福建省泉州實驗中學(362000)

劉彬輝●

導數(shù)綜合題中零點不可求問題的突破方法

福建省泉州實驗中學(362000)

劉彬輝●

導數(shù)經常作為高考壓軸題的考點出現(xiàn)，導數(shù)求解過程中頻繁碰到導數(shù)零點不可求，這讓很多考生望而卻步，為此筆者以近年高考或高三聯(lián)考中涉及導數(shù)零點不可求的試題為例，系統(tǒng)闡述該問題的突破，供讀者參考.

一、特殊值代入找零點

此類導函數(shù)往往具備單調性，可以先找導函數(shù)特殊零點，再結合單調性寫出單調區(qū)間

(Ⅰ)求l的方程；(Ⅱ)證明：除切點(1，0)之外，曲線C在直線l的下方．

當0

當x>1時，x2-1>0，lnx>0，所以g′(x)>0，故g(x)單調遞增．

所以，g(x)>g(1)=0(?x>0，x≠1)．所以除切點之外，曲線C在直線l的下方．

評注 本題中x2-1+lnx=0屬于超越方程,常規(guī)方法無法求解，仔細觀察發(fā)現(xiàn)把方程左邊看作一個函數(shù)，發(fā)現(xiàn)其是遞增的而且有一個零點1，問題就迎刃而解了.

二、虛設零點，整體代入

此類導函數(shù)可以判斷存在零點，當題目要求出對應的極值時可以考慮虛設零點，整體代入.

例2 (2015年全國新課標1)設函數(shù)f(x)=e2x-alnx.

(1)討論f(x)的導函數(shù)f′(x)零點的個數(shù)；(2)證明：當a>0時，f(x)≥2a+alnx.

當a≤0時，f′(x)>0，f′(x)沒有零點．

(2)證明：由(1)可設f′(x)在(0，+∞)上的唯一零點為x0.當x∈(0，x0)時，f′(x)<0；當x∈(x0，+∞)時，f′(x)>0.

故f(x)在(0，x0)上單調遞減，在(x0，+∞)上單調遞增，所以當x=x0時，f(x)取得最小值，最小值為f(x0)．

三、多次求導，柳暗花明

此類導函數(shù)零點無法找到特殊值，可以考慮導函數(shù)整體或部分再次求導，再結合其它方法尋找突破.

例3 設函數(shù)f(x)=ex，g(x)=lnx.

(Ⅱ)若對所有的x≥0，都有f(x)-f(-x)≥ax，求實數(shù)a的取值范圍．

解 (Ⅰ)略．

(Ⅱ) 記h(x)=f(x)-f(-x)-ax=ex-e-x-ax,∴h(x)≥0在[0,+∞)恒成立，

h′(x)=ex+e-x-a,∵h″(x)=ex-e-x≥0(∵x≥0)，

∴h′(x)在[0,+∞)遞增，又h′(0)=2-a,

∴①當a≤2時，h′(x)≥0成立， 即h(x)在[0,+∞)遞增，則h(x)≥h(0)=0,即f(x)-f(-x)≥ax成立.

②當a≥2時，∵h′(x)在[0,+∞)遞增，且h′(x)max=2-a<0,

∴必存在t∈(0,+∞)使得h′(t)=0.則x∈(0,t)時，h′(t)<0,即x∈(0,t)時，h(t)2舍去.

∴必存在t∈(0,+∞)使得h′(t)=0.

即x∈(0,t)時，h(t)2舍去．

綜上，實數(shù)a的取值范圍是a≤2．

評注 本題用到了兩次求導，多次求導切忌不可濫用，本題二次求導后函數(shù)明顯簡單化，這樣子再去尋找零點就順理成章，另外也得注意不可把二次導數(shù)零點與原函數(shù)零點混淆.

四、合理重組，化繁為簡

此類函數(shù)相比前三種方法更不容易想到，可考慮把原區(qū)間分成幾部分或通過適當?shù)幕啺言瘮?shù)分解成幾部分再進一步研究，一般分為兩部分較為常見.

當x>1時，φ′(x)>0,φ(x)遞增；當0

∴φ(x)在x=1處取得唯一的極小值，即為最小值，即φ(x)≥φ(1)=1>0,∴F′(x)>0,

∵x>1,∴1-ex<0,∴h′(x)<0,即h(x)在(1，+∞)上是減函數(shù)，

五、零點判斷，注意正負

例5 (2016全國卷新課標理)已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點.

(Ⅰ)求a的取值范圍；(Ⅱ)設x1，x2是f(x)的兩個零點，證明：x1+x2<2.

(Ⅰ)法二：∵f(1)≠0，∴x=1不是函數(shù)f(x)的零點.

當x∈(-∞,1)時，g′(x)>0，g(x)單調遞增，當x∈(1,+∞)時，g′(x)<0，g(x)單調遞減.

又當x∈(-∞,1)時，g(x)∈(0,+∞)，當x∈(1,+∞)時，g(x)∈R，故當a>0時，函數(shù)y=a與函數(shù)y=g(x)的圖象有兩個交點，即方程a=g(x)有兩解，此時a的取值范圍為(0,+∞).

(Ⅱ)解答略．

評注 本題零點個數(shù)判斷問題，最常用的思路是零點存在性定理，但在具體解題中會出現(xiàn)很難尋找對應區(qū)間的正數(shù)或負數(shù)點，解題中要注意可能要適當?shù)胤趴s把式子簡化，同時也要注意在對應區(qū)間可能出現(xiàn)恒正或恒負情況.

綜上可知，以上幾種方法各有千秋，解題中作為參考，使用中要做到具體問題具體分析，靈活使用.

[1]林國夫.2013年高考導數(shù)綜合應用中的“隱零點”[J].中學數(shù)學雜志，2013(9).

[2]福建省教育考試院2016年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試試題、參考答案[M].2016(6).

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