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        對(duì)2016年高考四川卷第15題的研究

        2017-04-15 01:26:27北京市豐臺(tái)二中100071
        數(shù)理化解題研究 2017年7期
        關(guān)鍵詞:豐臺(tái)二中高考題

        北京市豐臺(tái)二中(100071)

        甘志國(guó)●

        對(duì)2016年高考四川卷第15題的研究

        北京市豐臺(tái)二中(100071)

        甘志國(guó)●

        ①若點(diǎn)A的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn)A′,則點(diǎn)A′的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn)A;②單元圓上的點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”仍在單位圓上;③若兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng),則它們的“伴隨點(diǎn)”關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng);④若三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上,則它們的“伴隨點(diǎn)”一定共線(xiàn).

        其中的真命題是____(寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)).

        ①若點(diǎn)A的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn)A′,則點(diǎn)A′的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn)A;②單位圓的“伴隨曲線(xiàn)”是它自身;③若曲線(xiàn)C關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng),則其“伴隨曲線(xiàn)”C′關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng);④一條直線(xiàn)的“伴隨曲線(xiàn)”是一條直線(xiàn).

        其中的真命題是____(寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)).

        這兩道高考題是一對(duì)姊妹題,下面只對(duì)后者做詳細(xì)解答和研究.

        所以點(diǎn)A′的“伴隨點(diǎn)”是(-x,-y),得①錯(cuò)誤.

        下面再對(duì)高考題2作研究.

        設(shè)點(diǎn)P(x,y)的“伴隨點(diǎn)”為P′(u,v).

        當(dāng)x2+y2=0即x=y=0時(shí),得P′(0,0).

        若x2+y2=0,得x=y=0,再得u=v=0,u2+v2=0,與題設(shè)u2+v2≠0矛盾!所以x2+y2≠0.

        由此可證得下面的結(jié)論.

        證明 設(shè)直線(xiàn)ax+by+c=0上的點(diǎn)P(x,y)的“伴隨點(diǎn)”為P′(u,v).當(dāng)x2+y2=0時(shí),得P′(0,0).

        此時(shí),由點(diǎn)P(x,y)在直線(xiàn)ax+by+c=0上,可得

        c(u2+v2)+bu-av=0(u2+v2≠0).

        進(jìn)而可得欲證結(jié)論成立.

        證明 設(shè)圓(x-a)2+(y-b)2=r2上的點(diǎn)P(x,y)的“伴隨點(diǎn)”為P′(u,v).

        當(dāng)x2+y2=0時(shí),得P′(0,0).

        此時(shí),由點(diǎn)P(x,y)在圓(x-a)2+(y-b)2=r2上,可得

        (u2+v2)[(a2+b2-r2)(u2+v2)-2bu+2av+1]=0(u2+v2≠0),

        (a2+b2-r2)(u2+v2)-2bu+2av+1=0(u2+v2≠0).

        當(dāng)圓(x-a)2+(y-b)2=r2過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)即a2+b2-r2=0時(shí),可得欲證結(jié)論成立;當(dāng)圓(x-a)2+(y-b)2=r2不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)即a2+b2-r2≠0時(shí),可得也欲證結(jié)論成立.所以欲證結(jié)論成立.

        推論 (1)單位圓的“伴隨曲線(xiàn)”是自身;

        (3)圓(x-a)2+(y-b)2=a2+b2的“伴隨曲線(xiàn)”是直線(xiàn)2bx-2ay-1=0及坐標(biāo)原點(diǎn)組成的圖形.

        G632

        B

        1008-0333(2017)07-0002-02

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