喬　彤，章　光，胡少華,3，趙順利

(1. 武漢理工大學(xué) 資源與環(huán)境工程學(xué)院，湖北 武漢 430070；2. 安全預(yù)警與應(yīng)急聯(lián)動技術(shù) 湖北省協(xié)同創(chuàng)新中心，湖北 武漢 430070；3. 武漢大學(xué) 水資源與水電工程科學(xué)國家重點試 驗室，湖北 武漢 430072；4. 黃河勘測規(guī)劃設(shè)計有限公司，河南 鄭州 450003)

0　引言

當(dāng)前經(jīng)濟社會的迅速發(fā)展使得我國巖石力學(xué)與工程開始向深部進軍，未來深地下空間利用、深部資源開采將成為常態(tài)。例如，我國礦產(chǎn)資源開采已逐步進入1 000～2 000 m深水平、西南地區(qū)大型水利水電工程地下硐室埋深普遍在高地應(yīng)力地區(qū)、地下核廢料處置庫預(yù)選處置庫大多埋深在500 m以上，伴隨而來的是巖體面臨高地應(yīng)力、高地溫、高滲透水壓的復(fù)雜深地質(zhì)賦存環(huán)境。因此，準確掌握巖石在復(fù)雜環(huán)境作用下的變形與強度特性是深部巖體工程安全迫切需要解決的基礎(chǔ)性問題之一。

深部巖石力學(xué)工程圍巖以脆性巖石為主，最常見的有花崗巖、石英閃長巖等，因此脆性巖石的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系引起了廣大學(xué)者的濃厚興趣，是近二十年來深部巖石力學(xué)研究最活躍的課題。E. Eberhardt等[1]在總結(jié)Brace和Bieniawski[2]關(guān)于脆性巖石應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系研究成果基礎(chǔ)上，從裂紋發(fā)展的角度提出圖1所示的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線，其定性的描述了不同階段裂紋行為狀態(tài)與脆性巖石應(yīng)力-應(yīng)變之間的關(guān)系，主要包括微裂紋壓密段、線彈性階段、微裂紋穩(wěn)定擴展階段、微裂紋不穩(wěn)定擴展階段以及峰后階段，從機理角度闡釋巖石的本構(gòu)關(guān)系曲線的特征，但是限于巖石裂紋行為的復(fù)雜性，并未建立對應(yīng)的本構(gòu)模型。

為了使脆性巖石的本構(gòu)模型更加貼近實際，一些基于巖石斷裂力學(xué)與裂紋行為狀態(tài)的本構(gòu)模型先后提出，Y.L. Lu等[3]基于傳統(tǒng)的連續(xù)介質(zhì)模擬方法和流體力學(xué)耦合理論，提出了雙尺度模型，用以解決巖石斷裂耦合過程中水力耦合問題；周小平等[4]則根據(jù)巖石不同階段的應(yīng)變特征，將圍壓狀態(tài)分為低壓、中壓、高壓3種狀態(tài)，分別建立基于裂紋擴展貫通機制的本構(gòu)模型；Hui-Hai Liu等[5]受自然應(yīng)變和工程應(yīng)變的啟發(fā)，將巖石分為裂隙為主的軟部和基質(zhì)為主的硬部，得到兩者串聯(lián)的本構(gòu)模型；袁小清等[6]認為脆性巖石的原始狀態(tài)的損傷由于宏微觀裂紋的存在，其值并不為零，從而將初始損傷的概念加入了本構(gòu)模型的研究中；朱其志等[7]則進一步發(fā)展了熱動力理論，將脆性巖石進行一定的均質(zhì)化處理，并發(fā)展出了一種適用于脆性巖石非線性力學(xué)行為模擬的新型本構(gòu)模型；區(qū)別于大多數(shù)的研究，劉紅巖等[8]的研究重點主要是脆性巖石的動態(tài)損傷過程，更進一步的推廣了斷裂力學(xué)的應(yīng)用范圍。

