甘肅省禮縣實驗中學(xué)(742200)

馮旭明●

淺談構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

甘肅省禮縣實驗中學(xué)(742200)

馮旭明●

構(gòu)造法是數(shù)學(xué)中一種創(chuàng)造性和技巧性的思維方法，在數(shù)學(xué)解題中有著重要的作用，尤其是形式復(fù)雜，難以解決的問題，需要認(rèn)真的觀察，深入分析，從問題的不同側(cè)面，不同角度，分析條件和結(jié)論之間的聯(lián)系，恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造輔助元素(構(gòu)造輔助元素可以是圖形、函數(shù)、方程、數(shù)列等)，改變問題的形式，使解題另辟蹊徑.下面通過舉例說明構(gòu)造法在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

一、構(gòu)造圖形

分析 左端形式可看作點到原點的距離公式，右端可以看成兩點間的距離，根據(jù)式子特點可構(gòu)造三角形.

例2 已知a、b、c、a1、b1、c1∈(0,+∞)，且a+a1=b+b1=c+c1=k.求證:ab1+bc1+ca1

分析 此題可把ab1、bc1、ca1看成三個矩形的面積,k2可以看成邊長為k的正方形的面積,利用面積關(guān)系進行證明.

證明 如圖2所示 ,正方形ABCD的邊長為k.

∵S1=ab1,S2=bc1,S3=ca1，

S1+S2+S3+S4=k2，

∴S1+S2+S3

即ab1+bc1+ca1

二、構(gòu)造函數(shù)

分析 已知條件中給出了三個數(shù)的范圍，而求的是ab+bc+ac的范圍，可將它看成單元函數(shù).

證明 設(shè)f(a)=ab+bc+ca=(b+c)a+bc.

當(dāng)(b+c)=0時，f(a)=bc=-b2.

三、構(gòu)造方程

例5 已知實數(shù)a、b、c滿足a=6-b,c2=ab-9，求解a,b,c的值.

分析 由于題目條件中有a+b與ab，聯(lián)想到一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，因此構(gòu)造方程求解.

解 ∵a=6-b,c2=ab-9,∴a+b=6,ab=c2+9.所以構(gòu)造方程x2-6x+c2+9=0.其中a、b是該方程的兩個根.x2-6x+c2+9=(x-3)2+c2=0得x=3,c=0,因此a=b=3,c=0.

四、構(gòu)造數(shù)列

分析 對于某些關(guān)于自然數(shù)n的不等式問題，與數(shù)列有著密切的聯(lián)系，這時也可構(gòu)造數(shù)列加以解決.

五、構(gòu)造抽屜

從以上各例可以看出，構(gòu)造法需要豐富的知識經(jīng)驗為基礎(chǔ)，較強的觀察能力和創(chuàng)造能力.體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中發(fā)現(xiàn)、類比、化歸的思想.運用構(gòu)造法解解決數(shù)學(xué)問題從中感受數(shù)學(xué)的樂趣，更重要的是還可以開拓思維空間，啟迪智慧，對培養(yǎng)學(xué)生多元化思維和創(chuàng)新精神有很大的幫助.

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