段 汕，張 洪，王小凡，張 曄，張彬彬

(中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，武漢 430074)

基于Bezier曲線的多邊形圖像骨架矩的研究

段 汕，張 洪，王小凡，張 曄，張彬彬

(中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，武漢 430074)

在Hu矩與Chen邊界矩方法的基礎(chǔ)上，將骨架矩理論融入多邊形圖像的骨架處理中，通過(guò)一次與二次Bezier曲線將多邊形骨架用控制點(diǎn)表示，推導(dǎo)了基于控制點(diǎn)表示的骨架矩不變量，為多邊形圖像的分類(lèi)與識(shí)別提供了一種統(tǒng)計(jì)特征提取方法.

多邊形；骨架；Bezier曲線；矩不變量

圖像的特征提取是圖像分析的關(guān)鍵，常用的圖像形狀特征提取算法有Fourier描述子、Hough變換、形狀矩陣和矩不變量等方法.矩特征以圖像分布的各階矩來(lái)描述圖像的形狀特征，具有較好的抗噪性和穩(wěn)定性.Hu[1]首先將矩用于目標(biāo)識(shí)別，提出了矩不變量的概念.矩不變量是一種比較經(jīng)典的特征指標(biāo)，它提取的是物體的全局特征.矩不變量具有平移、旋轉(zhuǎn)和尺度變換不變性，被廣泛應(yīng)用在圖像分類(lèi)與識(shí)別、圖像檢索與匹配、圖像分析等領(lǐng)域[2,3].Hu矩實(shí)際上是針對(duì)目標(biāo)區(qū)域的矩，所以又稱(chēng)區(qū)域矩，它需要對(duì)整個(gè)圖像存在的區(qū)域進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算量大，不利于實(shí)時(shí)處理.為了快速計(jì)算區(qū)域矩不變量，近年來(lái)研究者提出了很多矩的快速算法.因?yàn)槿说囊曈X(jué)系統(tǒng)對(duì)物體認(rèn)識(shí)的初級(jí)階段是對(duì)其形狀的認(rèn)識(shí)，而邊界中含有圖像形狀的重要信息，因此在圖像處理與模式識(shí)別領(lǐng)域經(jīng)常根據(jù)圖像的邊界來(lái)識(shí)別圖像或?qū)ζ浞诸?lèi).Chen[4,5]提出的利用區(qū)域邊界來(lái)計(jì)算區(qū)域矩的快速算法即其中一個(gè)，這種邊界矩不變量與Hu矩相比計(jì)算量較小，大大減少計(jì)算時(shí)間，提高了計(jì)算效率.

骨架是圖像形狀的曲線表述方式，描述的是圖像的幾何與拓?fù)湫再|(zhì).基于骨架的圖像識(shí)別往往需要對(duì)骨架進(jìn)行演化、近似、標(biāo)注等繁瑣的編碼工作，而采用合適的骨架矩技術(shù)可以定量描述骨架的整體分布、骨架的彎曲程度、骨架的長(zhǎng)短情況等信息[6].本文結(jié)合Hu區(qū)域矩與Chen邊界矩的思想，研究了多邊形圖像骨架的特點(diǎn)，在多邊形圖像的骨架問(wèn)題中建立了骨架矩理論，通過(guò)Bezier曲線推導(dǎo)了基于控制點(diǎn)表示的骨架矩，為多邊形圖像的分類(lèi)與識(shí)別建立了一種定量表示方法.

1 多邊形圖像的骨架

設(shè)M?R2是歐式空間中的任一多邊形，邊界為?M.對(duì)任意r≥0和p∈R2，以p為圓心，r為半徑的圓盤(pán)為：

Kr(p)={q|d(p,q)≤r}.

點(diǎn)p處的半徑函數(shù)為[7]：

規(guī)定多邊形的外邊界以逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎较?，?nèi)邊界以順時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎较颍噙呅蔚乃许旤c(diǎn)p1,p2,…,pn將構(gòu)成一個(gè)有向點(diǎn)列.多邊形在凸頂點(diǎn)處內(nèi)角0<α<π，凹頂點(diǎn)處內(nèi)角π<α<2π.多邊形圖像的骨架是由多邊形的點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)與邊、邊與邊的平分線構(gòu)成.

(2)對(duì)于點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2),點(diǎn)A與邊AB的平分線是過(guò)點(diǎn)A且垂直于AB的直線，方程為：

(x2-x1)(x-x1)+(y2-y1)(y-y1)=0.

