寧 娣，岳晨曦

(中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，武漢 430074)

基于最大后驗(yàn)概率的la范數(shù)去噪方法

寧 娣，岳晨曦

(中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，武漢 430074)

從觀測(cè)模型和先驗(yàn)?zāi)Ｐ腿胧郑钊敕治隽嗽趫D像去噪過程中如何在邊緣保護(hù)和去除噪聲之間尋找平衡，針對(duì)TV先驗(yàn)?zāi)Ｐ驮谶吘壉Ｗo(hù)和紋理保護(hù)中的不足，提出了新的基于最大后驗(yàn)概率的la范數(shù)去噪方法，該方法更好地保護(hù)了圖像的邊緣，同時(shí)使得在平滑區(qū)域產(chǎn)生的階梯效應(yīng)減少.數(shù)值實(shí)驗(yàn)進(jìn)一步驗(yàn)證了該方法的正確性和有效性.

圖像去噪；la范數(shù)模型；TV范數(shù)模型；小波去噪；最大后驗(yàn)概率

對(duì)被噪聲污染的圖像進(jìn)行去噪是圖像處理的經(jīng)典問題，其目的在于盡可能多的濾除噪聲的同時(shí)，又能最大限度地保留信號(hào)的原始信息.圖像去噪作為圖像處理技術(shù)的重要組成部分，經(jīng)歷了半個(gè)多世紀(jì)的發(fā)展，出現(xiàn)了各種性能優(yōu)異的去噪方法，如均值去噪方法、中值去噪方法、全變分(TV)去噪方法、小波方法等.

本文從圖像去噪中的邊緣保護(hù)問題開展研究，深入分析了現(xiàn)階段存在于圖像去噪過程中邊緣保護(hù)與紋理保護(hù)這一矛盾體.從不同角度分析了圖像過平滑、邊緣模糊的原因，并在最大后驗(yàn)概率的框架下，提出了以TV范數(shù)去噪先驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑榛A(chǔ)進(jìn)行改進(jìn)的一種去噪模型，即la范數(shù)先驗(yàn)?zāi)Ｐ?該模型保留了TV范數(shù)模型的優(yōu)點(diǎn)，并對(duì)其在邊緣保護(hù)上的缺點(diǎn)進(jìn)行了改進(jìn).實(shí)驗(yàn)表明，與TV范數(shù)去噪方法和小波方法相比，該方法的去噪效果得到了明顯提高.

1 最大后驗(yàn)概率估計(jì)

圖像去噪的實(shí)質(zhì)是估計(jì)理論，其中貝葉斯理論[1,2]有著十分重要的地位.設(shè)給定的原始圖像為f，噪聲圖像為g，貝葉斯公式為：

(1)

其中p(g|f)為似然密度函數(shù)，p(f)為先驗(yàn)密度函數(shù)，p(f|g)為后驗(yàn)密度函數(shù).最大后驗(yàn)概率MAP估計(jì)是在g已知的條件下求p(f|g)取值最大的f.由貝葉斯準(zhǔn)則可知，對(duì)(1)式求最大值等價(jià)于：

(2)

其對(duì)數(shù)形式為：

(3)

通過把噪聲模型和圖像先驗(yàn)?zāi)Ｐ偷慕Y(jié)合代入上式，可得到目標(biāo)函數(shù).

2 la范數(shù)先驗(yàn)?zāi)Ｐ偷奶岢?/h2>

1992年，Rudin、Osher和Fatime提出了一種基于全變分(TV)模型的去噪方法，該方法實(shí)質(zhì)上就是各向異性擴(kuò)散，它能在去噪的同時(shí)很好地保持圖像的邊緣，但由于TV范數(shù)二階偏微分方程的解為分段長(zhǎng)值，從而導(dǎo)致了階梯效應(yīng)，因此設(shè)想尋找一種模型， 既可保留TV范數(shù)對(duì)邊緣的保護(hù)優(yōu)勢(shì)，又能對(duì)細(xì)節(jié)區(qū)域作出良好的處理.

基于這種思想，本文提出了一種la范數(shù)先驗(yàn)?zāi)Ｐ停⒃贛AP的框架下，將該先驗(yàn)?zāi)Ｐ蛻?yīng)用到圖像復(fù)原中.la范數(shù)是一種新的范數(shù)，它以TV范數(shù)為基礎(chǔ)，在不同的局部特征下，該范數(shù)可以自適應(yīng)的去分配各種范數(shù)的權(quán)重，達(dá)到保護(hù)邊緣和抑制噪聲的效果.la范數(shù)同時(shí)又保留了TV范數(shù)對(duì)圖像邊緣的保護(hù)，使得該模型可以更好地在圖像去噪和保留其層次之間找到一個(gè)平衡.

構(gòu)造la范數(shù)的自適應(yīng)函數(shù)為：

(4)

其中a是正標(biāo)量值，ρ(x,a)測(cè)量梯度x的水平方向和垂直方向的梯度值.