雖然脆性巖石本構(gòu)模型的研究引入斷裂力學(xué)和裂紋行為狀態(tài)的研究，但針對巖石微裂紋壓密段的解析方程更多的停留在經(jīng)驗公式[9]。陳益峰等[10]提出的THM本構(gòu)模型中考慮了微裂紋壓密段，但僅僅是單裂隙結(jié)構(gòu)的簡單推廣；榮冠等[11]基于柔度變形法推導(dǎo)出同時適合耦合和非耦合節(jié)理法向變形的g-λ模型；彭俊等[12]根據(jù)經(jīng)驗提出微裂紋壓密段的本構(gòu)模型，但是參數(shù)的物理意義指向不明，限制了進一步推廣。為此，本文引入自然應(yīng)變的概念，從單裂隙在法向荷載作用下的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系出發(fā)，推導(dǎo)并建立了物理意義明確的微裂紋壓密段的本構(gòu)模型，然后將其和線彈性階段的本構(gòu)模型進行了統(tǒng)一。在此基礎(chǔ)上，通過花崗巖的熱-力耦合試驗對本文提出的脆性巖石微裂紋壓密段本構(gòu)模型的合理與適用性進行了驗證。

圖1　巖石應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線Fig.1　Stress strain relationship of rock

1　脆性巖石微裂紋壓密段本構(gòu)模型研究

1.1　單裂隙法向應(yīng)變

脆性巖石在應(yīng)力加載初期，隨著應(yīng)力增加，應(yīng)力-應(yīng)變曲線呈下凹型，表現(xiàn)出明顯的微裂紋壓密行為，為闡明微裂紋壓密階段脆性巖石的力學(xué)特征，本文首先研究單裂隙在法向荷載作用下的變形過程。

圖2　巖石單裂隙Fig.2　Rock structure with single fracture

對于圖2所示巖石單裂隙，在上下表面受均布法向應(yīng)力σ作用，并假定巖石為均質(zhì)材料，根據(jù)Hook定律可得:

dσ=Kdεv,t

(1)

式中：K為法向剛度；εv,t為法向自然應(yīng)變或真實應(yīng)變，其定義式如下：

(2)

式中：L為巖石結(jié)構(gòu)在當(dāng)前應(yīng)力狀態(tài)下的長度，在式(1)、(2)中，文中以壓縮為正。

目前多數(shù)研究成果中，在應(yīng)用Hook定律時多采用如下的形式[13]：

(3)

式中：L0為沒有應(yīng)力作用時巖石結(jié)構(gòu)的初始法向長度；εv,e為法向工程應(yīng)變，也是目前最多采用的表達方式。當(dāng)針對法向工程應(yīng)變εv,e與法向應(yīng)力σ采用公式(3)所示的Hook定律時，其初始條件滿足σ=0，L=L0。據(jù)此可得：

(4)

同理，當(dāng)自然應(yīng)變εv,t采用公式(2)中的Hook定律時，可得法向長度L與法向應(yīng)力σ的函數(shù)關(guān)系如式(5):

(5)

基于公式(4)和(5)，定義σ/K為應(yīng)力剛度比，分別繪制應(yīng)力剛度比σ/K與法向長度L關(guān)系圖(見圖3)。通過圖中不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)應(yīng)力剛度比較小時(σ/K<0.1)，公式(4)和公式(5)基本上是等價的。對于脆性完整的巖石而言，其剛度量級一般可以達到10～50 GPa，對應(yīng)的單軸抗壓強度一般為100～300 MPa，應(yīng)力剛度比均滿足σ/K<0.1的條件，因此選用形式更簡單的公式(4)可以較好的表達其變形特征。隨著σ/K的增大，公式(4)與公式(5)出現(xiàn)了明顯的偏離。Freed[14]在回顧前人自然應(yīng)變研究基礎(chǔ)上，提出自然應(yīng)變較工程應(yīng)變能更精確的描述材料的變形特性，因此對于法向剛度較小的材料(流體、斷層帶、大尺度裂隙、軟土等)不適宜采用公式(4)。

在法向應(yīng)力作用下，巖塊的變形特征可用公式(4)描述，但是裂隙結(jié)構(gòu)的變形特征需要通過公式(5)進行精確描述?？傻萌缦鹿?

L0=Lc0+Lr0

(6)

dL=dLc+dLr

(7)

式中：L0為巖石結(jié)構(gòu)的整體初始法向長度；Lr0為巖塊初始法向長度；Lc0為裂隙初始法向長度；L為某一應(yīng)力狀態(tài)下的巖石結(jié)構(gòu)的整體初始法向長度；Lr為某一應(yīng)力狀態(tài)下的巖塊初始法向長度；Lc為某一應(yīng)力狀態(tài)下的裂隙初始法向長度。

將公式(4)、(5)代入(6)、(7)中，可得整體法向長度L的表達式：

(8)

圖3　應(yīng)力剛度比與法向長度Fig.3　Stress stiffness ratio versus normal length

通過式(8)可進一步求出巖石整體的法向變形量ΔL和采用常用的工程應(yīng)變定義的εe：

(9)

(10)

式中：Kr和Kc分別為巖塊和裂隙的法向剛度；nr和nc為工程應(yīng)變中巖塊工程應(yīng)變和裂隙工程應(yīng)變所占的比例因子，其定義式如式(11)所示：

(11)

通過式(9)、(10)可以發(fā)現(xiàn)，傳統(tǒng)意義上的變形量與應(yīng)變實際上由2部分組成：剛度較大的巖塊部分，其應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系可以用線性關(guān)系較好的表達；剛度較小的裂隙部分，其應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系可以用負指數(shù)模型表達。

1.2　標準試樣壓密段應(yīng)力-應(yīng)變

室內(nèi)進行巖石力學(xué)試驗，多采用圓柱形試樣，包含有多種裂隙等低剛度結(jié)構(gòu)和巖石顆粒、孔隙等高剛度結(jié)構(gòu)，如圖4中的巖石試樣模型所示。對于常規(guī)三軸試驗中的巖石，其應(yīng)力狀態(tài)可用圖5來表示，真實狀態(tài)下的應(yīng)力狀態(tài)可分解為靜水壓力狀態(tài)和偏應(yīng)力狀態(tài)。在具體的室內(nèi)三軸壓縮試驗過程中，靜水壓力狀態(tài)被認為是應(yīng)變的起始測量點，其巖石試樣產(chǎn)生的應(yīng)變主要為偏應(yīng)力狀態(tài)下產(chǎn)生的應(yīng)變。

圖4　巖石試樣結(jié)構(gòu)Fig.4　Rock sample structure diagram

圖5　應(yīng)力狀態(tài)分解Fig.5　Stress state decomposition

任取巖石中任意角度的單裂隙為分析對象，如圖6所示。裂紋上下表面面積相等，為Si；裂紋長度為2ci；裂紋面方向與最大主應(yīng)力方向夾角為βi。將裂紋投影到與最大主應(yīng)力垂直的方向上和與最大主應(yīng)力平行方向上，因此裂紋可用圖7簡化的表示。因裂紋為低剛度結(jié)構(gòu)，因此應(yīng)用公式(5)可得與最大主應(yīng)力垂直的方向上投影后裂紋法向方向變形量如下：

(12)

式中：L0i為投影裂隙的初始長度。通過式(12)可進一步得出，圖6中裂隙在最大主應(yīng)力方向上對試樣整體應(yīng)變的貢獻。同時將裂隙的變形在巖樣的尺度上進行均布化處理，可得公式(13)：

圖6　巖石結(jié)構(gòu)中單裂隙分析對象Fig.6　Analysis object of single fracture in rock structure

圖7　巖石結(jié)構(gòu)原生裂紋簡化模型Fig.7　Simplified model of rock structure primary crack

(13)

式中：L0為試樣的初始長度；S0為試樣的初始截面積；V0為試樣的初始體積；Vi為裂紋投影后的體積；εi為均布化后的裂隙對試樣整體應(yīng)變貢獻量。

通過式(13)可以發(fā)現(xiàn)，對于具有相同剛度Kj的裂紋系，其對試樣的整體的應(yīng)變可用式(14)表示：

(14)

式中：εj為裂紋系對試樣整體應(yīng)變的貢獻量；N為具有相同剛度Kj的裂紋系中裂紋數(shù)目；Vj為裂紋系的中裂紋投影體積之和。進一步定義比例因子nj=Vj/V0，可以發(fā)現(xiàn)nj是一個與裂紋體積密切相關(guān)的量。此時式(14)可用式(15)表示：

(15)

最大主應(yīng)力平行方向上的投影裂隙難以被壓縮，其性質(zhì)類似于巖石中孔洞。因此可認為是高剛度結(jié)構(gòu)。

巖石試樣中同樣存在有其他剛度的裂紋系以及非裂紋低剛度結(jié)構(gòu)。其在最大主應(yīng)力方向上的應(yīng)變均可以用式(15)表示。對于高剛度的巖石成分，如巖石顆粒，其應(yīng)變可用公式(5)求得，巖石試樣中高剛度成分在最大主應(yīng)力方向上的應(yīng)變表達式如式(16)：

(16)

設(shè)巖石中共有a種高剛度成分，b種低剛度成分。則巖石的應(yīng)變ε可用式(17)表示：

(17)

(18)

考慮式(17)中的高剛度項和低剛度項。高剛度項的應(yīng)變與偏應(yīng)力呈線性關(guān)系，主要與巖石的線彈性階段有關(guān)；低剛度項的應(yīng)變主要表現(xiàn)為隨著偏應(yīng)力增加，其迅速減小。同樣根據(jù)式(18)可以得出巖石試樣的彈性模量E如下：

(19)

通過式(19)可以發(fā)現(xiàn)，低剛度部分對彈性模量的影響已經(jīng)很小，并且對于一般脆性巖石而言，低剛度成分遠小于高剛度成分的含量，對于巖石的應(yīng)力-應(yīng)變曲線而言，其線彈性階段的應(yīng)力-應(yīng)變曲線的彈性模量可近似用下式表示：

(20)

通過式(20)不難看出，巖石高剛度的成分的初始體積含量和剛度的數(shù)值直接決定了彈性模量的大小。

1.3　壓密段本構(gòu)模型的簡化

公式(17)用以計算巖石壓密段應(yīng)變時，具有較大的困難，不同巖石的低剛度成分和高剛度成分具有難以確定的難題。因此需要對公式(17)進行適當(dāng)?shù)暮喕喕攸c是負指數(shù)項，巖石中低剛度成分較為復(fù)雜，完全表達出來則會導(dǎo)致公式(17)適用性大大降低。對于脆性巖石，如果其低剛度成分中某一種成分占據(jù)主導(dǎo)地位，如熱損傷造成的裂紋，則公式(17)可簡化為一種低剛度材料。簡化后的公式如下：

(21)

式中：Kc為巖石微裂紋法向剛度；n為微裂紋在與最大主應(yīng)力方向垂直方向上的投影體積比，對于各向同性的巖石材料，n為微裂紋體積比的一半。

為進一步研究裂紋剛度對脆性巖石應(yīng)力-應(yīng)變曲線的影響，取彈性模量E=20 Pa，投影體積比n=1%，通過式(21)繪制不同裂紋法向剛度下的應(yīng)力-應(yīng)變曲線(如圖8所示)。

圖8　裂紋法向剛度對應(yīng)力-應(yīng)變曲線的影響Fig.8　The influence of normal stiffness of crack on stress-strain curve

