張悅，王偉

（寧夏大學(xué)數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院，寧夏 銀川 750021）

一類無(wú)限維李代數(shù)的二上同調(diào)群

張悅，王偉

（寧夏大學(xué)數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院，寧夏 銀川 750021）

通過(guò)計(jì)算，得到了一類無(wú)限維李代數(shù)的二上同調(diào)群和Leibniz二上同調(diào)群，這類李代數(shù)包含無(wú)中心的Virasoro子代數(shù).

Virasoro代數(shù)；二上循環(huán)；二上同調(diào)群

1 引言

Virasoro代數(shù)［1］是一類重要的無(wú)限維李代數(shù)，它可以看成復(fù)數(shù)域上的Laurent多項(xiàng)式代數(shù)的導(dǎo)子李代數(shù)，其結(jié)構(gòu)和表示理論在理論物理中有著重要的運(yùn)用.當(dāng)前，研究與Virasoro代數(shù)相關(guān)的無(wú)限維李代數(shù)的結(jié)構(gòu)和表示是李理論研究的熱點(diǎn)問(wèn)題.此外，利用Virasoro代數(shù)本身和它的表示可以構(gòu)造一些新的更大的李代數(shù)，這樣很自然地出現(xiàn)了許多建立在Virasoro代數(shù)基礎(chǔ)之上的代數(shù)結(jié)構(gòu)［2-3］.

本文主要研究了一類無(wú)限維李代數(shù)L，它具有復(fù)數(shù)域?上的一組基{Lm,Gi,m|i∈12?,m∈?}，滿足的方括號(hào)運(yùn)算為

可以看出，李代數(shù)L包含無(wú)中心的Virasoro子代數(shù).令，這里那么W是無(wú)中心的Virasoro代數(shù)，G是W的伴隨模，它們都是李代數(shù)L的?-分次李子代數(shù).

二上同調(diào)群在研究李代數(shù)的中心擴(kuò)張時(shí)起著重要作用，可以用來(lái)構(gòu)造仿射李代數(shù)等許多重要的無(wú)限維李代數(shù)，同時(shí)二上同調(diào)群與李代數(shù)的結(jié)構(gòu)息息相關(guān)，因而對(duì)二上同調(diào)群的研究倍受數(shù)學(xué)工作者的關(guān)注［2-6］.

2 H2(L,?)的計(jì)算

首先回顧一些基本概念.李代數(shù)L的一個(gè)中心擴(kuò)張是一個(gè)二元組，其中是一個(gè)李代數(shù)，是一個(gè)滿同態(tài)，滿足Kerπ包含于的中心.當(dāng)是一個(gè)完備李代數(shù)時(shí)，二元組稱為L(zhǎng)的一個(gè)覆蓋.如果對(duì)L的每一個(gè)中心擴(kuò)張，都存在唯一的李代數(shù)同態(tài)的一個(gè)泛中心擴(kuò)張.

稱這樣的二上循環(huán)為L(zhǎng)的二上邊緣或平凡的二上循環(huán).記L上的有二上邊緣所構(gòu)成的向量空間為如果φ-ψ是一個(gè)平凡的二上循環(huán)，則稱二上循環(huán)φ和ψ等價(jià).記[ψ]為所有與二上循環(huán)ψ等價(jià)的等價(jià)類，由所有這樣的等價(jià)類構(gòu)成的商空間

稱為L(zhǎng)的二上同調(diào)群.

下面我們來(lái)確定L上的所有2-上循環(huán).設(shè)?為L(zhǎng)上的一個(gè)2-上循環(huán)，通過(guò)?定義一個(gè)?-線性函數(shù)f:L→?，

設(shè)φ=?-?f，其中?f是由（1）定義.既然所有的Ln生成無(wú)中心的Virasoro代數(shù)，因此存在某個(gè)cL∈?，使得到

另一方面，利用（2）和（3），可以推出

引理2.1對(duì)任意的存在，使得

證明對(duì)三元組使用Jacobi恒等式得

在（5）中取j=m=0，可得

因此，由（4）和（6）可以推出

在（5）中，令n=1，m=-1，可以得到

進(jìn)一步，在（8）中取i=0，可得到

因此，由（10）得

在（12）中取l=-1，并令k=-i+1，可以推出

在（12）中，取l=-1，用-i+2代替k，用i-1代替i，可得

在（12）中，令l=-2，用-i+2代替k，有

引理2.2存在，使得

證明對(duì)三元組(Gi,n,Gj,m,Gk,l)使用Jacobi等式，可以推出

在（18）中，取k=l=0，得到

另一方面，在（5）中，取k=0，并用-n代替m，可以推出

在（18）中，取l,k=-1，用1-n代替m，以及1-i代替j，可以得到

在（18）中，取l,k=-2，用2-n代替m，以及2-i代替j，可得

在（18）中，取m,j=-1，用i-1代替i，n-1代替n，以及2-n代替l，可以推出

此時(shí)，利用（24）～（26），可以推得

引理2.3可以得到c1=0，這里c1由引理2.1定義.

證明引理2.2給出了進(jìn)一步，在（10）中，取k=1，j=-1，可得

通過(guò)上面的這些引理，我們可以得到如下定理.

定理2.4對(duì)任意的定義

注2.1通過(guò)上面的推理過(guò)程可以看出，李代數(shù)L的二上同調(diào)群就是它的Leibniz二上同調(diào)群［7］，它們是一致的.

根據(jù)定理2.4以及注2.1可知L即是L的泛中心擴(kuò)張，也是L的Leibniz泛中心擴(kuò)張.

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The Second Cohomology Group of a Class of Infinite Dimensional Lie Algebras

ZHANG Yue,WANG Wei
(School of Mathematics and Statistics,Ningxia University,Ningxia 750021,China)

A class of infinite dimensional Lie algebras is discussed,which contains the centerless Virasoro subalgebra.In this paper,the second cohomology group and the second Leibniz cohomology group of this kind of Lie algebras are obtained.

Virasoro algebra;2-cocycle;second cohomology group

O152.5

A

1008-2794（2017）02-0074-04

2016-07-14

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目“幾類（李、左對(duì)稱）共形（雙）代數(shù)的結(jié)構(gòu)和表示”（11661063）

張悅，碩士研究生，研究方向：李代數(shù)，E-mail：14795097693@163.com.