成為優(yōu)化設(shè)計(jì)的大趨勢(shì)[7]。

MDO 從理論層面解決了多系統(tǒng)的協(xié)同設(shè)計(jì)問(wèn)題，

MDO 算法則是這一理論的具體實(shí)現(xiàn)方法。顯然，由于設(shè)計(jì)問(wèn)題的不同，所要求的實(shí)現(xiàn)方法也就不同，從而發(fā)展了各種各具特點(diǎn)的 MDO 算法。這就要求設(shè)計(jì)研究人員對(duì)各不同 MDO 算法有一定的了解，為此，本文根據(jù)相關(guān)文獻(xiàn)，對(duì)近年來(lái)發(fā)展的 MDO 算法進(jìn)行總結(jié)，并重點(diǎn)介紹幾種特殊 MDO 算法應(yīng)用目的、分解方法及性能特點(diǎn)，為實(shí)際應(yīng)用提供參考。最后，討論了當(dāng)前 MDO 算法研究中存在的問(wèn)題，并提出了若干建議。

1 MDO 算法概述

MDO 算法又稱(chēng)為 MDO 過(guò)程、MDO 體系結(jié)構(gòu)（MDO Architecture），區(qū)別于傳統(tǒng)最優(yōu)化方法，MDO算法關(guān)注優(yōu)化過(guò)程的組織方式、耦合信息的傳遞和協(xié)同策略，而不是搜索策略本身。為便于闡述 MDO 算法原理及不同 MDO 算法的特點(diǎn)，首先給出 MDO 算法的一般數(shù)學(xué)表達(dá)形式，如式（1）所示，該式又被稱(chēng)為同時(shí)優(yōu)化算法（All-at-once，AAO）[8]。

AAO 算法對(duì)所有變量，包括設(shè)計(jì)變量、狀態(tài)變量、輸入/輸出耦合變量，進(jìn)行同時(shí)優(yōu)化，問(wèn)題規(guī)模大、收斂速度慢，實(shí)際應(yīng)用少，但是，通過(guò)對(duì)約束條件的不同處理可得到更高效的 MDO 算法。

消除 AAO 的一致性約束后，得到同時(shí)分析和設(shè)計(jì)算法（Simulation Analysis and Design，SAND），優(yōu)化問(wèn)題規(guī)模明顯減小，但學(xué)科分析控制方程求解依然困難；消除 SAND 中的 Ri= 0 學(xué)約束可得到的多學(xué)科可行法（Multidisciplinary Discipline Feasible，MDF），該算法僅需對(duì)設(shè)計(jì)變量進(jìn)行優(yōu)化，每一步迭代都能夠得到多學(xué)科可行解，但計(jì)算過(guò)程比較復(fù)雜，優(yōu)化效率不高；消除 AAO 的 Ri= 0 約束可得到單學(xué)科可行法（Individual Discipline Feasible，IDF），該算法的各子學(xué)科分析計(jì)算可并行執(zhí)行，優(yōu)化過(guò)程收斂能得到多學(xué)科可行解，應(yīng)用梯度優(yōu)化算法時(shí)，計(jì)算量大，收斂困難。

上述 4 種 MDO 算法均只有一個(gè)優(yōu)化器，所有優(yōu)化一次完成，稱(chēng)之為單級(jí)整體式 MDO 算法。這類(lèi)算法結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，容易建模實(shí)現(xiàn)，但各子學(xué)科只有“分析”沒(méi)有“優(yōu)化”，子學(xué)科缺乏優(yōu)化自主權(quán)，而實(shí)際工程系統(tǒng)總是希望各子學(xué)科的設(shè)計(jì)優(yōu)化由學(xué)科專(zhuān)家來(lái)主導(dǎo)完成?；谶@一需求，多級(jí)分布式 MDO 算法得到發(fā)展和實(shí)際應(yīng)用，其最典型的結(jié)構(gòu)是擁有一個(gè)系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化問(wèn)題和多個(gè)子系統(tǒng)優(yōu)化問(wèn)題，系統(tǒng)層與各子系統(tǒng)對(duì)整個(gè)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)具有不同程度的自由度，這種架構(gòu)與工程設(shè)計(jì)過(guò)程相吻合。對(duì)于多級(jí) MDO 算法，按照協(xié)同策略又可以將其分為基于 IDF 策略和 MDF 策略的多級(jí)分布式 MDO 算法兩大類(lèi)，前者主要通過(guò)在系統(tǒng)層設(shè)置關(guān)于耦合變量的一致性約束進(jìn)行協(xié)同；后者則通過(guò)多學(xué)科分析來(lái)滿(mǎn)足耦合變量的一致性。

