常 磊，鮑建生

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情境視角下的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

常 磊，鮑建生

（華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，上海 200241）

核心素養(yǎng)是國際社會(huì)高度關(guān)注的教育熱點(diǎn)，也是中國新一輪課程深化改革的主要方向．一些國際教育研究機(jī)構(gòu)和中國著名學(xué)者都認(rèn)為核心素養(yǎng)與情境關(guān)聯(lián)密切．?dāng)?shù)學(xué)核心素養(yǎng)作為核心素養(yǎng)的重要構(gòu)成成分，其與情境的關(guān)系相比核心素養(yǎng)兼具共性和特殊性．分析闡釋六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象和數(shù)據(jù)分析與情境之間的深刻關(guān)系，探索在情境中培養(yǎng)和評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的過程與方法，以情境的視角為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的后繼深入研究提供參考．

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；情境；關(guān)系；培養(yǎng)；評(píng)價(jià)

1 研究背景

核心素養(yǎng)是當(dāng)前國際教育研究的熱點(diǎn)，也是中國新一輪課程深化改革的主要方向．最早研究素養(yǎng)的世界權(quán)威機(jī)構(gòu)經(jīng)濟(jì)合作與發(fā)展組織（OECD）認(rèn)為素養(yǎng)是運(yùn)用知識(shí)、技能和態(tài)度滿足特定情境中復(fù)雜需要的能力，核心素養(yǎng)必須滿足的3個(gè)要件之一是幫助個(gè)體在多樣化情境中能夠滿足重要的需求，并且在變化的情境中各個(gè)核心素養(yǎng)是聯(lián)結(jié)在一起發(fā)揮作用的[1]，國際學(xué)生評(píng)價(jià)項(xiàng)目（PISA）對(duì)于素養(yǎng)的評(píng)價(jià)也主要是依據(jù)學(xué)生在不同現(xiàn)實(shí)情境下解決實(shí)際問題的表現(xiàn)[2]．歐盟提出的核心素養(yǎng)框架“為了終身學(xué)習(xí)的核心素養(yǎng)”對(duì)素養(yǎng)的界定是適用于特定情境的知識(shí)、技能和態(tài)度的綜合[3]，其中的“情境”主要指?jìng)€(gè)人情境、社會(huì)情境和職業(yè)情境．研究核心素養(yǎng)最著名的國家美國研制的“21世紀(jì)學(xué)習(xí)框架”提出的“21世紀(jì)素養(yǎng)”同樣是與情境關(guān)聯(lián)的，相應(yīng)的“21世紀(jì)主題”要求建立學(xué)科知識(shí)和真實(shí)生活情境的聯(lián)系[4]．國外有研究者認(rèn)為，21世紀(jì)的知識(shí)的情境性日益增強(qiáng)，素養(yǎng)的形成和發(fā)展與情境存在密不可分的關(guān)系[5]，一個(gè)具備素養(yǎng)的人置身于特定情境的時(shí)候，有滿足情境之需要的“恰當(dāng)性、充分性或態(tài)度”[6]．中國的研究者在研究世界各國及相關(guān)國際組織關(guān)于核心素養(yǎng)的定義的基礎(chǔ)上，明確界定核心素養(yǎng)是個(gè)體在知識(shí)經(jīng)濟(jì)、信息化時(shí)代面對(duì)復(fù)雜的、不確定性的現(xiàn)實(shí)生活情境時(shí)，運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)、觀念、思想、方法，解決真實(shí)的問題所表現(xiàn)出來的關(guān)鍵能力與必備品格[7]，這里牽涉到個(gè)體不僅應(yīng)“知曉什么”，而且在現(xiàn)實(shí)的問題情境中“能做什么”的問題[8]．素養(yǎng)形成之后，又能突破具體情境的限制，遷移至不同情境之中，且適應(yīng)情境的不斷變化．因此，促進(jìn)素養(yǎng)發(fā)展的知識(shí)學(xué)習(xí)需要與多樣化的情境相聯(lián)系，核心素養(yǎng)的培養(yǎng)需要讓學(xué)生置身真實(shí)問題情境，親歷復(fù)雜的問題解決過程[9]．

2 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與情境

核心素養(yǎng)與復(fù)雜情境密切相關(guān)，不局限于特定的目標(biāo)任務(wù)，也沒有學(xué)科界限，核心素養(yǎng)與學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)系也很復(fù)雜，不是簡(jiǎn)單的上下位的關(guān)系，亦非整體與部分的關(guān)系那樣簡(jiǎn)單[10]．放眼全球，各個(gè)國家和地區(qū)現(xiàn)有學(xué)校課程基本上都是以學(xué)科課程為主，因此，核心素養(yǎng)的培養(yǎng)仍然需要以培養(yǎng)學(xué)科核心素養(yǎng)為基礎(chǔ)，然后才能實(shí)現(xiàn)多學(xué)科核心素養(yǎng)的融會(huì)整合，形成個(gè)體的綜合核心素養(yǎng)．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)科是各個(gè)國家和地區(qū)基礎(chǔ)教育學(xué)校課程中的重要學(xué)科，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是未來合格公民所應(yīng)具備的最基本、最重要的學(xué)科素養(yǎng)，也理應(yīng)成為綜合核心素養(yǎng)的重要構(gòu)成成分．國內(nèi)有學(xué)者提出，基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)教學(xué)，要在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，感悟數(shù)學(xué)的思想，積累數(shù)學(xué)思維的經(jīng)驗(yàn)，形成和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[11]；國外亦有研究者認(rèn)為，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)不能通過短期的直接教授獲得，而應(yīng)該借助特定情境潛移默化地習(xí)得[12]．鑒于核心素養(yǎng)與情境之間的密切關(guān)系，以及國內(nèi)外專家學(xué)者關(guān)于情境在培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)過程中重要性的判斷，深刻認(rèn)識(shí)各個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與情境之間的關(guān)系，探索在情境中培養(yǎng)和評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的過程與方法，對(duì)于深入理解數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和有效培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)、有效評(píng)價(jià)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具有重要的理論指導(dǎo)意義．

