張國(guó)華

(江蘇省張家港塘市初級(jí)中學(xué)，江蘇 蘇州 215600)

重視分類討論，讓初中生數(shù)學(xué)邏輯更清晰

張國(guó)華

(江蘇省張家港塘市初級(jí)中學(xué)，江蘇 蘇州 215600)

在初中總復(fù)習(xí)階段中，數(shù)學(xué)教師青睞于評(píng)講各屆有價(jià)值的中考試題來(lái)提升學(xué)生的綜合解題能力.但在前期教學(xué)過(guò)程中，建立正確的數(shù)學(xué)思想才是初中生的根本學(xué)習(xí)任務(wù)，因此本文結(jié)合具體實(shí)例，就“分類討論”這一思想進(jìn)行了詳細(xì)的分析與探討，望各位同行能有所借鑒.

初中數(shù)學(xué)；分類討論；思維敏捷

在初中數(shù)學(xué)教材中，將分類討論思想作為解題突破口的題目十分常見，足以說(shuō)明此方法的重要性.分類討論是對(duì)一實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行分解，使之成為2-3個(gè)新的小問(wèn)題，這種方法對(duì)初中生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)非常實(shí)用.它的實(shí)質(zhì)其實(shí)是“化整為零，各個(gè)擊破，再積零為整”，考驗(yàn)的是學(xué)生對(duì)一道數(shù)學(xué)題目的整體剖析能力以及邏輯思維能力.

一、從概念、性質(zhì)及公式的限制條件角度進(jìn)行分類討論

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，最基礎(chǔ)的分類討論思想體現(xiàn)在數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、定理以及數(shù)學(xué)公式自身攜帶的限制性條件這幾個(gè)方面.比如實(shí)數(shù)R中，可通過(guò)“比較絕對(duì)值是否大于其本身”將這一集合劃分為三大部分，分別為負(fù)數(shù)部分(lt;0，絕對(duì)值小于其本身)，零(0)，正數(shù)部分(gt;0，絕對(duì)值與其本身相等)，所以在接觸與絕對(duì)值相關(guān)的題目時(shí)，必須要進(jìn)行分類討論.另外，初中數(shù)學(xué)中一些定理、公式也有固定的適用范圍，因此學(xué)生須從最基本的內(nèi)容出發(fā)，掌握分類討論的原理.

二、根據(jù)數(shù)學(xué)運(yùn)算的要求展開分類討論

作為一種實(shí)用的解題思想，分類討論本身也具有一定的嚴(yán)密性與復(fù)雜性，因此我們必須通過(guò)例題講解來(lái)讓學(xué)生親身體會(huì)如何運(yùn)用分類討論解決一類題目.在教學(xué)的過(guò)程中，教師要著重強(qiáng)調(diào)分類討論思想的重要性，通過(guò)加強(qiáng)的練習(xí)，提升學(xué)生的思維邏輯連貫?zāi)芰?，同時(shí)培養(yǎng)起學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣.

例如：初中數(shù)學(xué)中涵蓋了很多分類討論的知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)數(shù)學(xué)運(yùn)算的要求展開討論便是其中的一部分.比如一個(gè)數(shù)的偶次方根一定非負(fù)、奇次方根要根據(jù)原值進(jìn)行討論、不等式兩邊同時(shí)乘以一個(gè)新的數(shù)會(huì)不會(huì)對(duì)不等號(hào)的方向產(chǎn)生影響等等.在下面一道例題中，分類討論的思想極其重要：請(qǐng)解下列不等式ax+4gt;2x+a+1.首先看到這道題目時(shí)，我們要進(jìn)行分析，因?yàn)椴坏仁街杏凶帜?，并非全是常?shù)，因此解題難度有所增加.再者，第一個(gè)步驟是移項(xiàng)，不等式變?yōu)?a-2)xgt;a-3.很多學(xué)生解到這一步便束手無(wú)策，甚至有學(xué)生的答案直接寫為xgt;(a-3)/(a-2).無(wú)論是上述哪種錯(cuò)誤，都能夠說(shuō)明這些同學(xué)沒有建立起分類討論的思想，因此在解決此類題目時(shí)比較吃虧.教師必須要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)不等式特性，將(a-2)xgt;a-3分情況討論：Ⅰ：a-2gt;0；Ⅱ：a-2=0；Ⅲ：a-2lt;0分別求解不等式，當(dāng)然在求解的過(guò)程中要注意區(qū)分是小于號(hào)還是大于號(hào).

在進(jìn)行數(shù)據(jù)運(yùn)算的過(guò)程中，教師著重凸顯分類討論的意義就在于提高學(xué)生計(jì)算的正確率，有助于他們邏輯思維的拓展與聯(lián)系，分類討論證明學(xué)生可以進(jìn)行多維度地考慮問(wèn)題，因此更提升了解題的熟練程度，提高了初中生的實(shí)際解題能力.

三、由幾何圖形的性質(zhì)確定分類討論

在求解圖形面積或是周長(zhǎng)等問(wèn)題中，教師要教會(huì)學(xué)生學(xué)會(huì)結(jié)合幾何圖形的特點(diǎn)及性質(zhì)考慮不同種的可能性，因?yàn)槎鄠€(gè)幾何圖形堆積在一起可能會(huì)導(dǎo)致學(xué)生眼花繚亂，這樣一來(lái)解題時(shí)容易思緒混亂，若少考慮一種情況便會(huì)造成失分的后果.為了避免這種現(xiàn)象的發(fā)生，分類討論的思想應(yīng)運(yùn)而生，尤其是在填空題中，很多學(xué)生會(huì)形成“填空題只可能有一種答案”的思維定式，若教師不幫助學(xué)生培養(yǎng)分類討論的思想則會(huì)適得其反.