通過圖8可以發(fā)現(xiàn)，隨著裂紋法向剛度的增加，應(yīng)力-應(yīng)變曲線的壓密段逐漸縮小，當(dāng)裂紋法向剛度達到200 MPa時，已難以辨別微裂紋壓密段，目前部分研究人員采用微裂紋閉合應(yīng)力表示微裂紋完全壓縮，但是微裂紋閉合應(yīng)力往往難以確定，尤其是當(dāng)微裂紋法向剛度較大時常存在較大誤差[1,15-16]。從圖8中還可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)微裂紋剛度較小時，彈性模量呈現(xiàn)出隨著法向剛度增加減小的趨勢，當(dāng)微裂紋的法向剛度進一步增加時，彈性模量呈現(xiàn)出增加的趨勢，事實上巖石真正的高剛度成分的彈性模量是基本保持不變的，微裂紋法向剛度繼續(xù)增加時，其在一定程度上可以歸為高剛度成分，此時脆性巖石將不存在微裂紋壓密段。

對于一般的脆性巖石，微裂紋法向剛度通常情況下為相對小值，隨著微裂紋剛度增加，彈性模量會出現(xiàn)一定程度的減小。

式(21)可同時表達壓密段和線彈性段，因此用式(21)去表達巖石應(yīng)力-應(yīng)變曲線，能夠更為準確體現(xiàn)出脆性巖石高剛度材料特性，微裂紋性質(zhì)也能得到較好的表達，更為重要是避免了微裂紋閉合應(yīng)力的確定難題。對于具體的巖石試驗，式(21)表達的是軸向變形，對于環(huán)向應(yīng)變而言，因不存在微裂紋的壓密過程，其應(yīng)力-應(yīng)變特征可以通過線性去表達。用ε1c和ε2c分別表達微裂紋壓密段及線彈性段的軸向應(yīng)變和環(huán)向應(yīng)變，則其應(yīng)力-應(yīng)變可用式(22)表示：

(22)

式中：υ為巖石高剛度材料泊松比。

2　花崗巖熱-力耦合室內(nèi)試驗研究

2.1　試樣制備及試驗過程

為了驗證式(22)所示本構(gòu)模型的適用性，設(shè)計花崗巖熱-力耦合室內(nèi)試驗。試驗選用φ50 mm×100 mm的圓柱形標準試件。試驗處理溫度為室溫，200，400，600，800，900，1 000 ℃ 7種，圍壓為0，5，10，15 MPa。試驗過程如下：首先將花崗巖試樣放入到馬弗爐中開始熱處理，設(shè)定升溫速率為5℃/min，當(dāng)溫度升高到設(shè)定溫度時，設(shè)定熱處理溫度恒溫4 h，保證花崗巖試樣充分受熱；停止加熱后令試樣自然冷卻至室溫，然后將其封裝至三軸壓縮試驗儀上，給試樣施加圍壓至所需值；然后給試樣施加軸壓，當(dāng)試樣發(fā)生明顯應(yīng)力降時，停止加載，記錄并整理相關(guān)試驗數(shù)據(jù)。

2.2　試驗結(jié)果

通過熱-力耦合試驗，獲得不同圍壓、不同熱處理溫度下的應(yīng)力-應(yīng)變曲線如圖9所示。由圖可知，隨著溫度的升高，巖石試樣微裂紋壓密段逐漸顯現(xiàn)，圍壓會在一定程度上抑制微裂紋壓密段的發(fā)展；花崗巖在低溫低圍壓條件下，表現(xiàn)出明顯的脆性破壞特征，其破壞規(guī)律呈現(xiàn)出明顯的高溫劣化特性，破壞和峰值強度迅速下降。隨著熱處理溫度和圍壓的升高，花崗巖試樣逐漸向延塑性轉(zhuǎn)化。

圖9　不同圍壓條件下的應(yīng)力-應(yīng)變曲線Fig.9　Stress versus strain curves under different confining pressures