3 六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與情境

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是具有數(shù)學(xué)基本特征的、適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的人的關(guān)鍵能力與思維品質(zhì)．針對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，近期中國普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂過程中提出了六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象和數(shù)據(jù)分析[13]，它們是數(shù)學(xué)課程深化改革的主要方向，集中體現(xiàn)了高中數(shù)學(xué)課程的總體目標(biāo)，以下分別詳細(xì)闡釋六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與情境之間的關(guān)系．

3.1 數(shù)學(xué)抽象與情境

徐利治先生指出，凡數(shù)學(xué)中確立的各種基本概念、定義、公理、定理、模型、推理法則、證明方法等都可稱為“數(shù)學(xué)抽象物”[14]，由此可以認(rèn)為數(shù)學(xué)抽象是得到“數(shù)學(xué)抽象物”的過程．按照數(shù)學(xué)抽象與情境之間的關(guān)系，可以將數(shù)學(xué)抽象分為兩大類，現(xiàn)實(shí)情境數(shù)學(xué)抽象和純數(shù)學(xué)情境數(shù)學(xué)抽象．現(xiàn)實(shí)情境數(shù)學(xué)抽象是指舍去具體情境中事物或現(xiàn)象的一切質(zhì)性屬性，抽取出量的關(guān)系或空間形式方面的本質(zhì)屬性的過程；純數(shù)學(xué)情境數(shù)學(xué)抽象是指在純數(shù)學(xué)情境中已有數(shù)學(xué)抽象物的基礎(chǔ)上進(jìn)一步抽取出量的關(guān)系或空間形式方面的本質(zhì)屬性的過程．現(xiàn)實(shí)情境數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)抽象里的基礎(chǔ)過程，一般只有一次抽象過程，而純數(shù)學(xué)情境數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)抽象的高級(jí)過程，可以存在多次層疊過程．舉例來說，數(shù)字運(yùn)算法則可以認(rèn)為是一種現(xiàn)實(shí)情境數(shù)學(xué)抽象，代數(shù)運(yùn)算法則可以認(rèn)為是純數(shù)學(xué)情境數(shù)學(xué)抽象，而抽象代數(shù)運(yùn)算法則可以認(rèn)為是在代數(shù)運(yùn)算法則基礎(chǔ)上的純數(shù)學(xué)情境數(shù)學(xué)抽象．現(xiàn)實(shí)情境數(shù)學(xué)抽象的對(duì)象是現(xiàn)實(shí)世界，離不開具體的情境以及情境中的直觀事物或現(xiàn)象，否則就成了無源之水，無本之木，而經(jīng)過現(xiàn)實(shí)情境數(shù)學(xué)抽象后得到的“數(shù)學(xué)抽象物”也需要在具體的情境中尋找支持的依據(jù)或驗(yàn)證其合理性．純數(shù)學(xué)情境數(shù)學(xué)抽象過程雖然可以脫離具體的情境以及情境中的現(xiàn)實(shí)事物或現(xiàn)象，但卻依然依賴于現(xiàn)實(shí)情境數(shù)學(xué)抽象后得到的“數(shù)學(xué)抽象物”或者抽象度較低的“數(shù)學(xué)抽象物”所構(gòu)成的純數(shù)學(xué)情境，在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步數(shù)學(xué)抽象得到抽象度更高的“數(shù)學(xué)抽象物”，并且需要在純數(shù)學(xué)情境中尋找支持的依據(jù)或驗(yàn)證其合理性．譬如，得出數(shù)學(xué)概念的過程是最典型的數(shù)學(xué)抽象過程，某些數(shù)學(xué)概念的獲得來源于現(xiàn)實(shí)情境數(shù)學(xué)抽象，是直接對(duì)應(yīng)現(xiàn)實(shí)世界中的直觀情境而存在，例如自然數(shù)、簡(jiǎn)單方程、點(diǎn)、直線、三角形、二面角、向量等概念，而另一些數(shù)學(xué)概念也可以通過純數(shù)學(xué)情境數(shù)學(xué)抽象（借助符號(hào)與類比[15]、邏輯建構(gòu)[16]等方法）得到，依附于抽象的純數(shù)學(xué)情境而存在，例如復(fù)數(shù)、微分、群、環(huán)、域等概念．

現(xiàn)代數(shù)學(xué)的抽象化程度越來越高，不僅難以直接找出其客觀現(xiàn)實(shí)背景，甚至有些高新數(shù)學(xué)知識(shí)在相當(dāng)長的時(shí)間內(nèi)還難以發(fā)現(xiàn)其在現(xiàn)實(shí)情境中的應(yīng)用價(jià)值．但隨著時(shí)代的快速發(fā)展，數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)世界中的應(yīng)用范圍確實(shí)越來越廣，除了大量被應(yīng)用于自然科學(xué)外，在相當(dāng)多的社會(huì)科學(xué)中也日益發(fā)揮出重要作用（在社會(huì)科學(xué)研究中日益廣泛被使用的量化研究工具就是很好的例證）．因此，數(shù)學(xué)并不會(huì)因其不斷增加的數(shù)學(xué)抽象性而與現(xiàn)實(shí)世界脫離關(guān)系，而是恰恰相反，高度抽象的數(shù)學(xué)與復(fù)雜現(xiàn)實(shí)情境將會(huì)更加緊密地聯(lián)系在一起．

有研究表明，學(xué)生在學(xué)習(xí)“抽象的”數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，通常需要降低抽象層次的思維過程，例如將新的概念與已有的知識(shí)建立關(guān)聯(lián)，或者建立具體過程來重現(xiàn)抽象的結(jié)論[17]．該研究結(jié)論也印證了在通常的數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師會(huì)將具體情境中的事物、現(xiàn)象或者抽象層次較低的數(shù)學(xué)知識(shí)與需要學(xué)習(xí)的更加抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)聯(lián)系在一起，或者還原數(shù)學(xué)知識(shí)的數(shù)學(xué)抽象過程，達(dá)到幫助學(xué)生理解所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的目的．但是要真正掌握所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)，需要通過使用數(shù)學(xué)符號(hào)或簡(jiǎn)化圖形，剝離情境中的非本質(zhì)屬性，凸顯本質(zhì)屬性，逐步進(jìn)行“去情境化”，最終脫離較低層次的情境的支持發(fā)展為獨(dú)立的數(shù)學(xué)知識(shí)，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)抽象過程，體會(huì)具體和抽象之間的相對(duì)差異，積累從具體到抽象的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，形成數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．

3.2 邏輯推理與情境

邏輯推理素養(yǎng)是描述思維品質(zhì)中深刻性的重要指標(biāo)之一[18]，邏輯推理能夠揭示出隱藏在情境中的事物或現(xiàn)象背后的本質(zhì)規(guī)律，并預(yù)見事物或現(xiàn)象的發(fā)展進(jìn)程．?dāng)?shù)學(xué)活動(dòng)中的邏輯推理指依據(jù)一些事實(shí)和命題，按照數(shù)學(xué)邏輯規(guī)則得到新命題的思維過程[19]．該定義中的“事實(shí)”當(dāng)然屬于客觀世界情境中的真實(shí)存在，“命題”是判斷一件事情真假的語句，它離不開具體情境中的事物、現(xiàn)象或者純數(shù)學(xué)情境中的概念和過程．因此，邏輯推理可以認(rèn)為是建立在情境基礎(chǔ)上的抽象思維過程，其主要關(guān)注數(shù)學(xué)內(nèi)部的發(fā)展，但離不開現(xiàn)實(shí)情境中客觀規(guī)律和純數(shù)學(xué)情境中數(shù)學(xué)規(guī)律的支撐．

數(shù)學(xué)中的邏輯推理素養(yǎng)需要個(gè)體能夠在現(xiàn)實(shí)情境和數(shù)學(xué)情境中，用歸納或類比的方法發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系或空間形式方面的性質(zhì)和規(guī)律，提出有價(jià)值的數(shù)學(xué)問題和命題；能夠在具體的情境中，理解推理的形式和規(guī)則，準(zhǔn)確使用邏輯用語表述邏輯推理過程；能夠運(yùn)用邏輯推理正確表述思想、解決科學(xué)研究情境和社會(huì)生活情境中的實(shí)際問題．

數(shù)學(xué)課程改革發(fā)展到今天，邏輯推理已經(jīng)成為一種重要的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)理解的方式，而不僅僅是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目標(biāo)和活動(dòng)．因此，在幼兒園和小學(xué)階段可以以具體情境中的事物為載體開展非形式化的推理活動(dòng)，目的是讓學(xué)生認(rèn)同邏輯推理這種思維模式；初中階段可以逐漸建立起簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)概念基礎(chǔ)上的邏輯推理，但仍然需要借助具體情境中的事物或現(xiàn)象，高中階段可以逐步滲透基于數(shù)學(xué)概念的形式化邏輯推理思維模式[20]，在純數(shù)學(xué)情境中培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng)．