設(shè)u(x,y)是原始圖像，其規(guī)模為P1N1×P2N2，N1×N2為每一個(gè)觀測(cè)圖像的規(guī)模，P1和P2分別表示在水平方向和垂直方向的采樣因素.N=P1N1×P2N2為像素點(diǎn)的數(shù)量，在像素為N的噪聲圖片中，新圖像的自適應(yīng)模型定義為：

(5)

對(duì)(5)式兩邊取對(duì)數(shù)，可得：

(6)

(7)

ρ(x,a)≈a|x|-a2,當(dāng)x→∞.

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

設(shè)v(x,y)為含噪聲圖像，基于上面的理論，構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)：

(13)

(14)

下面求方程(14)的極小值，即目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解.

2auxuyuxy.

可得：

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

為了驗(yàn)證本文提出的la范數(shù)去噪模型的有效性，現(xiàn)以被噪聲污染的Lena圖像為例進(jìn)行數(shù)值試驗(yàn)，圖像大小均為256×256，灰度級(jí)為256，用峰值信噪比(PSNR)[5-8]作為評(píng)價(jià)的客觀標(biāo)準(zhǔn).實(shí)驗(yàn)中對(duì)TV范數(shù)去噪、小波去噪和la范數(shù)去噪進(jìn)行了比較.本實(shí)驗(yàn)選用的高斯噪聲有10、12和15三個(gè)方差級(jí)別.原始的Lena圖片和被噪聲污染的Lena圖片見圖1.

圖1 原始Lena圖像與含噪聲的Lena圖像對(duì)比 Fig.1 Comparison of the original Lena image and the Lena image with noise

由于la范數(shù)模型中a的取值影響著圖像去噪效果的好壞.下面我們將通過Matlab數(shù)值實(shí)驗(yàn)來確定參數(shù)a的最優(yōu)取值，如表1所示，并根據(jù)表1的數(shù)據(jù)，我們將不同a值情況下PSNR值的差異繪制成折線圖，如圖2所示，可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)a=0.2時(shí)，平均的PSNR值最大，即當(dāng)a=0.2時(shí)，去噪效果最好.

表1 不同a值下的PSNR值Tab.1 PSNR value with the different parameter a

圖2 含高斯噪聲的Lena圖像的PSNR值與參數(shù)a的關(guān)系Fig.2 The relation between PSNR value and the parameter a of Lena image with Gaussian noise

圖3給出了方差為10、12、15下降噪處理前后Lena圖像的視覺效果圖.從圖3中可以看出，文中所給方法降噪效果明顯，人眼能直觀感受到圖像質(zhì)量的改善，并且在不同噪聲水平下的降噪效果都優(yōu)于其他兩種方法.

表2給出了3種不同的去噪模型去噪后所得的PSNR值，可以發(fā)現(xiàn)，改進(jìn)后的la范數(shù)模型較其他兩種模型的PSNR值有所提高.新模型的階梯效應(yīng)進(jìn)一步減少，圖像顯得更為平滑、自然，因而人眼視覺效果有很大改善.雖與TV模型相比，清晰度相差無異，但是TV模型下邊緣的模糊程度相對(duì)較高，la范數(shù)模型對(duì)邊緣的保護(hù)使得紋理更加清晰，在處理圖像邊緣時(shí)可以提供更多的、更精確的細(xì)節(jié).

圖3 添加方差分別為10，12，15的高斯噪聲后，各方法去噪后的Lena圖像Fig.3 Lena images after denoising the Gaussian noise with the variance 10,12，15

4 結(jié)語

圖像去噪算法是圖像處理領(lǐng)域的熱點(diǎn)問題和關(guān)鍵問題.本文對(duì)圖像去噪中的細(xì)節(jié)保留和邊緣保護(hù)間尋找平衡的問題進(jìn)行了探討，深入分析了圖像過平滑、邊緣模糊的原因，在MAP的框架下，提出了一種la范數(shù)先驗(yàn)?zāi)Ｐ停⒃撃Ｐ团c非局部先驗(yàn)?zāi)Ｐ拖嘟Y(jié)合，建立了一種既可有效去噪又可保護(hù)圖像邊緣的模型，使得該模型可以更好地在圖像去噪和保留其層次之間找到了一個(gè)平衡.

表2 不同模型去噪后所得的PSNR值Tab.2 PSNR value of the different models after denoising

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Denoising Method Based on the MAP withlaNorm

NingDi，YueChenxi

(College of Mathematics and Statistics, South-Central University for Nationalities, Wuhan 430074, China)

In the paper, from the observation model and a priori model, the problem of image denoising is discussed, and how to find a balance between edge protection and image denoising is analyzed in depth.In addition, aiming at the advantages and disadvantages of TV prior model on the edge protection and texture protect, the new denoising method namedlanorm based on Maximum A Posteriori Probability(MAP) is put forward.This method provides better protection of the edge of the image.Furthermore, the staircase effect in smooth regions is reduced.Numerical simulations are further provided to verify the feasibility and effectiveness of the theoretical results.

image denoising;lanorm model;TV norm model;wavelet denoising;MAP

2016-09-25

寧 娣(1981-)，女，講師，博士，研究方向：混沌控制、復(fù)雜動(dòng)力網(wǎng)絡(luò)，E-mail：ningdi0224@163.com

全國(guó)統(tǒng)計(jì)科學(xué)研究項(xiàng)目(2014LY020)

TP391.41;O212.8

A

1672-4321(2017)01-0128-04