李文勝,韓慧蓉,周 千

(西安航空學(xué)院理學(xué)院,陜西 西安 710077)

一類(lèi)時(shí)滯依賴(lài)狀態(tài)的集值抽象積分微分方程的可解性

李文勝,韓慧蓉,周 千

(西安航空學(xué)院理學(xué)院,陜西 西安 710077)

本文研究了一類(lèi)時(shí)滯依賴(lài)狀態(tài)的集值抽象積分微分方程的可解性問(wèn)題.利用集值映射不動(dòng)點(diǎn)定理結(jié)合分析預(yù)解算子理論的方法,證明了上述微分方程溫和解的存在性,推廣了現(xiàn)有集值微分方程的結(jié)果.

分?jǐn)?shù)階算子;集值積分微分方程;時(shí)滯依賴(lài)狀態(tài);分析預(yù)解算子

1引言

本文考慮一類(lèi)時(shí)滯依賴(lài)狀態(tài)的集值抽象積分微分方程

其中 A 是 Banach 空間 (X,‖ ·‖) 中緊分析預(yù)解算子 R(t),t＞ 0 的無(wú)窮小生成元,f(t),t∈ J是一個(gè)有界線(xiàn)性算子,G:J × B → P(X) 是有界閉凸值集值映射,F:J × B → X, ρ :J × B → (?∞,a] 是給定的函數(shù),B 是一個(gè)抽象的相空間,xt:(?∞,0] → X,xt(s)= x(t+s),s ≤ 0 屬于 B.

近年來(lái), 時(shí)滯依賴(lài)狀態(tài)的微分方程溫和解的存在性引起了許多學(xué)者 的興趣[1?3], 具有預(yù)解算子的非線(xiàn)性積分 微分方程作為偏積分微分方程的抽象形式出現(xiàn)在許多物理現(xiàn)象中[4?6],該預(yù)解算子類(lèi)似于 Banach 空間中 抽象微分方程的半群算子, 并且可以從半群理論中提取(見(jiàn)文獻(xiàn) [7–8]), 盡管如此, 該預(yù)解算子不滿(mǎn)足半群性質(zhì), 受文獻(xiàn) [9–10]啟發(fā), 本文旨在利用預(yù)解算子理論建立 (1.1)–(1.2) 溫和解的存在性.

2預(yù)備知識(shí)

R(t),t ＞ 0 是由 A 產(chǎn)生的一個(gè)緊分析預(yù)解算子. 設(shè) (X,‖ ·‖) 是 Banach 空間,L(X;Y)記為從 X 映射到 Y 的所有有界線(xiàn)性算子構(gòu)成的 Banach 空間, 并且當(dāng) X=Y 時(shí)簡(jiǎn)記為L(zhǎng)(X).

定義2.1[11]若每 個(gè)集合 B~i在空間 C([ti,ti+1];X) 內(nèi)是相 對(duì)緊 時(shí), 則稱(chēng) B ? P C 是相對(duì)緊的.

定義2.2若對(duì)任意 的 x ∈ X 有 G(x) 是 凸 (閉) ∪的, 則稱(chēng)集值映射 G:X → P(X) 是凸(閉) 值的. 對(duì) X 的任一有界子集 B,如果 G(B)= G(x) 有界,則稱(chēng) G 在有界集上有界

x∈B (即 sup {sup{‖y‖ :y ∈ G(x)}} ＜ ∞).

x∈B

定義2.3若對(duì)任意的 x0∈ X,G(x0) 是 X 的非空閉子集,并且對(duì)包含 G(x0) 的 X 的任一開(kāi)子集 ?,存在 x0的一個(gè)開(kāi)鄰域 V,使得 G(V)? ?,則稱(chēng) G 在 X 中是上半連續(xù)的.

定義2.4如果對(duì) X 的任一有界子集 ?,有 G(?) 是相對(duì)緊的,則稱(chēng)集值映射 G 是全連續(xù)的.

引理2.1[12]設(shè)集值映射[13?14]G 是全連續(xù)的, 并且有非空緊值, 則 G 是上半連續(xù)的當(dāng)且僅當(dāng) G 有閉圖像 (即當(dāng) xn→ x?,yn→ y?,yn∈ G(xn) 時(shí),有 y?∈ G(x?)).

定義2.5記 N 是 kuratowski 非緊測(cè)度[15], 如果集值映射 G:X → P(X) 是上半連續(xù)的. 且對(duì)所有滿(mǎn)足 N(B)/=0 的 X 的子集 B, 有 N(G(B)) ＜ N(B), 則稱(chēng) G 是凝聚的[13].