3.3 數(shù)學(xué)建模與情境

數(shù)學(xué)建模是用數(shù)學(xué)的概念、原理和思維方法描述現(xiàn)實(shí)世界中具有數(shù)學(xué)規(guī)律性的事物[21]，是應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決現(xiàn)實(shí)世界問題的主要方法．?dāng)?shù)學(xué)建模需要個(gè)體能夠從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)和提出現(xiàn)實(shí)世界中的問題，對(duì)現(xiàn)實(shí)情境中的問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法分析問題，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型得出初步的解決方案，在現(xiàn)實(shí)問題情境中驗(yàn)證結(jié)果并改進(jìn)數(shù)學(xué)模型，最終解決現(xiàn)實(shí)問題．?dāng)?shù)學(xué)建模兼顧數(shù)學(xué)和現(xiàn)實(shí)世界情境兩個(gè)維度，重點(diǎn)關(guān)注數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)世界情境中的應(yīng)用價(jià)值，而其應(yīng)用價(jià)值亦是推動(dòng)數(shù)學(xué)自身發(fā)展的動(dòng)力之一．從自然科學(xué)到社會(huì)科學(xué)，從專業(yè)研究到日常生活，數(shù)學(xué)建模都依賴于學(xué)科情境和生活情境，并在解決許多現(xiàn)實(shí)問題中體現(xiàn)出數(shù)學(xué)不可替代的工具性價(jià)值．為了促進(jìn)高校人才培養(yǎng)對(duì)于數(shù)學(xué)建模的關(guān)注，以及發(fā)展大學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，國際上很多國家和地區(qū)都有舉辦大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，比如，美國數(shù)學(xué)及其應(yīng)用聯(lián)合會(huì)主辦的美國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽（MCM/ICM），是國際性數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，也是世界范圍內(nèi)最具影響力的數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，每年吸引全球各個(gè)國家和地區(qū)的眾多高校學(xué)生參與此項(xiàng)賽事角逐；中國的全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，是中國國內(nèi)高校規(guī)模最大的基礎(chǔ)性學(xué)科競(jìng)賽，每年也都會(huì)吸引大批大學(xué)生踴躍參賽．

數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)是一項(xiàng)綜合性很強(qiáng)的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，其中很重要的原因來自客觀現(xiàn)實(shí)世界的復(fù)雜性．?dāng)?shù)學(xué)本身是用來描述客觀世界中數(shù)量關(guān)系和空間形式方面普遍規(guī)律的，但在現(xiàn)實(shí)世界中，這些普遍規(guī)律往往會(huì)受到現(xiàn)實(shí)世界中除了數(shù)量關(guān)系和空間形式以外的其它因素的制約，而且在不同的情境下，這些制約因素的數(shù)量多少和復(fù)雜程度也是不同的．因此，數(shù)學(xué)建模的整個(gè)過程都必須充分細(xì)致地考慮情境中各種復(fù)雜的制約因素，并與數(shù)學(xué)知識(shí)與方法完美結(jié)合，還需要在現(xiàn)實(shí)世界情境中檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷恼_性和可靠性，改進(jìn)和完善數(shù)學(xué)模型以適應(yīng)情境的真實(shí)需要．

培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，首先應(yīng)樹立學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)的語言和方法，描述和解決現(xiàn)實(shí)情境中實(shí)際問題的意識(shí)．中小學(xué)階段，學(xué)生掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)認(rèn)知能力有限，無法解決復(fù)雜現(xiàn)實(shí)情境中的真實(shí)問題，教師可以向?qū)W生提供一些經(jīng)過簡(jiǎn)化的、學(xué)生熟悉的現(xiàn)實(shí)情境，剔除其中復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)因素，解決一些理想化了的現(xiàn)實(shí)問題．從引導(dǎo)學(xué)生在實(shí)際情境中發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題開始，然后運(yùn)用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，針對(duì)理想化了的數(shù)學(xué)問題，選擇適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)單方程或函數(shù)等建立簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型．在此過程中讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)建模的意義和作用，運(yùn)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)數(shù)學(xué)建模的過程和結(jié)果．這樣做的目的不在于真正解決現(xiàn)實(shí)問題，而在于讓學(xué)生多次經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)建模過程，積累利用數(shù)學(xué)建模解決現(xiàn)實(shí)問題的經(jīng)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)能夠在熟悉的實(shí)際情境中，模仿學(xué)過的數(shù)學(xué)建模過程解決問題．隨著學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的增加和數(shù)學(xué)認(rèn)知能力的增長，教師可以逐步放寬情境中的各種現(xiàn)實(shí)條件，逐漸增加情境中的復(fù)雜現(xiàn)實(shí)因素，直至提供給學(xué)生完全真實(shí)的現(xiàn)實(shí)情境，讓學(xué)生構(gòu)建適合完全真實(shí)現(xiàn)實(shí)情境需要的方程或函數(shù)模型，多次體驗(yàn)和經(jīng)歷真實(shí)的數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，積累完整真實(shí)的數(shù)學(xué)建模經(jīng)驗(yàn)，形成數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)．

3.4 數(shù)學(xué)運(yùn)算與情境

數(shù)學(xué)運(yùn)算是指依據(jù)運(yùn)算法則，對(duì)數(shù)、量或式子等運(yùn)算對(duì)象進(jìn)行代換或變換[22]，解決數(shù)學(xué)問題的過程．因此，不同于一般理解的數(shù)學(xué)計(jì)算，數(shù)學(xué)運(yùn)算不僅包括了數(shù)字的簡(jiǎn)單計(jì)算，還包括各種數(shù)學(xué)式子及方程的變形，以及極限、微積分、邏輯代數(shù)的運(yùn)算等[23]．在很多自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)中，數(shù)學(xué)運(yùn)算的使用越來越廣泛而深入，學(xué)習(xí)和研究這些學(xué)科需要具備優(yōu)秀的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．在日常生活和工作以及各類數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)中，良好的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)也是必不可少的．