(3)對(duì)于點(diǎn)F(x0,y0)與直線L:ax+by+c=0，a2+b2=1，F(xiàn)?L，點(diǎn)F與邊L的平分線是以點(diǎn)F為焦點(diǎn)，L為準(zhǔn)線的拋物線，方程為：

(a1±a2)x+(b1±b2)y+(c1±c2)=0，

其中正負(fù)號(hào)的選取保證角平分線位于多邊形的內(nèi)部.

當(dāng)L1‖L2時(shí)，兩直線方程可寫(xiě)為L(zhǎng)i:a1x+b1y+ci=0(i=1,2)，平分線方程為：

2 多邊形骨架的Bezier曲線表示

根據(jù)上述分析，多邊形圖像M的骨架，是由直線和拋物線構(gòu)成的連續(xù)曲線.設(shè)其中的直線部分為L(zhǎng)={li|i=1,2,…,m}，拋物線部分為Q={qj|j=1,2,…,n}，則多邊形圖像M的骨架可以表示為S(M)=L∪Q.其中，骨架S(M)的直線與拋物線部分即一次與二次Bezier曲線[8].

2.1 Bezier曲線的定義與性質(zhì)

對(duì)于點(diǎn)V0,V1，稱(chēng)下列參數(shù)多項(xiàng)式：

V(t)=(1-t)V0+tV1,0≤t≤1.

是以點(diǎn)V0,V1為控制點(diǎn)的一次Bezier曲線，它表現(xiàn)為以V0,V1為兩端點(diǎn)的線段.

對(duì)于點(diǎn)V0,V1,V2，稱(chēng)下列參數(shù)多項(xiàng)式：

V(t)=(1-t)2V0+2t(1-t)V1+t2V2,0≤t≤1.

是以點(diǎn)V0,V1,V2為控制點(diǎn)的二次Bezier曲線，V0,V2分別為曲線的兩端點(diǎn)，V1為二次Bezier曲線V(t)在點(diǎn)V0與V2的切線的交點(diǎn)[7].

設(shè)控制點(diǎn)坐標(biāo)為V0(x0,y0)、V1(x1,y1)、V2(x2,y2)，則一次Bezier曲線的參數(shù)方程為：

二次Bezier曲線的參數(shù)方程為：

它們分別表示一條控制點(diǎn)為V0,V1的直線和一條控制點(diǎn)為V0,V1,V2的拋物線.

2.2 控制點(diǎn)的求取

一次Bezier曲線的控制點(diǎn)即為兩端點(diǎn)，二次Bezier曲線的控制點(diǎn)為其兩端點(diǎn)及Bezier曲線在兩端點(diǎn)處切線的交點(diǎn)[8].對(duì)于多邊形圖像M，只有凹頂點(diǎn)與邊的平分線才是二次Bezier曲線.

Lk,k+1:ak,k+1x+bk,k+1y+ck,k+1=0,

若記:

且拋物線在點(diǎn)V0、V2處的切線分別為L(zhǎng)0、L2，則L0、L2上的方向向量分別為：

因此，拋物線qj過(guò)點(diǎn)V0、V2的切線方程分別為：

由L0、L2的方程，可求得控制點(diǎn)V1的坐標(biāo)(xV1,yV1)

3 骨架矩不變量

3.1 一次Bezier曲線的骨架矩

對(duì)多邊形圖像M的一次Bezier曲線骨架L={li|i=1,2,…,m}，設(shè)骨架段li的控制點(diǎn)為V0i(x0i,y0i)、V1i(x1i，y1i)，i=1,2,…,m,則骨架段li的方程為：

骨架段li的p+q階中心矩為：

p+q=2,3,…，

于是，骨架段li的7個(gè)具有平移、旋轉(zhuǎn)和尺度變換不變性的矩不變量為：

3.2 二次Bezier曲線的骨架矩

對(duì)多邊形圖像M的二次Bezier曲線骨架為Q={qj|j=1,2,…,n}，設(shè)骨架段qj的控制點(diǎn)為V0j(x0j,y0j)、V1j(x1j,y1j)、V2j(x2j,y2j)，j=1,2,…,n，則骨架段qj的方程為：

骨架段qj的p+q階原點(diǎn)矩為：

x0j)t+x0j]p[(y0j+y2j-2y1j)t2+2(y1j-y0j)t+

y0j]qdt,

qj的p+q階中心矩為：

p+q階歸一化中心矩為：

其中p+q=2,3,…，這樣骨架段qj的7個(gè)具有平移、旋轉(zhuǎn)和尺度變換不變性的矩不變量為：

多邊形圖像M的骨架被多邊形的點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)與邊、邊與邊的平分線的交點(diǎn)分割成若干個(gè)骨架段，即一次與二次Bezier曲線，將一次與二次Bezier曲線的骨架矩相加構(gòu)成多邊形圖像M的骨架矩，給出多邊形圖像M的7個(gè)具有平移、旋轉(zhuǎn)和尺度變換不變性的骨架矩：

待測(cè)圖像N與參考圖像M的矩不變量距離d(M,N)表示了M與N的相似程度，矩不變量距離越小，代表待測(cè)圖像N與參考圖像M越接近，相似程度越高.

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

本文在Matlab7.10.0環(huán)境下，對(duì)3個(gè)具有代表性的多邊形圖像進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn).圖1給出了3個(gè)多邊形圖像，區(qū)別在于圖像的左下方是否有凹頂點(diǎn)與凹頂點(diǎn)處內(nèi)角的大小，其中圖1(1)的多邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1, 2),(4.5, 1.5),(6, 5),(4.5, 7),(6, 9),(3.5, 10),(1, 6),(2.5, 4)，圖1(2)的多邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1, 2),(4.5, 1.5),(6, 5),(4.5, 7),(6, 9),(3.5, 10),(1, 6),(2, 4)，圖1(3)的多邊形頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1, 2),(4.5, 1.5),(6, 5),(4.5, 7),(6, 9),(3.5, 10),(1, 6).圖2為將相應(yīng)多邊形圖像的邊界均勻離散化，其離散點(diǎn)集構(gòu)成的Voronoi圖.圖3為多邊形圖像的骨架及控制點(diǎn)圖，其中藍(lán)色曲線為多邊形的骨架，紅色的點(diǎn)為控制點(diǎn).表1給出了三幅多邊形骨架圖的所有控制點(diǎn)坐標(biāo).表2是根據(jù)表1的控制點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算出的多邊形圖像的骨架矩.

圖1 3個(gè)形狀相近的多邊形Fig.1 There polygons of similar shape

圖2 圖1中對(duì)應(yīng)的邊界離散點(diǎn)集的Voronoi圖Fig.2 The corresponding Voronoi diagram of a set of boundary discrete points in Fig.1

圖3 圖1中對(duì)應(yīng)的多邊形的骨架及控制點(diǎn)圖Fig.3 The corresponding skeletons and the control points graphs of polygons in Fig.1

表1 圖3中對(duì)應(yīng)的多邊形骨架的控制點(diǎn)Tab.1 The control points of the corresponding polygonal skeletons in Fig.3

表2 圖1中對(duì)應(yīng)的多邊形圖像的骨架矩Tab.2 The corresponding skeleton moment invariants of polygonal images in Fig.1

5 結(jié)束語(yǔ)

本文研究了多邊形圖像骨架的特點(diǎn)，在Hu區(qū)域矩與Chen邊界矩思想的基礎(chǔ)上，通過(guò)一次與二次Bezier曲線推導(dǎo)了基于控制點(diǎn)表示的多邊形圖像的骨架矩不變量，為多邊形圖像的分類(lèi)與識(shí)別建立了一種定量表示方法.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該方法可以有效地應(yīng)用于多邊形圖像的分類(lèi)、識(shí)別與匹配.

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Study of Skeleton Moments of Polygonal Images Based on Bezier Curves

DuanShan,ZhangHong,WangXiaofan,ZhangYe,ZhangBinbin

(College of Mathematics and Statistics, South-Central University for Nationalities, Wuhan 430074, China)

In this paper, we use the theory of skeleton moments to process polygonal images′ skeletons based on the theories of Hu′s moment invariants and Chen′s boundary moment invariants.We express polygonal skeletons with a few of control points by the first-order and second-order Bezier curves, deduce skeleton moment invariants expressed by control points, which provides a statistical feature extraction method for the classification and recognition of polygon images.

polygon;skeleton;Bezier curve;moment invariant

2016-12-27

段 汕(1962-)，女，教授，博士，研究方向：數(shù)學(xué)應(yīng)用方法與圖像處理，E-mail:duanshan@mail.scuec.edu.cn

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61374085，11301552)

TP751;O143

A

1672-4321(2017)01-0113-06