靳玉保

對計算山體極限高度的探討
——第33屆全國中學(xué)生物理競賽預(yù)賽第12題的剖析

靳玉保

（焦作市基礎(chǔ)教育教學(xué)研究室，河南焦作 454000）

本文通過對第33屆全國中學(xué)生物理競賽預(yù)賽第12題的分析，在考慮高度對重力加速度的影響下，山體極限高度的計算思路會發(fā)生相應(yīng)變化，計算結(jié)果也會有較大差異．

山體高度；重力加速度；物理競賽

2016年第33屆全國中學(xué)生物理競賽預(yù)賽落下了帷幕，試卷注重理論聯(lián)系實際，注重模型的建立．但就本試卷上的第12題，筆者認為解法不夠嚴謹，下面談?wù)勛约旱囊恍┛捶ǎ?/p>

原題．一固體星球可近似看作半徑為R（足夠大）的球形均勻的固體，構(gòu)成星球的物質(zhì)的密度為ρ，引力常量為G．

（1）考慮星球表面山體的高度．如果山高超出某一限度，山基便發(fā)生流動（可認為是山基部分物質(zhì)熔化的結(jié)果，相當(dāng)于超出山的最高限的那塊固體物質(zhì)從山頂移走了），從而使山的高度減低．山在這種情況下其高度的小幅減低可視為一小塊質(zhì)量的物質(zhì)從山頂移至山底．假設(shè)該小塊物質(zhì)重力勢能的減少與其全部熔化所需要的能量相當(dāng)，山體由同一種物質(zhì)構(gòu)成，該物質(zhì)的熔化熱為L，不考慮溫度升到熔點所需要能量，也不考慮壓強對固體熔化熱的影響．試估計由同一種物質(zhì)構(gòu)成的山體高度的上限．

（3）月亮是一個固體星球，其密度和半徑分別為3．34×103kg／m3和1．7×106m．假設(shè)月亮全由SiO2構(gòu)成，SiO2的熔化熱為2．4×105J／kg．已知G＝6．67×10－11N·m2／kg2．估計月球上的山體高度與月球半徑比值的上限．

此題能很好地考查學(xué)生的審題能力、建模能力，是一道難得的好題．解決此題的關(guān)鍵是突破第（1）問，第（2）、（3）是第（1）問導(dǎo)出結(jié)果的變形和代入數(shù)據(jù)．我們不妨先看一下參考答案．

原解析：（1）由于星球是均勻球體，且山體的高度h遠小于球體的半徑R．按題模型有mghmax＝mL．

式中hmax是由同樣物質(zhì)構(gòu)成的山體高度上限，m是會熔化掉的那一小塊物質(zhì)的質(zhì)量．在星球表面由引力產(chǎn)生的加速度為，式中M是星體的質(zhì)量．

命題者在設(shè)計此題時，都是以星球半徑足夠大為模型進行求解的．如果認為星球半徑足夠大（即無限大），則山的高度可以忽略，重力加速度g也就不會隨山的高度而變化．然而筆者認為，如果星球半徑足夠大，則星球半徑與山高就不具有可比性，這就與本題的第（2）問星球半徑最小是山高的10倍相矛盾．可見，星球?qū)ι襟w而言不能看作無限大．高度為的山體頂端與底端的重力加速度應(yīng)該有明顯的差別，山體高度對重力加速度的影響自然就不能忽略，因此解決此題的思路也必將發(fā)生變化．由于重力加速度隨著高度將發(fā)生變化，故重力勢能的表達式mgh將不能使用．我們只好使用天體的重力勢能表達式Ep＝－，式中r是物體到天體球心的距離，M是天體的質(zhì)量，m是物體的質(zhì)量，并取無限遠處重力勢能為0．

鑒于以上分析，若考慮天體表面高度對重力加速度的影響，此題解法如下．

（1）由于星球是均勻球體，重力勢能的表達式為式中r是物體到天體球心的距離，按題模型有

式中hmax是由同樣物質(zhì)構(gòu)成的山體高度上限，m是會熔化掉的那一小塊物質(zhì)的質(zhì)量．

根據(jù)題設(shè)有

由（2）、（3）式得

故該星球上山體的高度滿足

（2）按題設(shè)要求，

由（4）、（6）式得

（3）將（5）式變形得

代入題給數(shù)據(jù)得

通過以上分析可以看出，筆者計算的山體最大高度是0．098倍的天體半徑，而原參考答案計算的山體最大高度是0．09倍的天體半徑．兩者計算結(jié)果相差將近10%，顯然是不能忽略的．那么為什么筆者計算的山體高度會更高呢？這是因為隨著高度的增加，重力加速度g減小，同樣高度筆者計算的某物體重力勢能就比原參考答案計算的重力勢能要小，而要讓山基部分同等質(zhì)量的物質(zhì)熔化，在重力加速度g減小的情況下，只有增加山的高度才能使山頂物質(zhì)的重力勢能達到應(yīng)有的大小，從而使山基部分物質(zhì)熔化．

2016－09－04）