從情境的角度看，數(shù)學(xué)運(yùn)算本身主要發(fā)生在純數(shù)學(xué)情境中，屬于可以脫離現(xiàn)實(shí)情境中的具體事物而存在的一種數(shù)學(xué)抽象思維活動(dòng)．但是數(shù)學(xué)運(yùn)算作為一種解決科學(xué)研究和社會(huì)生活中很多實(shí)際問題的重要方法，又離不開客觀世界現(xiàn)實(shí)情境的依托和限制．譬如，婦孺皆知的哥德巴赫猜想是世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一，為了解決這個(gè)純粹的數(shù)學(xué)問題而用到的數(shù)學(xué)運(yùn)算完全發(fā)生在數(shù)學(xué)情境中，不必考慮任何現(xiàn)實(shí)世界中的客觀因素，但是如果使用數(shù)學(xué)運(yùn)算是為了解決一個(gè)科學(xué)研究或社會(huì)生活中的問題，例如通過數(shù)學(xué)運(yùn)算求解某一型號(hào)的洲際彈道導(dǎo)彈的運(yùn)行速度和可能的攔截時(shí)間，或者預(yù)測(cè)2030年中國的總?cè)丝跀?shù)量，就必須考慮現(xiàn)實(shí)世界情境中的各種復(fù)雜因素．

在數(shù)學(xué)教育中，數(shù)學(xué)運(yùn)算歷來是課程和教學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，但隨著電子計(jì)算器的普遍使用和計(jì)算機(jī)技術(shù)的廣泛應(yīng)用，作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)運(yùn)算不再僅僅關(guān)注計(jì)算能力和計(jì)算技巧，不再簡(jiǎn)單追求做算術(shù)題的正確率和速度，而是關(guān)注建立運(yùn)算的思路，算法的設(shè)計(jì)以及依據(jù)算法解決數(shù)學(xué)實(shí)際問題的過程[24]．具體情境中的數(shù)學(xué)運(yùn)算不是簡(jiǎn)單的要求學(xué)生算得對(duì)，算得快，往往需要學(xué)生在情境中理解運(yùn)算對(duì)象、探究運(yùn)算方向，根據(jù)情境的實(shí)際需要選擇運(yùn)算方法、設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果之后根據(jù)情境的限制條件檢驗(yàn)修正等，最終實(shí)現(xiàn)有效借助運(yùn)算方法解決實(shí)際問題，在此過程中表現(xiàn)出個(gè)體的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．

基本的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)需要學(xué)生在數(shù)學(xué)情境中明晰和理解運(yùn)算對(duì)象，提出運(yùn)算問題，建立運(yùn)算關(guān)系；根據(jù)數(shù)學(xué)情境分析運(yùn)算條件、確定運(yùn)算方向，選擇運(yùn)算法則和方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序；知曉運(yùn)算法則和方法在數(shù)學(xué)情境中的意義和作用，能夠利用運(yùn)算結(jié)果驗(yàn)證數(shù)學(xué)情境中的數(shù)學(xué)結(jié)論，解釋和說明具體的數(shù)學(xué)問題．良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)則需要學(xué)生能夠在科學(xué)、社會(huì)和生活等現(xiàn)實(shí)情境中，發(fā)現(xiàn)或者將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為運(yùn)算問題，確定運(yùn)算對(duì)象和運(yùn)算法則，明確運(yùn)算方向；根據(jù)現(xiàn)實(shí)情境的需要設(shè)計(jì)和構(gòu)建合適的算法和運(yùn)算程序，養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)某绦蚧乃枷肜斫狻⒈磉_(dá)和解釋問題的思維習(xí)慣．

3.5 直觀想象與情境

直觀是借助經(jīng)驗(yàn)、觀察、測(cè)試或類比聯(lián)想，所產(chǎn)生的對(duì)事物關(guān)系直接的感知與認(rèn)識(shí)[25]，而不需要經(jīng)過充分邏輯推理．幾何直觀是借助于見到的（或想象出來的）幾何圖形的形象關(guān)系，對(duì)數(shù)學(xué)的研究對(duì)象（空間形式和數(shù)量關(guān)系）進(jìn)行直接感知、整體把握的能力[26]．著名數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家M·克萊因認(rèn)為：“數(shù)學(xué)不是依靠在邏輯上，而是依靠在正確的直觀上．”[27]國內(nèi)學(xué)者史寧中也認(rèn)為，在大多數(shù)情況下，數(shù)學(xué)的結(jié)果是“看”出來的，而不是“證”出來的，數(shù)學(xué)學(xué)科中，對(duì)于結(jié)果的預(yù)測(cè)和對(duì)于原因的探究，起步階段依賴的都是直觀[28]，例如數(shù)學(xué)史上曾經(jīng)出現(xiàn)的許多著名的數(shù)學(xué)猜想，數(shù)學(xué)家們?cè)跊]有經(jīng)過嚴(yán)格的推理論證之前，便可以預(yù)測(cè)到某些數(shù)學(xué)結(jié)果．

數(shù)學(xué)中的想象一般是指空間想象，其含義是對(duì)于客觀事物的空間形式（形狀、結(jié)構(gòu)、度量及其位置關(guān)系）經(jīng)過數(shù)學(xué)抽象后在個(gè)體頭腦中的再現(xiàn)與重構(gòu)．空間想象包括對(duì)空間觀念的理解和對(duì)二維、三維空間幾何圖形的運(yùn)動(dòng)、變換和位置關(guān)系的認(rèn)識(shí)，以及數(shù)形結(jié)合、代數(shù)問題的幾何解釋等[29]．

數(shù)學(xué)中的直觀想象屬于理性思維，需要借助數(shù)學(xué)抽象，得到情境中數(shù)量關(guān)系和空間結(jié)構(gòu)的本質(zhì)屬性．直觀是在可視化情境中產(chǎn)生的，直接判斷的依據(jù)是個(gè)體的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，一般得到的是靜態(tài)的數(shù)學(xué)對(duì)象；想象則可以脫離可視化情境，完全在個(gè)體頭腦中產(chǎn)生一個(gè)虛擬情境，這個(gè)虛擬的情境中可以存在靜態(tài)的數(shù)學(xué)對(duì)象，也可以存在動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)對(duì)象變化過程，但想象的依據(jù)仍然是個(gè)體的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)．

按照直觀想象與情境之間的關(guān)系，可以將直觀想象分為兩大類：現(xiàn)實(shí)情境的直觀想象和純數(shù)學(xué)情境的直觀想象．現(xiàn)實(shí)情境的直觀想象需要借助與數(shù)學(xué)對(duì)象有關(guān)聯(lián)的現(xiàn)實(shí)世界情境中的事物或現(xiàn)象，例如把一條綿延不絕的筆直公路直觀成一條直線，把晴朗夜空中劃過的流星直觀成一條射線，想象地球繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道是一個(gè)近似半徑為1.5億公里的圓，想象有一根可以繞著一點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的長桿，有一只小蟲沿著桿勻速向外爬去．當(dāng)長桿勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)候小蟲畫出的軌跡是阿基米德螺線．純數(shù)學(xué)情境的直觀想象需要借助與數(shù)學(xué)對(duì)象有關(guān)聯(lián)的純數(shù)學(xué)情境中的符號(hào)或圖形，例如計(jì)算從1連加到100的和，可以直觀出1+100=101，2+99=101，以此類推，直到50+51=101，從而可以把原問題看成是求50組101的和；為了解決著名的哥尼斯堡七橋問題，數(shù)學(xué)家歐拉把哥尼斯堡某一公園中的七座橋直觀成線，把橋兩端的陸地直觀成點(diǎn)，把“是否可能從這4塊陸地中任一塊出發(fā)，恰好通過每座橋一次，再回到出發(fā)點(diǎn)”經(jīng)過數(shù)學(xué)抽象后，想象成一筆畫的幾何問題．

培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)需要在大量具體的現(xiàn)實(shí)情境和抽象的純數(shù)學(xué)情境中，提供具體實(shí)物、抽象化的實(shí)物模型、代數(shù)模型樣例、幾何模型圖或者利用信息技術(shù)演示模擬的實(shí)物圖片、三維立體模擬模型、幾何模型圖和變化過程模擬動(dòng)畫等，并且讓學(xué)生認(rèn)真仔細(xì)的觀察和較為深入長久的思考，經(jīng)過學(xué)生頭腦中對(duì)這些實(shí)物表象和模擬實(shí)物表象的抽象和概括、記憶和聯(lián)想、對(duì)比和加工，學(xué)習(xí)畫出正確、標(biāo)準(zhǔn)的直觀想象平面圖，用文字或語言準(zhǔn)確描述直觀想象圖或動(dòng)態(tài)過程，逐漸積累豐富的直觀想象方面的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，在現(xiàn)實(shí)情境和純數(shù)學(xué)情境下反復(fù)實(shí)踐和訓(xùn)練，最終轉(zhuǎn)化為學(xué)生的數(shù)學(xué)直觀想象素養(yǎng)．

3.6 數(shù)據(jù)分析與情境

當(dāng)今社會(huì)已經(jīng)步入大數(shù)據(jù)時(shí)代，數(shù)據(jù)也已經(jīng)滲透到當(dāng)今各個(gè)行業(yè)和業(yè)務(wù)職能領(lǐng)域．人們?cè)诳茖W(xué)研究和社會(huì)生活中會(huì)經(jīng)常用到統(tǒng)計(jì)知識(shí)，其中的核心工作是數(shù)據(jù)分析，其不等同于簡(jiǎn)單的數(shù)字運(yùn)算和圖表制作．?dāng)?shù)據(jù)是信息的載體，這個(gè)載體包括數(shù)，也包括言語、信號(hào)、圖象，凡是能夠承載事物信息的東西都構(gòu)成數(shù)據(jù)[30]．有價(jià)值的數(shù)據(jù)不是憑空想象和恣意捏造出來的，從情境的角度看，數(shù)據(jù)的主要來源是客觀現(xiàn)實(shí)世界，任何數(shù)據(jù)不僅僅是包含數(shù)量、文字、符號(hào)、圖形等抽象信息，必然還包含了與現(xiàn)實(shí)情境有關(guān)的背景信息，這些背景信息中的人或事物就夠成了數(shù)據(jù)的情境．?dāng)?shù)據(jù)分析首先應(yīng)該根據(jù)現(xiàn)實(shí)情境中實(shí)際問題的需求收集和整理數(shù)據(jù)，識(shí)別有價(jià)值的數(shù)據(jù)，理解數(shù)據(jù)蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)信息，建立必要的分析模型，借助必要的數(shù)據(jù)分析軟件，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)方法對(duì)數(shù)據(jù)中的信息進(jìn)行分析和推斷，得出結(jié)論后在具體情境中解釋結(jié)論的意義和價(jià)值．

數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的教學(xué)應(yīng)該為學(xué)生提供現(xiàn)實(shí)情境中的典型案例，感悟數(shù)據(jù)分析．應(yīng)該讓低年級(jí)的學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)據(jù)蘊(yùn)含豐富信息，現(xiàn)實(shí)生活中的許多問題應(yīng)當(dāng)通過收集數(shù)據(jù)并且分析數(shù)據(jù)后才能得出有效結(jié)論，以此建立數(shù)據(jù)分析意識(shí)；中年級(jí)的學(xué)生應(yīng)該知曉數(shù)據(jù)分析方法的多樣性，并且需要根據(jù)情境選擇合適的方法；體驗(yàn)數(shù)據(jù)收集出現(xiàn)的隨機(jī)性，以及發(fā)現(xiàn)規(guī)律的或然性．對(duì)于高年級(jí)的學(xué)生可以在現(xiàn)實(shí)情境中經(jīng)歷較為系統(tǒng)的數(shù)據(jù)分析過程，通過數(shù)據(jù)分析解決簡(jiǎn)單實(shí)際問題，樹立依據(jù)數(shù)據(jù)表達(dá)現(xiàn)實(shí)問題的意識(shí)，培養(yǎng)恰當(dāng)選擇和正確使用數(shù)據(jù)分析思路、方法處理數(shù)據(jù)的能力，以及利用數(shù)據(jù)思考、解釋、解決現(xiàn)實(shí)問題的習(xí)慣，積累數(shù)據(jù)分析的經(jīng)驗(yàn)，形成數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)．

4 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的評(píng)價(jià)

核心素養(yǎng)作為個(gè)體在大量情境中訓(xùn)練和積累起來的必備品格與關(guān)鍵能力，屬于個(gè)體內(nèi)在的、具身的、整體的心理特征，表現(xiàn)為看待事物和處理問題時(shí)的穩(wěn)定的意識(shí)、習(xí)慣和模式．從這個(gè)意義上來看，核心素養(yǎng)的評(píng)價(jià)更類似于心理測(cè)評(píng)．因此，常規(guī)的教育評(píng)價(jià)模式難以準(zhǔn)確、全面、深刻地評(píng)價(jià)核心素養(yǎng)．當(dāng)前，以表現(xiàn)性評(píng)價(jià)（Performance Assessment）為代表的第四代教育評(píng)價(jià)模式在核心素養(yǎng)的評(píng)價(jià)領(lǐng)域受到很多青睞．表現(xiàn)性評(píng)價(jià)可以界定為：從質(zhì)性的角度，以能夠產(chǎn)生思維必然性的某種情境的學(xué)習(xí)者的行為與作品（表現(xiàn)）為線索，對(duì)概念理解的深度與知識(shí)技能的綜合運(yùn)用進(jìn)行的評(píng)價(jià)[31]．從該定義可以看出，表現(xiàn)性評(píng)價(jià)高度依賴個(gè)體在情境中的表現(xiàn)．雖然表現(xiàn)性評(píng)價(jià)在評(píng)價(jià)核心素養(yǎng)方面仍然存在局限，但與普通的標(biāo)準(zhǔn)化紙筆測(cè)驗(yàn)相比，以個(gè)體在情境中的表現(xiàn)評(píng)價(jià)核心素養(yǎng)無疑是巨大的進(jìn)步，應(yīng)該是未來核心素養(yǎng)評(píng)價(jià)發(fā)展的主要方向．

有別于自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)，數(shù)學(xué)學(xué)科作為一門特殊的形式科學(xué)，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的評(píng)價(jià)必定也具有其特殊性．當(dāng)前大致可以把數(shù)學(xué)學(xué)科分為純理論類數(shù)學(xué)和應(yīng)用類數(shù)學(xué)兩大類．很多情況下，純理論數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究只需要紙、筆、計(jì)算器和數(shù)學(xué)類計(jì)算機(jī)軟件即可實(shí)現(xiàn)，不需要依托現(xiàn)實(shí)情境中的人、事物、環(huán)境、儀器和設(shè)備等；應(yīng)用類數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究則需要依托外在情境中的人、事物、環(huán)境、儀器和設(shè)備等．?dāng)?shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽中的獲獎(jiǎng)選手和研究純理論類數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)家必定擁有優(yōu)秀的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，善于發(fā)現(xiàn)和解決現(xiàn)實(shí)世界生活中的數(shù)學(xué)問題的普通人、研究應(yīng)用類數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)家、自然科學(xué)研究中能夠利用數(shù)學(xué)知識(shí)創(chuàng)造發(fā)明新的科學(xué)理論和科學(xué)技術(shù)的研究者、社會(huì)科學(xué)研究中善于利用數(shù)學(xué)知識(shí)處理分析數(shù)據(jù)和用數(shù)學(xué)的方法解決社會(huì)問題的研究者也必定擁有良好的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．這些事實(shí)可以啟發(fā)我們思考和探索數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的評(píng)價(jià)．

