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        二項(xiàng)分布與超幾何分布的數(shù)學(xué)期望研究

        2017-04-15 01:27:18北京101中學(xué)100091
        數(shù)理化解題研究 2017年7期
        關(guān)鍵詞:件產(chǎn)品二項(xiàng)分布概率模型

        北京101中學(xué)(100091)

        方雯琪●

        二項(xiàng)分布與超幾何分布的數(shù)學(xué)期望研究

        北京101中學(xué)(100091)

        方雯琪●

        二項(xiàng)分布、超幾何分布是比較重要離散型分布,而它們之間不僅有聯(lián)系,還有存在區(qū)別,二項(xiàng)分布與超幾何分布的數(shù)學(xué)期望是反映隨機(jī)變量的一種非常重要的數(shù)字特征.因此,作為學(xué)生,我們應(yīng)熟練掌握二項(xiàng)分布數(shù)學(xué)期望以及超幾何分布數(shù)學(xué)期望,并將之應(yīng)用到實(shí)際生活中.本文就二項(xiàng)分布與超幾何分布的數(shù)學(xué)期望進(jìn)行研究.

        二項(xiàng)分布;超幾何分布;數(shù)學(xué)期望

        在高中數(shù)學(xué)中,二項(xiàng)分布和超幾何分布是兩個(gè)非常重要的概率模型,這兩個(gè)概率模型能夠解決生活中的許多問題.在離散型隨機(jī)變量分布中,二項(xiàng)分布、超幾何分布是比較重要的分布,二項(xiàng)分布與超幾何分布兩者之間既存在聯(lián)系又有所區(qū)別.隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望在概率論中占有非常重要的地位,它是反映隨機(jī)變量的數(shù)字特征.因此,對于學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)來說,熟練掌握二項(xiàng)分布、超幾何分布的數(shù)學(xué)期望具有重要的意義.

        一、二項(xiàng)分布與超幾何分布

        1.二項(xiàng)分布

        隨機(jī)變量X記為X~B(n,p),X服從二項(xiàng)分布,即在n為1時(shí),X服從0~1的分布.

        2.超幾何分布

        設(shè)某個(gè)產(chǎn)品有N件,在這些產(chǎn)品中正品有M件,采取不放回抽樣的方式從中抽取n件產(chǎn)品,用Y來表示抽取的產(chǎn)品中正品的個(gè)數(shù),則有m件正品的概率為:

        隨機(jī)變量Y記為Y~H(n,M,N),Y服從超幾何分布

        3.二項(xiàng)分布與超幾何分布的關(guān)系

        超幾何分布的極限分布是二項(xiàng)分布,即

        二、二項(xiàng)分布與超幾何分布的數(shù)學(xué)期望

        1.二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望

        (1)定義法求解:

        (2)利用性質(zhì)求解:

        2.超幾何分布的數(shù)學(xué)期望

        與二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望相比,超幾何分布的數(shù)學(xué)期望也可以應(yīng)用定義法和利用性質(zhì)進(jìn)行求解,但是定義法求解的數(shù)學(xué)期望比利用性質(zhì)求解的數(shù)學(xué)期望更麻煩,然而超幾何分布的數(shù)學(xué)期望與二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望相同.值得一提的是,隨機(jī)變量和的數(shù)學(xué)期望與隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的和相等,但是這些隨機(jī)變量并不一定是相互獨(dú)立的.

        例1 某種產(chǎn)品有80件,在這些產(chǎn)品中次品有8件,采取抽樣的方式從中抽取4件產(chǎn)品,計(jì)算出在這4件產(chǎn)品中次品數(shù)的期望值.

        例2 一送客車載了20位乘客,從起點(diǎn)到終點(diǎn)之間有10個(gè)車站可以供乘客下車,但只有乘客下車才會(huì)在站點(diǎn)停車,乘客不下車就不停車.用X表示停車的次數(shù),求E(X).

        解Xi為第i站有人下車,i=1,2,…,10,X=X1+X2+…+X10,則E(X)值為多少.

        乘客在第i站不下車的概率為(9/10),那么這20位乘客在第i站不下車的概率為(9/10)20,則乘客在第i站下車的概率為1-(9/10)20.

        E(X)=E(X1+X2+…+X10)=E(X1)+E(x2)+…+E(X10)=10[1-(9/10)20]=8.8.

        上述的求解方法是先將X分解,再利用隨機(jī)變量和的數(shù)學(xué)期望與隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望之和是相等的來求解,這種方法具有一定的實(shí)際意義且在某種程度上可以簡化問題.

        我們在學(xué)習(xí)二項(xiàng)分布、超幾何分布時(shí),通常會(huì)將二者混淆,而且在解決實(shí)際問題時(shí),也不知該使用何種分布.然而二項(xiàng)分布數(shù)學(xué)期望與超幾何分布數(shù)學(xué)期望是相同的,只需稍微修改一下超幾何分布模型就可以將之變?yōu)槎?xiàng)分布.

        [1]吳海軍.超幾何分布的期望與二項(xiàng)分布的期望相等[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2015,12:93.

        [2]毛曉峰.關(guān)于幾何分布的數(shù)學(xué)期望[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究,2015,10:56-57.

        [3]黃太純.二項(xiàng)分布及其應(yīng)用[J].高中生學(xué)習(xí)(高二版),2012,12:32-34.

        [4]洪奕迅.淺析高中數(shù)學(xué)中的二項(xiàng)分布與超幾何分布[J].新課程學(xué)習(xí)(中),2013,03:66.

        [5]燕建梁.超幾何分布及其推廣[J].太原師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2013,01:21-23,31.

        [6]楊華,黃殷.是超幾何分布,還是二項(xiàng)分布[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)(高中版),2011,Z2:49-51.

        [7]翟明娟.概率統(tǒng)計(jì)中有關(guān)超幾何分布的一個(gè)誤解[J].統(tǒng)計(jì)與決策,2014,03:26-28.

        [8]余錦銀.二項(xiàng)分布的常見題型[J].高中生學(xué)習(xí)(高二版),2014,01:31-33.

        G632

        B

        1008-0333(2017)07-0010-02

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