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        由一道高考題談三角換元法

        2017-04-15 01:28:36遼寧省鐵嶺縣高級(jí)中學(xué)112000
        數(shù)理化解題研究 2017年7期

        遼寧省鐵嶺縣高級(jí)中學(xué)(112000)

        楊寧寧●

        由一道高考題談三角換元法

        遼寧省鐵嶺縣高級(jí)中學(xué)(112000)

        楊寧寧●

        解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),換個(gè)角度思考,往往會(huì)有意想不到的收獲,甚至有時(shí)可以把復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化,換元法——三角換元,可以把陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題,對(duì)具備某些條件的問(wèn)題能起到事半功倍的效果.在保證換元前后變量范圍一致的前提條件下,三角換元法在求最值,求某些函數(shù)值域,證明不等式問(wèn)題上,可以化繁為簡(jiǎn),優(yōu)化解題過(guò)程.

        三角換元;值域;不等式

        一、求表達(dá)式最值

        解 設(shè)x=2cosθ,y-1=2sinθ,0≤θ<2π,

        例2 在橢圓4x2+9y2=36上存在一點(diǎn)P,求點(diǎn)P到直線(xiàn)x+2y+36=0的距離最小值.

        設(shè)x=3cosθ,y=2sinθ

        例3a,b為實(shí)數(shù),a2-ab+b2=1,求a+b的最大值.

        例4x,y∈R,4x2+y2+xy=1.求2x+y的最大值.

        二、求函數(shù)值域

        三、證明條件不等式

        例6 設(shè)a2+b2=1,c2+d2=1.求證:ac+bd≤1.

        證明 設(shè)a=sinθ,b=cosθ,c=sinφ,d=cosφ,

        ∴ac+bd≤1.

        例7 設(shè)x2+y2≤1,求證:x2-y2+2xy≤2.

        證明 設(shè)x=rcosθ,y=rsinθ(0≤r≤1).

        三角換元,關(guān)鍵是選擇合適的換元對(duì)象,目的是變換研究對(duì)象,把復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化,在保證換元過(guò)程是等量代換的前提下,合理地把條件和結(jié)論聯(lián)起來(lái),甚至在解決數(shù)列,方程等問(wèn)題中也有廣泛的應(yīng)用.

        G632

        B

        1008-0333(2017)07-0024-01

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