鑒于當(dāng)前在核心素養(yǎng)評(píng)價(jià)中備受青睞的表現(xiàn)性評(píng)價(jià)對(duì)于情境的高度依賴，以及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與情境的密切關(guān)系，在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的評(píng)價(jià)中，情境的設(shè)計(jì)和構(gòu)建顯得尤為重要，直接影響著數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效評(píng)價(jià)．從情境的角度研究數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的評(píng)價(jià)，可以分別從現(xiàn)實(shí)世界情境和純數(shù)學(xué)情境兩個(gè)方面評(píng)價(jià)，對(duì)于基礎(chǔ)教育而言，亦可以評(píng)價(jià)學(xué)生在現(xiàn)實(shí)世界情境和純數(shù)學(xué)情境中的整體數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．情境的設(shè)計(jì)和構(gòu)建在評(píng)價(jià)核心數(shù)學(xué)素養(yǎng)時(shí)應(yīng)兼顧側(cè)重性和綜合性，除了針對(duì)不同的單個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)設(shè)計(jì)相應(yīng)的情境，還可以設(shè)計(jì)核構(gòu)建綜合情境考察學(xué)生的多個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．情境以及情境中問題的復(fù)雜程度構(gòu)成了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平劃分的基礎(chǔ)，直接制約著數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平的準(zhǔn)確評(píng)價(jià)，一般而言，簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)情境和現(xiàn)實(shí)生活情境可以用于評(píng)價(jià)普通水平的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，復(fù)雜的數(shù)學(xué)情境和科學(xué)情境、社會(huì)情境可以用于評(píng)價(jià)較高水平的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．此外，情境的話題、成分、結(jié)構(gòu)、表征形式、信息容量、開放程度、可容納的思維活動(dòng)空間等都會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的評(píng)價(jià)產(chǎn)生密切影響，可以作為今后數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)評(píng)價(jià)的研究?jī)?nèi)容之一．

5 結(jié)束語

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)屬于個(gè)體內(nèi)在的思維品質(zhì)和能力，只有當(dāng)個(gè)體處理具體情境中的具體事物或問題時(shí)，才能將個(gè)體內(nèi)在的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)轉(zhuǎn)化為外在的行為表現(xiàn)，被他人所察覺和感知．?dāng)?shù)學(xué)核心素養(yǎng)是學(xué)生在具有情境的數(shù)學(xué)活動(dòng)中切實(shí)感悟、綜合理解、反復(fù)強(qiáng)化逐漸形成的，主要來源是數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累．教師的教學(xué)設(shè)計(jì)需要著重思考具體教學(xué)情境與具體數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)之間的相關(guān)性．?dāng)?shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效評(píng)價(jià)應(yīng)以個(gè)體在具體情境中的表現(xiàn)為依據(jù)，科學(xué)設(shè)計(jì)和合理構(gòu)造用于評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的任務(wù)情境的是提高評(píng)價(jià)信度和效度的重要保證．

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[責(zé)任編校：周學(xué)智]

Key Competency of Mathematics from the Perspective of Context

CHANG Lei, BAO Jian-sheng

(The Department of Mathematics, East China Normal University, Shanghai 200241, China)

Key competency had become the international highly concerned educational hot issue, and also became the main focus of a new round of curriculum deepen reform in China nowadays. Some international education research institutions and famous education scholars in China agree that key competency and context had a substantial connection. Key competency of mathematics as an important composition of key competency, had both generality and particularity compared with the relationship between key competency and context. Analysis and elucidate the deepen relationship between context and six key competencies of mathematics, including mathematical abstraction, logical reasoning, mathematical modeling, mathematical operation, intuitive imagination and data analysis, explore the close link between context and key competency of mathematics in development and evaluation, provided some references for the subsequent research of key competency of mathematics from the perspective of context.

key competency of mathematics; context; relevance; develop; evaluate

G40-03

A

1004–9894（2017）02–0024–05

2016–09–22

2014年國家建設(shè)高水平大學(xué)公派研究生項(xiàng)目——國家留學(xué)基金委資助華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系與澳大利亞墨爾本大學(xué)墨爾本教育研究學(xué)院聯(lián)合培養(yǎng)博士生（留金發(fā)[2014]3026號(hào)）；2016年上海市立德樹人人文社科重點(diǎn)研究基地項(xiàng)目——立德樹人人文社科基地建設(shè)（B8），子課題——數(shù)學(xué)教師的實(shí)踐知能和教師專業(yè)發(fā)展者的現(xiàn)狀調(diào)查

常磊（1986—），男，河南安陽人，博士生，主要從事數(shù)學(xué)教學(xué)情境、數(shù)學(xué)課堂教學(xué)和數(shù)學(xué)教師的實(shí)踐知能研究．