米盈元，曾雯靜

(西北民族大學數(shù)學與計算機科學學院，甘肅蘭州730030)

插值函數(shù)在學生成績評定機制中的應用

米盈元，曾雯靜

(西北民族大學數(shù)學與計算機科學學院，甘肅蘭州730030)

已知離散的數(shù)據(jù)時，通過插值多項式來構造一個函數(shù)表達式來近似代替不便處理的函數(shù)，這是我們常用的方法.通過插值函數(shù)與最小二乘法的理論，給出了插值函數(shù)與最小二乘法在學生成績評定機制中的應用.同時，對不同的方法修正后的數(shù)據(jù)進行了比較.

線性插值；拉格朗日插值；最小二乘法；數(shù)據(jù)修正

在科學研究中，有時候函數(shù)關系并沒有明顯的解析表達式.因此，需要建立一個簡單的便于計算和處理的近似表達式，即用一個簡單的函數(shù)來近似代替這些不便處理的函數(shù).而在實際生活中的分析評價問題中，一般先給出某個人、某件事物或某件事中的數(shù)據(jù)結果，然后對所給出的數(shù)據(jù)進行分析，最后對這些數(shù)據(jù)做出評價.本文將利用兩種插值方法和最小二乘法，對西北民族大學數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)38人的某專業(yè)課進行評價，結果表明用線性插值法修正成績與我們的要求相吻合，拉格朗日插值法與最小二乘法修正成績達不到我們的要求.

1 插值法的預備知識

為了后面表述的方便，首先介紹幾個本文將要用到的基本定義.

定義1[1]設函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上有定義，且已知在點a≤x0

定義2[1]當n＝1時，假定給定區(qū)間[xk，xk＋1]及端點函數(shù)值yk＝f(xk)，yk＋1＝f(xk＋1)，要求線性插值多項式L1(xk)，使它滿足:L1(xk)＝y(tǒng)k，L1(xk＋1)＝y(tǒng)k＋1.

y＝L1(x)的幾何意義就是通過兩點(xk，yk)和(xk＋1，yk＋1)的直線:

由兩點式方程看出，L1(x)是由兩個線性函數(shù):

的線性組合得到的，其系數(shù)分別為yk及yk＋1，即:

顯然，lk(x)及l(fā)k＋1(x)也是線性插值多項式，在節(jié)點xk及xk＋1上滿足條件lk(xk)＝1，lk(xk＋1)＝0；lk＋1(xk)＝0，lk＋1(xk＋1)＝1稱lk(x)及l(fā)k＋1(x)為線性插值基函數(shù).

定義3[1]若n次多項式lj(x)(j＝0，1，2，…，n)在n＋1個節(jié)點x0

就稱這n＋1個n次多項式l0(x)，l1(x)，…，ln(x)為節(jié)點x0，x1，…，xn上的n次插值基函數(shù).當n＝1及n＝2時的情況前面已經(jīng)討論.用類似的推導方法，可得到n次插值基函數(shù)為:

于是，插值多項式Ln(x)可表示為

由lk(x)的定義，知插值多項式Ln(x)稱為拉格朗日插值多項式.

定義4[1]函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[xi，xi＋1]上的平均變化率稱為函數(shù)f(x)關于點xi、xi＋1的一階差商，并記為f[xi，xi＋1].一般地，稱:

為f(x)的k階差商.

定義5[1]k階差商公式是構造牛頓差值的基礎，牛頓插值公式是差商形式的插值公式，有:

稱N(x)為牛頓插值多項式.

在生產(chǎn)過程中、科學實驗和統(tǒng)計分析中，往往需要通過得到一組實驗數(shù)據(jù)或觀測數(shù)據(jù)找出變化規(guī)律，確定函數(shù)的近似表達式[2].從圖形上看，就是通過給定的一組數(shù)據(jù)點，求取一條近似曲線，這就是曲線擬合.它不要求近似函數(shù)在節(jié)點處與函數(shù)同值，既不要求近似曲線過已知點，只要求它盡可能地反映給定數(shù)據(jù)點的基本趨勢，在某種意義下與函數(shù)“逼近”.假定存在如表1所示的函數(shù)對應關系.

用回歸直線y＝bx＋a來近似刻畫它們之間的關系，其中:

表1 函數(shù)對應關系Tab.1 Corresponding relations between function

2 插值法在數(shù)據(jù)修正中的應用

通行的成績評定方式有百分制和等級制兩種方式.等級制分為優(yōu)秀、良好、及格、不及格4個等級.等級制與百分制的對應關系如表2.

選取了西北民族大學數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)38人的

某專業(yè)課的期末總評成績來作為的考核樣本，假定評價

目標為:優(yōu)秀人數(shù)占總人數(shù)的10%，約為4人；良好人數(shù)應為總人數(shù)的30%，約為11人；及格人數(shù)為總人數(shù)的45%，約為17人.不及格人數(shù)為總人數(shù)的15%，約為6人.現(xiàn)將該班所有同學的成績按降序排列，如表3所示.

表2 等級制與百分制的對應關系Tab.2 The correspondence between the rank and percentile

表3 原始數(shù)據(jù)Tab.3 Initial data

表4 原始值與目標值的對應關系Tab.4 The correspondence between the initial value and the target value

可以看出，成績優(yōu)秀的同學有9人，良好的同學有17人，成績及格的人有11人，不及格的有1人.與之前規(guī)定的評價目標與實際情況相比較有較大的出入.因此，需要對所有的數(shù)據(jù)進行修正，再與之前所規(guī)定的評價機制進行評價.

2.1 線性插值法

2.1.1 線性插值法的原理[3]線性插值法實質是評價各指標實際值在該項指標中所處位置的比率，通過線性插值公式將每個評價指標定量的化成相應的位次p，計算每個評價對象各項評價指標位次的平均值p－，最后根據(jù)各評價對象平均位次p－進行排序.

2.1.2 線性插值法的基本步驟

1)分段:把數(shù)據(jù)分為4段，排在最前面10%為優(yōu)秀段，隨后的30%為良好段，40%為及格段，最后的15%為不及格段.在此用數(shù)字1，2，3，4表示優(yōu)秀、良好、及格、不及格；

2)取各個段的上、下限數(shù)據(jù)(用x表示原始數(shù)據(jù)):找出各段的最高分與最低分，即為各段的上、下限數(shù)據(jù)(約定其中優(yōu)秀段的最高分為100，不及格段的最低分為0)，分別用符號x1上、x1下、x2上、x2下、x3上、x3下、x4上、x4下來表示.而根據(jù)約定x1上＝100，x4下＝0.

3)確定變換的目標(用y表示目標分值):把各段的上、下限換成目標段的上、下限，見表4.

4)導出變換公式:取各段的x上、下限與相對應的y值，運用線性插值公式導出一個通用公式.導出過程如下所示(其中i＝1，2，3，4表示優(yōu)秀、良好、及格、不及格)

5)數(shù)據(jù)修正:取各段的x值，進行變換，即可得到相應修正后的數(shù)據(jù)y.

由表5可以看出，修正后的數(shù)據(jù)排序與原始數(shù)據(jù)的排序是一致的，并且與之前所要求的評價機制是吻合的.

2.2 拉格朗日插值

拉格朗日插值法的原理[4].對實踐中得到的某個量進行觀測，在若干各不同的地方得到相應的觀測值.拉格朗日插值法可以找到一個多項式，其恰在各個觀測的點取到觀測到的值.數(shù)學上來說，拉格朗日插值法可以給出一個恰好穿過二維平面上若干個已知點的多項式函數(shù).

步驟(1)，(2)，(3)同線性插值(1)，(2)，(3)步；

4)導出變換公式:取各段x的上、下限與相對應的y值，運用拉格朗日插值公式導出一個通用公式.導出過程如表6所示(其中i＝1，2，3，4表示優(yōu)秀，良好，及格，不及格):

于是，得到了變換公式:

表5 線性插值法修正原始數(shù)據(jù)前后對照表Tab.5 Linear interpolation method correct the initial data

5)數(shù)據(jù)修正:取各段的x值，進行變換，即可得到相應修正后的數(shù)據(jù)y.

