鄭步秋,胡俊強(qiáng)

(1.湖南華菱湘潭鋼鐵有限公司 五米寬厚板廠，湘潭 411101；2.湖南工程學(xué)院 電氣信息學(xué)院，湘潭 411104)

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步系統(tǒng)牽制控制器設(shè)計

鄭步秋1,胡俊強(qiáng)2

(1.湖南華菱湘潭鋼鐵有限公司 五米寬厚板廠，湘潭 411101；2.湖南工程學(xué)院 電氣信息學(xué)院，湘潭 411104)

針對復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，研究此類系統(tǒng)的同步控制問題.利用牽制原理，牽制系統(tǒng)部分節(jié)點，運(yùn)用Lyapunov穩(wěn)定性理論并結(jié)合矩陣不等式處理方法，得出了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)同步牽制控制器存在的充分條件.同時得出了牽制節(jié)點數(shù)和牽制控制增益大小之間的關(guān)系圖.最后給出兩個數(shù)值仿真說明其有效性.

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，同步，牽制控制

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)廣泛存在于自然界與人類社會的各種現(xiàn)象中.由于其應(yīng)用廣泛及其理論研究方法的不斷突破，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)已成為物理學(xué)、信息學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、管理學(xué)、社會學(xué)等學(xué)科研究的熱點課題.

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)節(jié)點同步[1-13]是自然網(wǎng)絡(luò)和社會網(wǎng)絡(luò)的一個重要特性，也是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中一個基本的現(xiàn)象，在對復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)同步過程的研究中，一方面是研究復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的自同步特性，另一方面是研究設(shè)計控制器，研究復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的同步控制問題.針對復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)同步控制問題，許多控制方法被運(yùn)用，如脈沖控制方法[3-7]、自適應(yīng)控制方法[8-11]以及它們之間的組合控制方法[12-13]被廣泛運(yùn)用作用于混沌系統(tǒng).同時，在實際生活中，對于一個實際的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，如人體的大腦、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，自然界中的生態(tài)網(wǎng)絡(luò)，等等此類系統(tǒng)，其網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點數(shù)是不可數(shù)的，在設(shè)計控制器的過程中若針對每個節(jié)點，則這既是一件繁瑣，同樣也是一件不容易完成的事.針對這種情況，牽制控制就應(yīng)運(yùn)而生，其控制思想是控制系統(tǒng)的部分節(jié)點，通過節(jié)點間的相互作用，進(jìn)而達(dá)到控制整個網(wǎng)絡(luò)，使系統(tǒng)達(dá)到同步穩(wěn)定的目的.

近年來，由于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論的發(fā)展，涌現(xiàn)出許多利用牽制控制原理，設(shè)計牽制控制器，使復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)達(dá)到同步穩(wěn)定的相關(guān)研究[14-15].但是，針對一個節(jié)點眾多的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，設(shè)計牽制控制器時，節(jié)點的選取問題，即在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中，選取哪些節(jié)點的問題、選擇節(jié)點數(shù)量的問題、以多大的控制增益實現(xiàn)控制的問題等一直是研究復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)牽制控制中的一個亟待解決的問題.

基于上述，本文針對復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，利用牽制控制原理，選取度較高的節(jié)點進(jìn)行控制，運(yùn)用Lyapunov穩(wěn)定性理論并結(jié)合矩陣不等式處理方法，得出復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)同步牽制控制器存在的充分條件，同時，得出了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中控制節(jié)點的數(shù)目與控制增益大小之間的關(guān)系圖，最后給出數(shù)值仿真說明其有效性.

1 問題描述

考慮如下復(fù)雜動態(tài)網(wǎng)絡(luò)：

(1)

假設(shè)1:文獻(xiàn)[16]在系統(tǒng)(1)中，存在一個正數(shù)l，對光滑非線性函數(shù)f(·)滿足下面Lipschitz條件

||f(a)-f(b)||≤l||a-b||

(2)

其中a,b∈R，||·||表示歐幾里得范數(shù).

①S<0,

定義1：若一個網(wǎng)絡(luò)達(dá)到漸進(jìn)同步，則

x1(t)=x2(t)=…=xN(t)=s(t),t→

(3)

ei(t)=xi(t)-s(t)

(4)

從等式(4)和系統(tǒng)(1)，我們可以得到如下誤差系統(tǒng)

=1,2,3,…,N

(5)

2 牽制控制器設(shè)計

對于一個具有眾多節(jié)點數(shù)目的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，通過控制每個節(jié)點使系統(tǒng)同步往往得不償失且難度很大.所以，針對此類復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，利用牽制控制原理設(shè)計控制器是一種有效的控制途徑，在具體實現(xiàn)的過程中，即通過控制系統(tǒng)度較高的節(jié)點進(jìn)而控制整個網(wǎng)絡(luò)，使其同步.在這一節(jié)，主要任務(wù)是設(shè)計復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)牽制控制器，具體將系統(tǒng)分為牽制控制部分和被牽制控制部分兩部分.對牽制控制部分設(shè)計控制器，這樣，誤差系統(tǒng)(5)就變?yōu)椋?/p>

(6)

改寫成矩陣形式為：

(7)

為了使系統(tǒng)達(dá)到同步穩(wěn)定狀態(tài)，針對系統(tǒng)(1)，設(shè)計如下反饋控制器，當(dāng)所設(shè)計的控制器使誤差系統(tǒng)(6)漸進(jìn)穩(wěn)定時，即系統(tǒng)(1)達(dá)到同步.

ui(t)=kiei(t)

(8)

定理1：在假設(shè)1條件下，l為正常數(shù)，當(dāng)存在對角矩陣K滿足下列條件時，

(9)

則誤差系統(tǒng)(5)漸進(jìn)穩(wěn)定，即系統(tǒng)(1)達(dá)到網(wǎng)絡(luò)間同步狀態(tài).

證明：構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)為：

(10)

令：K=diag(k1,k2,…,kL)，則：

由系統(tǒng)(7)有

由定理1中(9)式，可知系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定.由此，定理1得證

對(9)式，由引理1可得，

lIN-L+cGr2<0

cGq1+lIL+K-cGq2

推論1：在假設(shè)1條件下，當(dāng)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)存在無牽制控制節(jié)點，利用引理1，取l為正常數(shù)，對系統(tǒng)每個節(jié)點，當(dāng)存在控制增益k滿足下列條件時，

lIN-L+cGr2<0

cλmax(Gq1)+k+α<0

3 數(shù)值示例

針對一個包含20個節(jié)點，其中每個節(jié)點包含3個變量的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)：

給定系統(tǒng)耦合強(qiáng)度參數(shù)c=2.15;設(shè)有非線性界函數(shù)的最大值l=5；G∈R20×20為滿足條件的耦合矩陣；在給定參數(shù)條件下，由定理1和推論1，可得出如下控制節(jié)點數(shù)與最低控制增益的離散曲線圖.

由圖1，取牽制控制節(jié)點數(shù)為12，各牽制節(jié)點控制增益滿足k<-10，可得出圖2牽制節(jié)點狀態(tài)曲線圖和圖3被牽制節(jié)點狀態(tài)曲線圖.

圖1 牽制節(jié)點數(shù)與最低控制增益曲線圖

圖2 牽制節(jié)點狀態(tài)曲線圖

圖3 被牽制節(jié)點狀態(tài)曲線圖

由圖1～圖3可知，經(jīng)過一段時間后系統(tǒng)狀態(tài)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài).

4 小結(jié)

本文研究了一類復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型的同步牽制控制，得出了牽制控制節(jié)點數(shù)與控制增益的關(guān)系圖，運(yùn)用Lyapunov穩(wěn)定性理論并結(jié)合矩陣不等式處理方法，得到了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)同步牽制控制器存在的充分條件.最后給出數(shù)值仿真說明其有效性.

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Synchronization of Complex Network Systems with Pinning Control

ZHENG Bu-qiu1,HU Jun-qiang2

(1.Hunan Valin Xiangtan Iron & Steel Co., Ltd., Xiangtan 411101, China;2.College of Elect. and Information, Hunan Institute of Engineering, Xiangtan 411104, China)

The synchronization control problem of some general complex dynamical networks is investigated. The pinning control theory is used to make the system achieve synchronization. Bases on Lyapunov stability theory and combined with matrix inequality, a sufficient condition for the existence of the complex network systems is obtained. At the same time, the relationship between the number of pinning nodes and the control gain is established. Finally, a numerical example is given to demonstrate the feasibility of proposed method.

complex network； synchronization； pinning

2016-09-15

鄭步秋(1972- )，男，工程師，研究方向：五米寬厚板鋼材成型，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng).

O157.5

A

1671-119X(2017)01-0024-04