馬廣明 浦仕畢

·競賽園地·

用相對運動方法解兩道競賽試題

馬廣明 浦仕畢

（北京市第十二中學(xué)，北京 100071）

相對運動觀點是分析運動問題的一種重要思想方法，尤其是在分析處理運動學(xué)中的兩個物體同時發(fā)生運動的相關(guān)問題時十分必要且有效．本文對物理競賽試題中的兩道運動問題用相對運動方法進行實例分析，以凸顯此種方法的精妙．

相對運動；相對速度；矢量關(guān)系

第33屆全國中學(xué)生物理競賽預(yù)賽試題，有兩道涉及同一平面上兩物體的直線運動內(nèi)容．這兩個問題，若運用相對運動觀點處理，解法簡單、直觀．

題1．從樓頂邊緣以大小為v0的初速度豎直上拋一小球；經(jīng)過t0時間后在樓頂邊緣從靜止開始釋放另一小球．若要求兩小球同時落地，忽略空氣阻力，則v0的取值范圍和拋出點的高度

解析：兩個小球都在豎直方向上發(fā)生運動時，在其中一個球上觀察另一個球，其做勻速直線運動．

圖1

設(shè)球1某時刻開始做豎直上拋運動，球2經(jīng)過時間t0開始做自由落體運動．要求兩小球同時落地，就是在t0時刻，在球2上觀察球1，看到球在其上方距離球2一定距離h處，并向下以一定速度向球2運動．如圖1所示．

t0時刻球2的速度為0，球1此時的速度v1＝v0－gt0就是球1相對球2做勻速運動的速度．兩個要求：①v1方向豎直向下；②v1的大小小于v0．否則球1回到了拋出點或以下，先于球2落地．由此得出＜v0＜gt0．

滿足上述速度要求的條件下，t0時刻球1位于球2上方，且以速度v1勻速向球2運動，經(jīng)歷時間t＝H／v1球1追上球2，兩球相遇．則拋出點距地面的高度也就是對應(yīng)時間內(nèi)球2自由落體運動下落的高度為

此題選項（C）正確．

題2．一足球運動員1自A點向球門的B點踢球，已知A、B之間的距離為s，球自A向B的運動可視為水平地面上的勻速直線運動，速率為u，另一足球運動員2到AB連線的距離為l，到A、B兩點的距離相等．運動員1踢出球后，運動員2以勻速v沿直線去攔截該球．設(shè)運動員2開始出發(fā)去攔截球的時刻與球被運動員1踢出的時刻相同．

（1）如果運動員2能攔截到球，求運動員2開始出發(fā)去攔截球直至攔截到球的時間間隔，球被攔截時球到A點的距離、球到運動員2出發(fā)點的距離和運動員2運動的方向與A、B連線的夾角．

（2）為了使運動員2能攔截到球，求u、v、s和l應(yīng)當(dāng)滿足的條件．

參考解答給出的解法是：記運動員1踢出球的時刻為零時刻．設(shè)運動員2沿著與A、B連線夾角為θ的方向運動，球在時刻t被運動員2攔截．令球被攔截時球到A點和運動員2到出發(fā)點的距離分別為s1和s2，則

由幾何關(guān)系有

從（3）、（4）消去θ，并利用（1）、（2）式得

此即

這是關(guān)于t的一元二次方程，解為

由（1）、（2）、（7）式得

由（4）、（9）式得

（2）方程（6）有實數(shù)解的條件是

依題意有t＞0的條件要求，則

（7）～（10）式則為

運動員2只能在一處攔截到球．

本文給出運用相對運動觀點的分析如下．

由題設(shè)，開始時，球與運動員2的位置之間幾何關(guān)系如圖2所示：圖中AB與AC間夾角為α，其中AC間的距離為運動員2與1相遇，就是在運動員2看來，球于距離為的A處向自己勻速運動過來．其速度矢量圖如圖3所示，滿足：

圖2

圖3

從分解的角度來認(rèn)識相應(yīng)關(guān)系．

（1）在垂直AC線方向上，兩運動員的分速度相等，則

（2）在平行于AC線方向上，ucosα，vcosβ構(gòu)成了兩者的相對運動速度，但存在圖3中標(biāo)注的（2）和（1）兩種情況．

① 計算．相遇時間間隔，球運動的路程，運動員2運動的路程分別為

② 攔截條件的分析．

若矢量三角形存在，v有最小值vmin，圖3所示．則v≥usinα，代入sinα值，所求條件為

需要特別說明的是，參考答案給出的解法中關(guān)于u的數(shù)值關(guān)系的（14）式，即，是不全面、不準(zhǔn)確的，其正確關(guān)系表示應(yīng)如上式所示．

由上比較可見，用相對運動方法分析層次分明，物理意義明顯，對問題理解有特殊功效，不可忽視．

2016－09－16）