可以看到[5]，拉格朗日插值公式其形式具有對稱性，即便于記憶.用拉格朗日插值公式修正后的數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)與原始數(shù)據(jù)并不匹配.例如:原始數(shù)據(jù)為96.2，修正后的數(shù)據(jù)為88.8；原始數(shù)據(jù)為95.2與94.4，修正后的數(shù)據(jù)為88.85與89，這很明顯是不符合評價機制的.若用拉格朗日插值法來修訂該班成績，會造成評價的不公平.很明顯，用拉格朗日插值法，是得不到所需要的數(shù)據(jù)的.

一般總認為插值多項式給出的節(jié)點越多、次數(shù)越高逼近真實數(shù)據(jù)的效果越好，其實并非如此.因為隨著插值節(jié)點增多，插值多項式的次數(shù)也會增高，用這樣高次的多項式逼近函數(shù)時將會產(chǎn)生嚴重的失真現(xiàn)象[6－7].插值公式的形式可以多種多樣.嚴格來講，其形式是由兩者之間的內在聯(lián)系決定的，應該是理論分析的結果[8].但事實上，往往這兩個變量之間的關系復雜，不能得到其理論形式.

表6 拉格朗日插值法修正原始數(shù)據(jù)前后對照表Tab.6 Lagrange interpolation method correct the initial data

3 曲線擬合的最小二乘法

3.1 最小二乘法的統(tǒng)計學原理

最小二乘法[9]是一種數(shù)學優(yōu)化技術，它通過最小化誤差的平方和找到一組數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配是用最簡單的方法求得一些絕對不可知的真值，而令誤差平方之和為最小以下就兩個變量之間的關系來說明最小二乘法的原理及其應用，其它關系比較復雜的諸如多元線性擬合和非線性擬合等則可在此基礎上迎刃而解.

3.2 最小二乘法的步驟

步驟(1)，(2)，(3)同線性插值(1)，(2)，(3)；

4)由表3中數(shù)據(jù)可以計算得到相應參數(shù)，得到:

5)導出變換公式，其回歸直線的方程為:y＝1.02x－5.8.

6)數(shù)據(jù)修正:取各段的x值，進行變換，即可得到相應修正后的數(shù)據(jù)y.

將表3數(shù)據(jù)代入回歸直線方程所得到的修訂后的成績如表6所示.

表7 回歸直線方程修正原始數(shù)據(jù)前后對照表Tab.7 Regression linear equation correct the initial data

由表7中數(shù)據(jù)可以看到，用最小二乘法來修正成績是符合原始成績與修正后成績的排序的.在優(yōu)秀段，所修正的成績是符合我們之前所規(guī)定的評價機制；良好段的下限值是76，很明顯得看到修正后的數(shù)據(jù)中，原本屬于及格段，但現(xiàn)在屬于良好段；在及格段，原始成績?yōu)?1所對應的應當為75以下，而此時，卻對應的是76分以上；之前規(guī)定，不及格人數(shù)應當為4人，而實際上，不及格人數(shù)為2人.

由此可見，當數(shù)據(jù)的分布較為集中時，就可用最小二乘法進行趨勢預測[10]，但選用曲線來擬合散點時必須依據(jù)散點的趨勢正確選擇曲線，否則有可能出現(xiàn)類似本文的情況.

插值法理論[11]作為現(xiàn)代數(shù)值計算的重要工具，是近似值計算及逼近函數(shù)的有效方式.在數(shù)值計算中，所遇到的函數(shù)并不一定都是連續(xù)函數(shù)，所以在計算某個未知的函數(shù)值時總是困難重重[12－17].本文運用曲線擬合法和插值法，分別建立了最小二乘曲線擬合模型和插值模型，并對兩類方法分別建立的模型進行比較.在實際生活中，由于各種原因，總有一部分數(shù)據(jù)是不符合評價機制，影響正常的評估.在插值法的實際應用中，本文通過上述兩種插值法對期末專業(yè)課綜合成績進行了修正，并且對各種插值法做了比較.結果表明，線性插值法效果最好，達到了我們之前的預期；而拉格朗日插值法并未達到期望的效果.在本文末尾，又通過統(tǒng)計的方法，即最小二乘法的曲線擬合對成績進行了修正，但結果并未達到我們的期望.這些方法的應用研究為評估方法的改進提供了參考，并為未來評估方式的調整與改進指出了方向.