Pbd,cp,cυ(X),Pbd,cl,cυ(X),Pcp,cυ(X) 分別表示 由 X 中 的 所 有 有界緊凸, 有界閉 凸, 緊凸子集組成的集類(lèi). 若存在 x ∈ X, 使得 x ∈ G(x), 則稱(chēng) x 是集值映射 G 的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)[16].

下面介紹相空間 B 的公理化定義[17]. 具體來(lái)說(shuō),B 是由賦予半模 ‖ ·‖B的從 (?∞,0] 映射到X 的函數(shù)組成的線(xiàn)性空間,并且符合以下公理:

(A) 如果 x:(?∞,σ +a) → X,a ＞ 0, 使 得 x|[σ,σ+a]∈ C([σ,σ +a],X) 且 xσ∈ B,則對(duì)任意的 t ∈ [σ,σ +a] 以下條件成立:(i)xt∈ B;(ii) ‖x(t)‖ ≤ H‖xt‖B;(iii) ‖xt‖B≤K(t? σ)sup{‖x(s)‖ :σ ≤ s ≤ t}+M(t? σ)‖xσ‖B, 其中 H ＞ 0 是常數(shù);K,M:[0,∞) →[1,∞),K 連續(xù),M 局部有界, 并且 H,K,M 與 x(·) 無(wú)關(guān).

(A1) 對(duì) (A) 中的函數(shù) x(·),t → xt是從 [σ,σ +a] 映射到 B 的連續(xù)函數(shù).

(B)B 是完備的.

定義2.6集值映射 G:J × B → Pcp,cυ(X) 稱(chēng)為 Carath′eodory 集值映射, 如果

(i) 對(duì)每個(gè) ψ ∈ B,G(·,ψ):J → X 是可測(cè)的;

(ii) 對(duì)任意的 t ∈ J,G(t,·):B → X 是上半連續(xù)的.

引理2.2[12]若 G 為 Carath′eodory 集 值 映 射, 且 對(duì) 固 定 的 ψ ∈ B, 集 合 SG,ψ= {g ∈ L1(J,X):g(t) ∈ G(t,ψ),a.e.,t ∈ J} 是 非 空 的, Γ :L1(J,X) → C(J,X) 是 線(xiàn) 性連 續(xù) 映 射, 則 Γ ? SG:C(J,X) → Pcp,cυ(C(J,X)),y → (Γ ? SG)(y)= Γ (SG,y) 是C(J,X)× C(J,X) 上的閉圖算子.

考慮如下系統(tǒng)

定義2.7[7]方程 (2.1) 的預(yù)解算子[4?5]是一個(gè)有界算子泛函 R(t) ∈ L(X), 且具有下列性質(zhì):

(i)R(0)=I,I 表示 X 上的恒等算子.

(ii) 對(duì)所有的 u ∈ X,t → R(t)y 是連續(xù)的.

(iii) 對(duì) t ∈ J,R(t) ∈ B(Y),t ∈ J, 其中 Y 是賦予圖像范數(shù) ‖y‖Y= ‖Ay‖ + ‖y‖ 的

Banach 空間 D(A). 若 y ∈ Y,有 R(·)y ∈ C1(J,X) ∩ C(J,Y) 并且

令 0 ∈ ρ(A),當(dāng) 0 ＜ α ≤ 1 時(shí), 可以定義分?jǐn)?shù)階算子 Aα,此算子在其定義域 D(Aα)[4]上是一個(gè)閉線(xiàn)性算子. 并且 D(Aα) 在 X 上凝聚. 表達(dá)式

定義了 D(Aα) 上的一個(gè)范數(shù). 此后,用 Xα表示 Banach 空間 D(Aα) 并賦予范數(shù) ‖x‖α.

引理2.3[4]由上面條件可得

(i)Aα:Xα→ Xα, 則當(dāng) 0 ≤ α ≤ 1 時(shí),Xα是一個(gè) Banach 空間.

(ii) 若預(yù)解算子 A 是緊的, 則當(dāng) 0 ＜ β ≤ α 時(shí),Xα→ Xβ是連續(xù)并且緊的.

(iii) 對(duì)每個(gè) α ＞ 0, 存在一個(gè)正常數(shù) Cα使得

引理2.4[18]假設(shè) (a) 和 (b) 成立, 則存在一個(gè)常數(shù) H=H(a), 使得

引理2.5[7]設(shè) B 是 Banach 空間 X 中的有界凸子集, Γ :B → P(B) 是上半連續(xù)的凝聚集值映射,如果對(duì)任意的 x ∈ B,Γ(x) 是 B 中的閉凸子集,則 Γ 在 B 中有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).

3結(jié)果與證明

為了證明問(wèn)題 (1.1)–(1.2) 的溫和解的存在性,假設(shè) ρ :J × B → (?∞,a]連續(xù). 另外, 假定以下條件成立:

H?函 數(shù) t → ?t從 R(ρ?)={ρ (s,ψ):ρ (s,ψ)≤ 0,(s,ψ) ∈ J × B} 到 B 上 是 連 續(xù)的, 且存在一個(gè)連續(xù)有界函數(shù) J?:R(ρ?) → (0,∞), 使得對(duì)每個(gè) t ∈ R(ρ?), 有 ‖?t‖B≤J?(t)‖?‖B.

H1 存在常數(shù) M1,M2＞ 0,使得 ‖R(t)‖ ≤ M1,‖f(t)‖ ≤ M2,t∈ J.

H2 F:J × B → X 是連 續(xù)的,存在 β ∈ (0,1),L ＞ 0 使得對(duì)所有的 (ti,ψi) ∈ J × B,i= 1,2.,F 是 Xβ- 值并滿(mǎn)足

而且存在正常數(shù)L1使得

H3 函數(shù) G:J × B → Pbd,cp,cυ(X) 滿(mǎn)足如下性質(zhì):

(a) 對(duì)所有的 ψ ∈ B, 函數(shù) G(·,ψ):J → X 是強(qiáng)可測(cè)的.

(b) 對(duì)每個(gè) t ∈ J, 函數(shù) G(t,·):B → X 是連續(xù)的, 且 對(duì)固定的 ψ ∈ B, 集合 SG,ψ= {g ∈ L1(J,X):g(t) ∈ G(t,ψ),a.e.,t ∈ J} 是非空的.

(c) 對(duì)每個(gè)正常數(shù) r,存在正函數(shù) Θr∈ L1(J,R+) 使得

注3.1[17]設(shè) ? ∈ B,t ≤ 0. ?t表示定義為 ?t(θ)= ? (t+ θ) 形式的函數(shù). 因此, 如果公理 A 中的函數(shù) x(·) 滿(mǎn)足 x0= ?,則 xt= ?t.

定義3.1函數(shù) x:(?∞,a] → X 稱(chēng)為問(wèn)題 (1.1)–(1.2)的溫和解, 如果對(duì)任意的 s ∈ J,有 x0= ?,xρ(s,xs)∈ B, 函 數(shù) AR(t? s)F(s,xs),s ∈ [0,a]Bochner 可 積,x(·) 在 區(qū) 間(ti,ti+1](i=0,1,···,n) 上是連續(xù)的,并且滿(mǎn)足

引理3.1[17]如果 x:(?∞,a]→ X 是一個(gè)使得 x0= ? 且 x|J∈ P C(J,X) 成立的函數(shù),則

定理3.1假設(shè) H1–H3 和 H?成立,如果

則系統(tǒng) (1.1)–(1.2) 至少存在一個(gè)溫和解.

證在 賦 予 一 致 收 斂 范 數(shù) 的 空 間 Y={u ∈ P C:u(0)= ? (0)} 上 定 義 算 子 Γ :Y →P(Y),定義如下

其中

然后由 Bocher’s 定理[19]可知 AR是可積的. 所以 Γ 在上有明確定義.

分下面幾步來(lái)證明溫和解的存在性.

第一步存在 r ＞ 0,使得

對(duì)任意 的 r ＞ 0, 易知 B∪r是 Y 中的 一 個(gè)有界 閉凸子 集. 下 面 證明存 在 r ＞ 0, 使得其中采用反證法,事實(shí)上,如果上述結(jié)果不成立, 則對(duì)任意的 r ＞ 0,存在,使得但且對(duì)某些有

因此對(duì)某些 t ∈ [0,a],有

所以

這與 (3.1) 式矛盾. 因此存在 r ＞ 0 使得 Γ (Br(0,Y)) ? Br(0,Y).

第二步對(duì)每個(gè) x ∈ Y,Γ(x) 是凸的.

如果 u1,u2∈ Γ(x),則存在 g1,g2∈ SG,xρ,使得對(duì)任意的 t∈ J,有

設(shè) 0 ≤ λ ≤ 1,則對(duì)任意的 t∈ J,有

因?yàn)镾G,xρ是凸的 (因?yàn)?G 有凸值),所以

第三步對(duì)每個(gè) x ∈ Y,Γ(x) 是閉的.