3　脆性巖石微裂紋壓密段本構(gòu)模型驗證

3.1　模擬參數(shù)確定

模型參數(shù)取值如表1所示，其中E取試樣三軸壓縮應(yīng)力-應(yīng)變曲線彈性階段的彈性模量，其余參數(shù)裂紋體積比n、裂紋剛度Kc通過最佳曲線擬合得到。由表中結(jié)果可知，在室溫條件下，彈性模量E在37.74～51.61 GPa，裂紋體積比n在0.71～1.50%，裂紋剛度Kc在19.56～38.87 GPa之間，說明在高溫預(yù)處理之前，花崗巖試樣以高剛度成分為主；隨著熱處理溫度升高，花崗巖試樣的裂紋增多、剛度劣化，開始向低剛度成分轉(zhuǎn)化，在1 000 ℃時，彈性模量E減小到3.82～21.69 GPa，裂紋體積比n增加到6.45～7.78%，裂紋剛度Kc減小到4.10～28.79 GPa之間。

表1　熱-力耦合作用下本構(gòu)模型驗證參數(shù)

續(xù)表1

3.2　模型驗證結(jié)果

將第2節(jié)試驗中壓密段和線彈性段的軸壓和圍壓數(shù)據(jù)代入確定參數(shù)后的模型，計算得到相應(yīng)的應(yīng)變數(shù)據(jù)模擬值。圖10給出了熱處理溫度從室溫至1 000 ℃、圍壓為0，5，10，15 MPa下花崗巖三軸壓縮試驗與數(shù)值結(jié)果對比。由圖可見，本文提出的脆性巖石微裂紋壓密段本構(gòu)模型能夠非常好的描述不同熱處理溫度、不同圍壓下花崗巖的壓縮壓密段、線彈性段試驗結(jié)果，反映了初始階段花崗巖巖石試樣中低剛度成分的裂隙被壓縮這一顯著變形特征，同時對于脆性巖石的高溫劣化性和圍壓對壓密段的抑制作用也有很好的體現(xiàn)。相較于Hui-Hai Liu等[5]、袁小清等[6]、彭俊等[12]提出的脆性巖石本構(gòu)模型，本文模型中各參數(shù)均是在經(jīng)典的裂紋模型基礎(chǔ)上直接推導(dǎo)而來，物理意義明確，對巖石試樣三軸壓縮應(yīng)力-應(yīng)變過程壓密段的模擬更為準確，且只有彈性模量E、裂紋體積比n和裂紋剛度Kc3個參數(shù)，容易從試驗曲線獲取。本文提出的脆性巖石微裂紋壓密段本構(gòu)模型，對深入掌握脆性巖石的強度規(guī)律具有一定的指導(dǎo)意義。

圖10　熱-力耦合試驗?zāi)M成果驗證Fig.10　Validation of thermal mechanical coupling test simulation results

4　結(jié)論

1)引入自然應(yīng)變的概念，建立物理意義明確的脆性巖石微裂紋壓密段本構(gòu)模型，并將其簡化后與線彈性階段的本構(gòu)模型進行統(tǒng)一。模型共有3個參數(shù)，均可通過三軸壓縮試驗獲取。

2)將脆性巖石微裂紋壓密段本構(gòu)模型模擬結(jié)果與花崗巖熱-力耦合試驗結(jié)果對比發(fā)現(xiàn)，模型能夠描述不同熱處理溫度、不同圍壓下花崗巖的壓密段、線彈性段試驗結(jié)果，驗證了模型的合理性。

3)花崗巖熱-力耦合試驗表明脆性巖石具有明顯的高溫劣化性，圍壓對壓密段具有抑制作用，本文所提出的模型能體現(xiàn)這些特性。

4)今后可在脆性巖石微裂紋壓密段本構(gòu)模型的基礎(chǔ)上，進一步探討微裂紋穩(wěn)定擴展階段和不穩(wěn)定擴展階段，建立應(yīng)力-應(yīng)變?nèi)^程本構(gòu)模型。

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