福建省泉州實驗中學(362000)
劉彬輝●
導數(shù)綜合題中零點不可求問題的突破方法
福建省泉州實驗中學(362000)
劉彬輝●
導數(shù)經常作為高考壓軸題的考點出現(xiàn),導數(shù)求解過程中頻繁碰到導數(shù)零點不可求,這讓很多考生望而卻步,為此筆者以近年高考或高三聯(lián)考中涉及導數(shù)零點不可求的試題為例,系統(tǒng)闡述該問題的突破,供讀者參考.
此類導函數(shù)往往具備單調性,可以先找導函數(shù)特殊零點,再結合單調性寫出單調區(qū)間
(Ⅰ)求l的方程;(Ⅱ)證明:除切點(1,0)之外,曲線C在直線l的下方.
當0 當x>1時,x2-1>0,lnx>0,所以g′(x)>0,故g(x)單調遞增. 所以,g(x)>g(1)=0(?x>0,x≠1).所以除切點之外,曲線C在直線l的下方. 評注 本題中x2-1+lnx=0屬于超越方程,常規(guī)方法無法求解,仔細觀察發(fā)現(xiàn)把方程左邊看作一個函數(shù),發(fā)現(xiàn)其是遞增的而且有一個零點1,問題就迎刃而解了. 此類導函數(shù)可以判斷存在零點,當題目要求出對應的極值時可以考慮虛設零點,整體代入. 例2 (2015年全國新課標1)設函數(shù)f(x)=e2x-alnx. (1)討論f(x)的導函數(shù)f′(x)零點的個數(shù);(2)證明:當a>0時,f(x)≥2a+alnx. 當a≤0時,f′(x)>0,f′(x)沒有零點. (2)證明:由(1)可設f′(x)在(0,+∞)上的唯一零點為x0.當x∈(0,x0)時,f′(x)<0;當x∈(x0,+∞)時,f′(x)>0. 故f(x)在(0,x0)上單調遞減,在(x0,+∞)上單調遞增,所以當x=x0時,f(x)取得最小值,最小值為f(x0). 此類導函數(shù)零點無法找到特殊值,可以考慮導函數(shù)整體或部分再次求導,再結合其它方法尋找突破. 例3 設函數(shù)f(x)=ex,g(x)=lnx. (Ⅱ)若對所有的x≥0,都有f(x)-f(-x)≥ax,求實數(shù)a的取值范圍. 解 (Ⅰ)略. (Ⅱ) 記h(x)=f(x)-f(-x)-ax=ex-e-x-ax,∴h(x)≥0在[0,+∞)恒成立, h′(x)=ex+e-x-a,∵h″(x)=ex-e-x≥0(∵x≥0), ∴h′(x)在[0,+∞)遞增,又h′(0)=2-a, ∴①當a≤2時,h′(x)≥0成立, 即h(x)在[0,+∞)遞增,則h(x)≥h(0)=0,即f(x)-f(-x)≥ax成立. ②當a≥2時,∵h′(x)在[0,+∞)遞增,且h′(x)max=2-a<0, ∴必存在t∈(0,+∞)使得h′(t)=0.則x∈(0,t)時,h′(t)<0,即x∈(0,t)時,h(t) ∴必存在t∈(0,+∞)使得h′(t)=0. 即x∈(0,t)時,h(t) 綜上,實數(shù)a的取值范圍是a≤2. 評注 本題用到了兩次求導,多次求導切忌不可濫用,本題二次求導后函數(shù)明顯簡單化,這樣子再去尋找零點就順理成章,另外也得注意不可把二次導數(shù)零點與原函數(shù)零點混淆. 此類函數(shù)相比前三種方法更不容易想到,可考慮把原區(qū)間分成幾部分或通過適當?shù)幕啺言瘮?shù)分解成幾部分再進一步研究,一般分為兩部分較為常見. 當x>1時,φ′(x)>0,φ(x)遞增;當0 ∴φ(x)在x=1處取得唯一的極小值,即為最小值,即φ(x)≥φ(1)=1>0,∴F′(x)>0, ∵x>1,∴1-ex<0,∴h′(x)<0,即h(x)在(1,+∞)上是減函數(shù), 例5 (2016全國卷新課標理)已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點. (Ⅰ)求a的取值范圍;(Ⅱ)設x1,x2是f(x)的兩個零點,證明:x1+x2<2. (Ⅰ)法二:∵f(1)≠0,∴x=1不是函數(shù)f(x)的零點. 當x∈(-∞,1)時,g′(x)>0,g(x)單調遞增,當x∈(1,+∞)時,g′(x)<0,g(x)單調遞減. 又當x∈(-∞,1)時,g(x)∈(0,+∞),當x∈(1,+∞)時,g(x)∈R,故當a>0時,函數(shù)y=a與函數(shù)y=g(x)的圖象有兩個交點,即方程a=g(x)有兩解,此時a的取值范圍為(0,+∞). (Ⅱ)解答略. 評注 本題零點個數(shù)判斷問題,最常用的思路是零點存在性定理,但在具體解題中會出現(xiàn)很難尋找對應區(qū)間的正數(shù)或負數(shù)點,解題中要注意可能要適當?shù)胤趴s把式子簡化,同時也要注意在對應區(qū)間可能出現(xiàn)恒正或恒負情況. 綜上可知,以上幾種方法各有千秋,解題中作為參考,使用中要做到具體問題具體分析,靈活使用. [1]林國夫.2013年高考導數(shù)綜合應用中的“隱零點”[J].中學數(shù)學雜志,2013(9). [2]福建省教育考試院2016年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試試題、參考答案[M].2016(6). G632 B 1008-0333(2017)07-0017-02二、虛設零點,整體代入
三、多次求導,柳暗花明
四、合理重組,化繁為簡
五、零點判斷,注意正負