[1] 李慶揚，王能超，易大義.數(shù)值分析[M].4版.北京:施普林格出版社和清華大學出版社，2001:23－34.

[2] 茆詩松，程依鳴，濮曉龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].2版.北京:高等教育出版社，2011:448－451.

[3] 李連鳳，王向東，夏于耘，等.線性插值法在兒童保健工作質量綜合評價中的應用[J].中國婦幼保健，2015(30):2491－2494.

[4] 秦利剛.拉格朗日插值算法在譜分析中的應用[J].電子世界，2014(5):112－113.

[5] 王浩宇.多項式插值擬合在建筑物荷載變形監(jiān)測中的應用[J].大眾科技，2014，16(4):45－46.

[6] 趙鋒，王小煉，章雷宇，等.樣條函數(shù)的數(shù)值積分及在凸輪設計中的應用[J].佳木斯大學學報(自然科學版)，2015，33(2):316－317.

[7] 陳西亮，張佳華.牛頓插值法在植被紅邊擬合中的應用[J].湖北農業(yè)科學，2016，55(7):1928－1939.

[8] 劉元琦，顧寄南，周培壟.基于分段Newton插值法的螺旋型線擬合[J].組合機床與自動化加工技術，2014(2):141－143.

[9] 李占松，師冰雪.工程計算中拉格朗日插值的誤差評價[J].科技創(chuàng)新與應用，2016(32):69－70.

[10] 陳璇，鄭崇偉，劉文鵬，等.離散余弦變換插值處理方案在海洋數(shù)據(jù)分析中的應用[J].延邊大學學報(自然科學版)，2016，42(1):81－84. [11] 田生昌.最小二乘法的統(tǒng)計學原理及在農業(yè)試驗分析中的應用[J].數(shù)學的實踐與認識，2015(45):124－133.

[12] 鄧亮章.最小二乘法的擬合及其應用[J].蘭州教育學院學報，2012，28(8):110－131.

[13] 趙前進，張瀾.應變能最小的保正有理三次樣條插值曲線[J].長江大學學報(自然科學版)，2016，13(22):1－3.

[14] 何尚琴，劉繼發(fā)，趙會娟.一類周期函數(shù)在Hlder空間中的插值逼近[J].河北科技師范學院學報，2015，29(2):27－30.

[15] 關硯蓬.常見的插值法及其應用問題研究[J].數(shù)學學習與研究，2014(13):60－61.

[16] 孫祥暢，欒元重，顏世英，等.曲線擬合與插值模型在礦區(qū)變形預測中的應用[J].有色金屬(礦山部分)，2012，64(1):66－72.

[17] 涂俐蘭，黃丹.插值法在數(shù)據(jù)修正中的應用[J].數(shù)學理論與應用，2012，32(3):110－116.

[18] 王建衛(wèi)，曲中水，凌濱.Matlab 7.X程序設計[M].北京:中國水利水電出版社，2007:117－119；160－166.

附錄

責任編輯:時 凌

Application of Interpolation Function in the Assessment System of Students′Scores

MI Yingyuan，ZENG Wenjing
(College of Mathematics and Computer Science，Northwest University for Nationalities，Lanzhou 730030，China)

When the discrete data is known，we construct a function expression by interpolation polynomial to approximate the inconvenient function，which is a common method.In our study，the interpolation function and the least square method are used to evaluate the assessment system of students′scscores.At the same time，the modified data of different methods are compared.

interpolation method；linear interpolation；lagrange interpolation；least square method；data correction

O241

A

1008－8423(2017)01－0041－05

10.13501/j.cnki.42－1569/n.2017.03.010

2016－11－11.

國家自然科學基金項目(11401473).

米盈元(1992－)，男(藏族)，碩士生，主要從事橢圓型微分方程的研究.