按照上述分類(lèi)方法，本文對(duì)近年來(lái)發(fā)展的 MDO算法進(jìn)行歸類(lèi)整理，如圖 1 所示。其中，單級(jí) MDO 算法在上文已作簡(jiǎn)要介紹，文獻(xiàn)[9-10]中也可以找到詳細(xì)的闡述，本文將不再做進(jìn)一步闡述；多級(jí)優(yōu)化算法中，以 CO，CSSO，BLISS 的研究最多，其發(fā)展已較為成熟，本文僅對(duì)其基本原理和特性作簡(jiǎn)要介紹，重點(diǎn)研究幾種有特殊應(yīng)用要求的多級(jí) MDO 算法基本原理和特點(diǎn)。

2 多級(jí)分布式 MDO 算法

2.1 幾種典型多級(jí)分布式 MDO 算法

1）并行子空間算法（Concurrent Subspace Optimization，CSSO）[11-12]是最早提出的多級(jí)分布式 MDO 算法之一。其基本思想是將系統(tǒng)優(yōu)化問(wèn)題分解為若干個(gè)設(shè)計(jì)變量不相交的子優(yōu)化問(wèn)題，各子系統(tǒng)優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)均為原系統(tǒng)優(yōu)化問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)，各子學(xué)科只對(duì)本學(xué)科局部設(shè)計(jì)變量進(jìn)行優(yōu)化，所需的耦合輸入變量用近似模型代替。CSSO 需要進(jìn)行復(fù)雜的多學(xué)科分析（Multidisciplinary Analysis，MDA），系統(tǒng)分解要求各子學(xué)科設(shè)計(jì)變量集不相交，在工程上較難滿(mǎn)足，限制了該方法的實(shí)際應(yīng)用。

說(shuō)與妻聽(tīng)，妻說(shuō)：“誰(shuí)也逃不過(guò)，我也開(kāi)始掉頭發(fā)了?！笨刹?！每次拖地都要為了她那些落發(fā)掃了又掃，擦了又擦，揀了又揀，累到直不起腰。想當(dāng)年，妻幾次說(shuō)要剪成短發(fā)，我都大加阻攔；剪是沒(méi)剪，她卻悄悄焗過(guò)淡黃色，燙過(guò)波浪卷，我都不以為然，悄悄告訴她：“就喜歡你那一頭烏黑亮麗、柔順飄逸的長(zhǎng)發(fā)?！彼俸僖粯?lè)，沒(méi)再動(dòng)過(guò)頭發(fā)的心思。

2）協(xié)同優(yōu)化算法（Collaborative Optimization，CO）是目前研究最多、應(yīng)用研究最為廣泛的 MDO 算法[13]。其基本思想是將系統(tǒng)進(jìn)行層次分解，各子系統(tǒng)只與父系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)據(jù)交換，系統(tǒng)層目標(biāo)函數(shù)為原問(wèn)題目標(biāo)函數(shù)，各子系統(tǒng)以最小化與系統(tǒng)分配的目標(biāo)方案的差異為目標(biāo)函數(shù)，系統(tǒng)層通過(guò)一致性約束協(xié)調(diào)各子學(xué)科進(jìn)行并行優(yōu)化。CO 算法，子學(xué)科優(yōu)化自治性高，獲得工程設(shè)計(jì)師的青睞，但其系統(tǒng)優(yōu)化問(wèn)題不滿(mǎn)足KKT 最優(yōu)化條件，其數(shù)學(xué)收斂性尚未得到證明[14-15]。

3）增強(qiáng)型協(xié)同算法（Enhanced Collaborative Optimization，ECO）[16]的基本思想是將 CO 算法的系統(tǒng)層與子系統(tǒng)層目標(biāo)函數(shù)對(duì)調(diào)，增強(qiáng)各子學(xué)科對(duì)目標(biāo)函數(shù)的“影響力”。研究表明[17]，ECO 比 CO 的分析次數(shù)更少，但構(gòu)建及更新子學(xué)科模型需要增加額外的時(shí)間。

