陜西省府谷中學(xué)(719499)

張 升●

一道題的錯解剖析與正解

陜西省府谷中學(xué)(719499)

張 升●

對于帶有附加條件的代數(shù)式的取值范圍問題，往往由于考慮不周，忽視隱含條件而得出一些貌似正確而實(shí)質(zhì)是錯誤的解法.對于這些錯誤不易發(fā)現(xiàn)，以至以后不斷再犯同樣的錯誤.本文試通過一道題的各種錯解，剖析其錯誤之處，然后加以改正，以增強(qiáng)同學(xué)們的思辯能力，準(zhǔn)確掌握數(shù)學(xué)知識，進(jìn)而提高數(shù)學(xué)素養(yǎng).

題目 設(shè)x、y是實(shí)數(shù)，x2+xy+y2=1,求p=-x2+xy-y2的取值范圍.

剖析 用x2+y2≥2xy只能求得最大值或只能求得最小值，而不能同時求得最大值又求得最小值.應(yīng)注意基本不等式的其它形式.

剖析 非負(fù)數(shù)的表達(dá)形式是多種多樣的，以上的(x+y)2≥0只是非負(fù)數(shù)的一種形式，非負(fù)數(shù)還有其它形式.

錯解4 (泛用判別式)

(p+1)x2+(p-1)xy+(p+1)y2=0.

剖析 上述結(jié)果雖然與正確答案相同，但解題過程中有不嚴(yán)謹(jǐn)之處.如：y是否可能為零？p是否可能為-1？

正解 同上得(p+1)x2+(p-1)xy+(p+1)y2=0.

由x2+xy+y2=1知x、y不同時為零.又由x、y的對稱性，不妨設(shè)y≠0.上式兩邊同時除以y2，得

(1)當(dāng)p+1=0時，p=-1,x=0，此時y=±1.

在進(jìn)行專題復(fù)習(xí)時，應(yīng)避免題海戰(zhàn)術(shù)，而選擇那些典型題目，引導(dǎo)學(xué)生對常見的各種錯解加以剖析，深入挖掘，探索出多種新穎而富于創(chuàng)造性的解法.這對活躍課堂教學(xué)，提高復(fù)習(xí)效果，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)具有重要作用，這完全符合新課標(biāo)所倡導(dǎo)的教學(xué)理論.

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1008-0333(2017)07-0036-01