例如：針對(duì)幾何圖形類的問(wèn)題，學(xué)生的空間想象能力一定要及時(shí)地樹立起來(lái)，因此教師要在平面亦或是空間圖形講解的時(shí)候，恰當(dāng)?shù)貞?yīng)用分類討論的思想，將題目分解為不同種類的問(wèn)題，化繁為簡(jiǎn).下面有一道填空題正是運(yùn)用了分類討論的思想進(jìn)行解題的，讓我們舉例分析一下.題目如下：一個(gè)等腰三角形△ABC，其中有兩邊長(zhǎng)分別為4cm、6cm，求三角形的周長(zhǎng).答題不周到的同學(xué)會(huì)認(rèn)為這題很簡(jiǎn)單，殊不知其中隱藏了陷阱.本題中，未說(shuō)明4cm與6cm那條長(zhǎng)為腰或者底，因此有待進(jìn)行分類討論.1)當(dāng)三角形的腰為4cm、底為6cm時(shí)，那么三角形的周長(zhǎng)C的算法應(yīng)該是4+4+6=14(cm)；2)當(dāng)6cm是三角形的腰，而4cm是三角形的底時(shí)，三角形的周長(zhǎng)為4+6+6=16(cm).但要注意一點(diǎn)的是我們還要在分類討論時(shí)候考慮三邊是否能夠構(gòu)成三角形，這樣才是解題的全部過(guò)程.

四、根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分類討論

函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的主攻方向之一，因此教師在教學(xué)函數(shù)時(shí)，要幫助學(xué)生掌握盡可能多的思想方法，才能確保學(xué)生日后在應(yīng)對(duì)與函數(shù)相關(guān)的題目時(shí)信心倍增.分類討論在函數(shù)教學(xué)時(shí)有著舉足輕重的作用，它可以將復(fù)雜的函數(shù)題分解為簡(jiǎn)單的正比例函數(shù)進(jìn)行解題，但是往往在分類討論的過(guò)程中學(xué)生很容易考慮不周全，所以教師一定要時(shí)常在函數(shù)教學(xué)中融入分類討論的思想.

例如下面給出一道典型例題：若將一次函數(shù)y=kx-k與反比例函數(shù)y=k/x畫在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)，討論其圖象經(jīng)過(guò)的象限有幾種可能？這道題中的“討論”已給了學(xué)生明顯的暗示——分類討論.但是教師在講解題目的過(guò)程中仍需要循循善誘.

師：拿到這條題目，首先你們得界定一次函數(shù)與反比例函數(shù)的定義，然后分析題目，k值我們不確定，應(yīng)該如何解題呢？

生1：k值相當(dāng)于系數(shù)，正因?yàn)槠渲挡淮_定所以函數(shù)的圖象也不確定，所以我認(rèn)為函數(shù)圖象會(huì)有多種可能.

接下來(lái)教師可給予一些提示.

師：接下來(lái)我們分情況進(jìn)行討論.當(dāng)kgt;0時(shí)，誰(shuí)可以告訴老師一次函數(shù)與反比例函數(shù)分別有何特點(diǎn)？

生2：kgt;0，一次函數(shù)的系數(shù)為正，所以它遞增，又因?yàn)樗氵^(guò)(1，0)這一點(diǎn)，所以該函數(shù)經(jīng)過(guò)第一、三、四象限.

生3：kgt;0時(shí)，反比例函數(shù)只可能經(jīng)過(guò)第一、三象限.

經(jīng)過(guò)以上的誘導(dǎo)，學(xué)生能夠一步一個(gè)腳印地跟隨教師考慮出kgt;0時(shí)兩個(gè)函數(shù)圖象分別會(huì)出現(xiàn)在哪幾個(gè)象限中，然后舉一反三得出klt;0時(shí)的情況.

在初中數(shù)學(xué)課堂中，教師要注意將分類討論的思想潛移默化地滲透于日常教學(xué)里.分類討論訓(xùn)練可以讓初中生的數(shù)學(xué)邏輯思維更加清晰，因?yàn)橹挥邪凑找?guī)定的順序才能保證題目解答沒有漏洞.分類討論思想貫穿于整個(gè)初中數(shù)學(xué)教學(xué)生涯，充分發(fā)揮這一思想的優(yōu)越性可以幫助學(xué)生將復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，有助于學(xué)生形成縝密的數(shù)學(xué)思維，進(jìn)而提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，促進(jìn)學(xué)生更好地學(xué)習(xí)發(fā)展.

[1]沈國(guó)平.分類討論思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].語(yǔ)數(shù)外學(xué)習(xí)(數(shù)學(xué)教育)，2013.

[2]楊懷宏.分類討論思想在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)大世界(初中生適用)，2010.

[3]李清.分類討論思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透探究[J].中華少年：研究青少年教育，2012.

[責(zé)任編輯：李克柏]

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1008-0333(2017)26-0042-02

2017-07-01

張國(guó)華(1980.2-)，男，江蘇省蘇州人，本科，中學(xué)一級(jí)教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué).