江蘇省如皋市第一中學(xué)(226500)
陳山云●
似曾相識(shí)于2016江蘇高考
江蘇省如皋市第一中學(xué)(226500)
陳山云●
2016年江蘇高考數(shù)學(xué)理科試卷第18題考查了直線和圓的位置關(guān)系,圓與圓的位置關(guān)系,考查解不等式,并將圓與向量相結(jié)合.利用存在與任意(恒成立)問題相結(jié)合,從而有效地解決了實(shí)際問題.其實(shí),早在2014年江蘇省宿遷市第一次模擬考試中就出現(xiàn)過類似思想方法的試題,接下來,筆者就這道題說開去.
試題 (2014年江蘇省宿遷市一模試卷)已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A(-1,0),B(1,0),C(3,2),其外接圓為圓H.
(1)若直線l過點(diǎn)C,且被圓H截得的弦長為2,求直線l的方程;
(2)對(duì)于線段BH上的任意一點(diǎn)P,若在以C為圓心的圓上都存在不同的兩點(diǎn)M,N,使得點(diǎn)M是線段PN的中點(diǎn),求圓C的半徑r的取值范圍.
考點(diǎn) 直線和圓的方程的應(yīng)用.
解析 本題考查圓的方程,考查直線與圓的位置關(guān)系,考查解不等式,考查學(xué)生分析解決問題的能力,有一定的難度.(1)略.下面主要來看(2)的解法.
法1 解 因?yàn)閷?duì)于線段BH上的任意一點(diǎn)P,以C為圓心的圓上都存在不同的兩點(diǎn)M,N,使得點(diǎn)M是線段PN的中點(diǎn),所以有PM=MN.過點(diǎn)P作圓C的切線,設(shè)切點(diǎn)為T,根據(jù)切割線定理:PT2=PM×PN=MN×2MN=2MN2.
M,N是圓C上不同的兩點(diǎn),故有MN∈(0,2R].如此,問題轉(zhuǎn)化為:
接下來,如果消去d,得PC2-R2=2MN2(同上);但若消去MN,則9R2-PC2=8d2.
同理,因?yàn)閷?duì)線段BH上的任意一點(diǎn)P,以C為圓心的圓上都存在不同的兩點(diǎn)M,N,使得點(diǎn)M是線段PN的中點(diǎn),即:
法3 設(shè)P的坐標(biāo),可得M的坐標(biāo),代入圓的方程,然后利用兩圓有公共點(diǎn),由此可求得⊙C的半徑R的取值范圍.
解 直線BH的方程為3x+y-3=0,P為線段BH上任意一點(diǎn),故可設(shè)P(x,3-3x),設(shè)M(x0,y0),因M為PN中點(diǎn),則有N(2x0-x,2y0+3x-3).
∵P為線段BH上任意一點(diǎn),且以C為圓心的圓上都存在不同的兩點(diǎn)M,N,使得點(diǎn)M是線段PN的中點(diǎn),則圓C與BH無交點(diǎn),
接下來,我們來看看2016江蘇高考理科數(shù)學(xué)第18題
題目 如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知以M為圓心的圓M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一點(diǎn)A(2,4).
(1)設(shè)圓N與x軸相切,與圓M外切,且圓心N在直線x=6上,求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B、C兩點(diǎn),且BC=OA,求直線l的方程;
考點(diǎn) 圓的一般方程;直線與圓的位置關(guān)系;解不等式.
解析 題(1)(2)略,題(3)與上題類似,請(qǐng)看以下解法:
點(diǎn)評(píng) 這里利用了圓上任意兩個(gè)不同點(diǎn)之間的距離不大于圓的直徑這一結(jié)論.與上一題法(1)類似.
法2 仿照以上方法(3),此題亦可作如下處理:
這兩道題都考查了直線與圓的位置關(guān)系,都涉及到存在與恒成立問題,借助于解不等式,利用函數(shù)的辦法具有一定的普適性.當(dāng)然,對(duì)于2016年的這道高考題,以上解法1還是有一定的巧妙性的,通過向量等式的變形,結(jié)果便一目了然.正所謂“變則通”,在我們的學(xué)習(xí)中,亦是如此,教材是我們教學(xué)的第一個(gè)起點(diǎn),對(duì)教材的進(jìn)一步理解和挖掘是教學(xué)的又一個(gè)起點(diǎn),多一個(gè)起點(diǎn),就多了一種選擇與思考,這樣我們解決實(shí)際問題的能力也就越來越強(qiáng).
G632
B
1008-0333(2017)07-0020-02