由于 G 有非空緊值,則在 L1(J,X) 中存在一個(gè)序列 gn使得 gn→ g,則 g ∈ SG,xρ. 故

從而得到 x ∈ Γ (x).

第四步從 Br(0,Y) 到 Br(0,Y) 上,Γ 是凝聚映射.

為證明 Γ 是凝聚映射,令 Γ = Γ1+Γ2,其中

下面證明 Γ1壓縮且 Γ2是全連續(xù)算子. 為了證明 Γ1壓縮,任取 x?,x??∈ Br(0,Y),對(duì)每個(gè)t∈J,有

其中

(見(jiàn) (3.2) 式). 因此

即Γ1是壓縮的.

下面證明 Γ2是全連續(xù)的.

(i) 顯然 Γ2(Br(0,Y))={Γ2x:x ∈ Br(0,Y)} 是有界的.

(ii) Γ2(Br(0,Y))={Γ2x:x ∈ Br(0,Y)} 是等度連續(xù)的.

則

其中

因?yàn)?R(t) 是緊且解析的,所以 R(t) 在 (0,a]上是一致算子拓?fù)溥B續(xù)的. 又因 t2→ t1且ε充分小,所以上述不等式的右端趨于零且與x ∈ Br無(wú)關(guān).

(iii)(Γ2Br(0,Y))(t)={Γ2x(t):x ∈ Br(0,Y)} 是相對(duì)緊的 t ∈ J.

當(dāng) t=0 時(shí), 易 證 Γ2(Br)(t) 是相對(duì)緊的. 令 0 ＜ t ≤ a 是固定的, 且 0 ＜ ∈＜ t, 對(duì)y ∈ Br,u ∈ Γ2(x),存在泛函 g ∈ SG,xρ,使得

當(dāng) t=0 時(shí),顯然 Γ2(Br)(t) 在 X 中是相對(duì)緊的. 假如 0 ＜ t ≤ a 是固定的且 0 ＜ ∈＜ t,對(duì)任意的 z ∈ Br和 K1∈ Γ2(x), 存在 g ∈ SG,zρ,使得

顯然,即需要證明集合

在X中是相對(duì)緊的.

由引理 2.4 和算子 R(∈) 的緊性可知

在 X 中是相對(duì)緊的,而且由引理 2.4,有

(iv) Γ2有閉圖. 設(shè),需要證明事實(shí)上, 若,則存在,使得對(duì)任意的t∈ J,有

易知當(dāng)n→∞時(shí)

考慮如下線(xiàn)性連續(xù)算子

由引理 2.2 可得 Γ?? SG是閉圖算子,且有

由于 yn→ y?,從引理 2.2 可得

所以 Γ2是上半連續(xù)的. 從而 Γ = Γ1+ Γ2是上半連續(xù)且凝聚的. 由引理 2.5 知具有分?jǐn)?shù)階算子的時(shí)滯依賴(lài)狀態(tài)的脈沖多值積分微分方程問(wèn)題 (1.1)–(1.2) 至少有一個(gè)溫和解.

推論3.1假設(shè) H1,H2,H3(a)–H3(b),H?以及下面條件成立

H3(c′) 存在一個(gè)可積函數(shù) m:J → [0,+∞) 和常數(shù) υ ∈ [0,1) 使得

則當(dāng)

時(shí),問(wèn)題 (1.1)–(1.2) 至少存在一個(gè)溫和解.

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EXISTENCE RESULTS OF MULTI-VALUED ABSTRACT INTEGRO-DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH STATE-DEPENDENT DELAY VIA FRACTIONAL OPERATORS

LI Wen-sheng,HAN Hui-rong,ZHOU Qian
(School of Science,Xi’an Aeronautical University,Xi’an 710077,China)

This paper is concerned with the existence of mild solutions for a multi-valued abstract integro-diff erential equations with state-dependent delay via fractional operators.By using the theories of a fi xed point theorem for multivalued version combined with analytic resolvent operators,some existence theorems are proved.The result of multi-valued diff erential equations are extended.

via fractional operators;multi-valued integro-diff erential equations;statedependent delay;analytic resolvent

tion:34A60;35R11;45N05

4A60;35R11;45N05

O175.22;O175.6

A

0255-7797(2017)02-0347-11

2014-09-25 接收日期:2015-02-26

國(guó)家自然科學(xué)基金資助 (11161027);西安航空學(xué)院科研基金資助 (2014KY1210).

李文勝 (1984–), 男, 陜西咸陽(yáng),講師, 主要研究方向: 泛函微分方程理論.