4）兩層綜合集成算法（Bilevel Integrated System Synthesis，BLISS）[18]將設(shè)計(jì)變量分為全局（系統(tǒng)）設(shè)計(jì)變量和學(xué)科局部設(shè)計(jì)變量，應(yīng)用泰勒展開(kāi)式構(gòu)造原問(wèn)題目標(biāo)函數(shù)近似式，利用梯度指導(dǎo)的方法，交替優(yōu)化全局設(shè)計(jì)變量和學(xué)科局部設(shè)計(jì)變量，直到獲得系統(tǒng)最優(yōu)解。這一過(guò)程需進(jìn)行大量的偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算，優(yōu)化計(jì)算成本高，通過(guò)采用響應(yīng)面方法、Kring 方法可得到緩解。

5）目標(biāo)分流法（Analytical Target Cascading，ATC）[19]的基本思想是將系統(tǒng)設(shè)計(jì)要求，包括目標(biāo)函數(shù)、約束條件，按照層次系統(tǒng)由上到下逐級(jí)傳遞到子系統(tǒng)，各子系統(tǒng)圍繞系統(tǒng)設(shè)計(jì)要求對(duì)各學(xué)科局部設(shè)計(jì)變量進(jìn)行優(yōu)化，直到獲得滿(mǎn)足目標(biāo)的設(shè)計(jì)方案，若無(wú)法完全滿(mǎn)足目標(biāo)值，則返回最接近目標(biāo)的設(shè)計(jì)方案，ATC 與 CO 算法思想相似。目前，關(guān)于ATC算法的性能研究，目前尚不多，但已在汽車(chē)、橋梁、飛機(jī)、船舶等領(lǐng)域開(kāi)展應(yīng)用研究。

2.2 幾種特殊的多級(jí)分布式 MDO 算法

2.2.1 精確和非精確懲罰分解算法

若 MDO 問(wèn)題中沒(méi)有系統(tǒng)約束 c0或系統(tǒng)目標(biāo)函數(shù)f0，可以應(yīng)用 EPD 或 IPD 算法[20]，其子學(xué)科 i 優(yōu)化問(wèn)題定義如下式所示：

其中：Φi為關(guān)于學(xué)科 i 與系統(tǒng)層之間不一致性的懲罰函數(shù)。在 EPD 中，Φi為關(guān)于耦合變量的線性懲罰函數(shù)；在 IPD 中，Φi為關(guān)于耦合變量的、帶權(quán)重因子的二次非線性懲罰函數(shù)。

EPD 和 IPD 的系統(tǒng)優(yōu)化問(wèn)題相同，它是以最小化各子系統(tǒng)懲罰函數(shù) Φi之和為目標(biāo)的無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題，如下式所示：

其中：ωi為懲罰函數(shù)的權(quán)重因子，它由系統(tǒng)優(yōu)化器進(jìn)行更新，當(dāng) ωi趨于無(wú)窮大，而系統(tǒng)目標(biāo)函數(shù)值不變（或增加量小于某給定小數(shù)）時(shí)，則表示優(yōu)化過(guò)程收斂。DeMiguel 等[21]在數(shù)學(xué)上已證明了 IPD 和 EPD 的收斂性，其研究也表明，IPD 和 EPD 的計(jì)算量隨共享耦合變量的增加而增加。

2.2.2 獨(dú)立子空間 MDO 算法

若 MDO 問(wèn)題沒(méi)有系統(tǒng)約束 c0或系統(tǒng)目標(biāo) f0，同時(shí)不存在共享設(shè)計(jì)變量 x0，則可以采用獨(dú)立子空間MDO 算法（MDO of Independent Subspace，MDOIS）[22]。這種情況下，各學(xué)科之間只存在輸入、輸出耦合，各學(xué)科優(yōu)化問(wèn)題可完全分離，學(xué)科 i 優(yōu)化問(wèn)題可定義如下：算模塊直接進(jìn)行優(yōu)化；而需要進(jìn)行高精度分析的學(xué)科則由系統(tǒng)層進(jìn)行優(yōu)化，其系統(tǒng)及子系統(tǒng)優(yōu)化問(wèn)題定義如式（5）和式（6）所示，其中，k 表示需要進(jìn)行高精度分析的學(xué)科。

MDOIS 的最大特點(diǎn)是，不存在系統(tǒng)優(yōu)化問(wèn)題。如圖 3 所示，它是通過(guò) MDA 過(guò)程來(lái)引導(dǎo)各學(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化過(guò)程，當(dāng) MDA 過(guò)程收斂時(shí)，即獲得系統(tǒng)最優(yōu)解，它屬于分布式 MDF 算法。研究表明，在滿(mǎn)足假定條件的前提下，MDOIS 均能獲得最優(yōu)解[23]；基準(zhǔn)試驗(yàn)研究發(fā)現(xiàn)，在很多數(shù)情況下，獲得同樣的最優(yōu)解，MDOIS比 MDF 過(guò)程所需的分析次數(shù)還要少，但在應(yīng)用的靈活性上卻不及后者[24]。

2.2.3 異步子空間法

若在 MDO 過(guò)程中，不同學(xué)科進(jìn)行分析計(jì)算時(shí)所耗時(shí)間相差很大時(shí)，例如，在進(jìn)行飛機(jī)機(jī)翼構(gòu)型優(yōu)化時(shí)，涉及空氣動(dòng)力學(xué)分析、結(jié)構(gòu)力學(xué)分析，前者分析所需時(shí)間通常要比后者高一個(gè)數(shù)量級(jí)，為減少總的優(yōu)化時(shí)間，可應(yīng)用異步子空間法（Asymmetric Subspace Optimization, ASO）[25]。為了減少高精度分析計(jì)算的次數(shù)，用基于低精度分析方法的優(yōu)化模塊替換原分析計(jì)

ASO 算法屬于分布式 MDF 算法，有復(fù)雜的 MDA過(guò)程，相應(yīng)的，需要進(jìn)行系統(tǒng)靈敏度計(jì)算，可應(yīng)用耦合優(yōu)化后靈敏度方程來(lái)計(jì)算[26]，也可應(yīng)用耦合伴隨方程[27]計(jì)算。飛機(jī)機(jī)翼的 MDO 應(yīng)用研究表明，應(yīng)用ASO 算法不僅大幅減少了空氣動(dòng)力學(xué)分析計(jì)算的次數(shù)，甚至一定程度上還減少了結(jié)構(gòu)分析計(jì)算的次數(shù)；2個(gè)學(xué)科分析計(jì)算耗時(shí)差距越大，總的分析計(jì)算次數(shù)減少越明顯，ASO 過(guò)程的分析次數(shù)也越接近 MDF 過(guò)程。也即是說(shuō)，只有當(dāng) 2 個(gè)學(xué)科分析計(jì)算時(shí)間相差很大時(shí)，ASO 算法才具有優(yōu)勢(shì)。

3 結(jié) 語(yǔ)

本文對(duì)近年來(lái) MDO 算法研究成果進(jìn)行較為系統(tǒng)的歸納總結(jié)，對(duì)主要 MDO 算法，特別是一些新的、有特殊應(yīng)用環(huán)境的 MDO 算法進(jìn)行重點(diǎn)介紹，對(duì)其特點(diǎn)及性能特點(diǎn)進(jìn)行了分析評(píng)述，可為 MDO 算法的工程應(yīng)用研究及創(chuàng)新 MDO 算法發(fā)展提供支撐和導(dǎo)向。

MDO 算法研究已經(jīng)取得了豐碩的成果，為工程應(yīng)用提供了更多的選擇，但同時(shí)又帶來(lái)新的挑戰(zhàn)：即面對(duì)給定的 MDO 問(wèn)題，選擇哪一種 MDO 算法，建模更快捷、優(yōu)化效率更高、優(yōu)化質(zhì)量更好，也就是說(shuō)，需要了解不同 MDO 算法對(duì)于特定問(wèn)題的解決能力。然而，由于不同研究人員實(shí)現(xiàn)同一算法的方式、計(jì)算環(huán)境、測(cè)試算例存在差異，特別是研究人員對(duì)算法的熟悉程度或偏好不同，都容易引起評(píng)估結(jié)果出現(xiàn)偏差，甚至相互矛盾。為客觀起見(jiàn)，應(yīng)盡可能在一套規(guī)范的方法和流程下，對(duì)不同 MDO 算法進(jìn)行對(duì)比研究，從而準(zhǔn)確把握不同 MDO 算法的應(yīng)用要求和性能特點(diǎn)，這類(lèi)似于船舶水動(dòng)力性能試驗(yàn)研究中的標(biāo)模基準(zhǔn)試驗(yàn)研究，本文稱(chēng)之為“MDO 算法基準(zhǔn)試驗(yàn)研究”，國(guó)內(nèi)外在該領(lǐng)域已開(kāi)展了一些研究[28-32]，但在以下 2 個(gè)方面還需做進(jìn)一步的深入研究：

1）基準(zhǔn)測(cè)試算例簡(jiǎn)單，不利于評(píng)估 MDO 算法在處理大規(guī)模工程問(wèn)題時(shí)的性能。目前發(fā)展的基準(zhǔn)測(cè)試算例大多為簡(jiǎn)化后的工程設(shè)計(jì)模型，維度低、分析模型簡(jiǎn)單、計(jì)算復(fù)雜度低，而實(shí)際工程系統(tǒng)設(shè)計(jì)變量、約束模型可能達(dá)到 103量級(jí)，一次學(xué)科分析可能需要花費(fèi)幾小時(shí)甚至幾十小時(shí)，這些分析計(jì)算還可能是由不同的計(jì)算機(jī)采用不同的程序或軟件完成，而 MDO算法表現(xiàn)的性能又與問(wèn)題規(guī)模密切相關(guān)[33]。因此，應(yīng)進(jìn)一步開(kāi)展具有大工程系統(tǒng)特征的基準(zhǔn)測(cè)試算例研究。

2）MDO 基準(zhǔn)試驗(yàn)研究針對(duì)的對(duì)象過(guò)于集中，不利于新算法的推廣應(yīng)用。從發(fā)表的文獻(xiàn)來(lái)看，目前的MDO 基準(zhǔn)試驗(yàn)比較研究大多是針對(duì) MDF，IDF，CO，CSSO 等少數(shù)幾種發(fā)展時(shí)間較長(zhǎng)、已較成熟的算法，而對(duì) ASO，MDOIS 等新算法的對(duì)比研究鳳毛麟角，不利于新算法的推廣應(yīng)用。

另外，面向復(fù)雜大系統(tǒng)的 MDO 算法應(yīng)用及新算法開(kāi)發(fā)研究將是今后 MDO 算法研究的重要方向。當(dāng)設(shè)計(jì)系統(tǒng)的規(guī)模大到一定程度時(shí)，MDO 算法建模的復(fù)雜性、收斂性、穩(wěn)定性等性能可能發(fā)生根本性的改變，因此，今后的 MDO 算法研究應(yīng)更緊密地結(jié)合實(shí)際工程大系統(tǒng)，而不是僅局限于一些數(shù)學(xué)算例或工程概念設(shè)計(jì)階段的簡(jiǎn)單問(wèn)題。

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Review of the multidisciplinary design optimization algorithm

YANG Lei, WEI Xi-zhong, ZHAO Feng, LI Sheng-zhong
(China Ship Scientific Research Center, Wuxi 214082, China)

With the development of the Multidisciplinary Design Optimization (MDO) technology, it will become the general trend of the optimization in the future. For a better use of MDO to solve ship design problem, this paper provided a survey and classification of the main MDO algorithms that have been present in recent literatures. A brief introduction was carried out for some developed MDO algorithms, but a more details of the application environment as well as performance features were present here for several developing ones. Finally, a discussion on the drawback and develop trend of MDO algorithm were performed, and several suggestions were given.

MDO；MDO algorithm；MDO algorithm classification

U662

A

1672 - 7619(2017)02 - 0001 - 05

10.3404/j.issn.1672 - 7619.2017.02.001

2016 - 07 - 27；

2016 - 10 - 25

楊磊(1980 - )，男，博士研究生，研究方向?yàn)榇靶阅芏鄬W(xué)科設(shè)計(jì)優(yōu)化。