劉思平

(湖北文理學院,湖北 襄陽 441053)

Matlab PDE工具箱在電動力學教學中的輔助應用

劉思平

(湖北文理學院,湖北 襄陽 441053)

電動力學是高校物理專業(yè)及相關(guān)專業(yè)的一門重要的理論基礎(chǔ)課，教學內(nèi)容中涉及了大量偏微分方程，求解過程復雜，難以理解，阻礙了學生的學習興趣。Matlab中偏微分方程工具箱(PDE Toolbox)是一個求解各類偏微分方程很好的平臺，可以直觀地顯示物理規(guī)律和物理現(xiàn)象，便于學生對知識點的理解和掌握，值得在教學和科研中推廣。

電動力學；Matlab PDE工具箱；高等教育

1 電動力學中引入Matlab PDE工具箱輔助教學的必要性和可行性

電動力學是在電磁學基礎(chǔ)上更系統(tǒng)、更深入、更嚴密地研究電磁場的基本性質(zhì)、運動規(guī)律以及電磁場與帶電物質(zhì)之間相互作用的理論體系，是高校物理及相關(guān)專業(yè)在普通物理基礎(chǔ)上，繼續(xù)深入學習的一門重要的理論基礎(chǔ)課。調(diào)查顯示[1]，長期以來，傳統(tǒng)的教學注重基礎(chǔ)知識、基礎(chǔ)概念的講解，強調(diào)物理概念和數(shù)學描述的統(tǒng)一，給學生的感覺是抽象的理論知識和繁瑣的數(shù)學推導，有的學生產(chǎn)生畏難和厭學情緒，教學效果不理想。雖然學生能獲得扎實的理論基礎(chǔ)，但缺乏獨立思考能力，不能處理生產(chǎn)、生活中的實際問題，而且有的學生易知難而退，產(chǎn)生厭學情緒，教學效果不盡如人意。如何把抽象理論知識變得形象，引入計算機數(shù)字化技術(shù)處理電動力學問題是有效手段之一。

在常用的計算機軟件中，Matlab是公認的最優(yōu)秀的應用軟件之一，特別是其數(shù)值計算與繪圖功能更是被廣泛應用于大學物理、電磁場與電磁波等諸多高校課程輔助教學中[2-4]。通過筆者調(diào)查研究，Matlab的偏微分方程工具箱(PDE Toolbox)可以用于求解電動力學中關(guān)于靜電磁場、電磁波傳播以及工程應用等相關(guān)諸多問題[5-7]，把抽象的理論概念變?yōu)樾蜗蟮亩S、三維圖形，包括靜態(tài)和動態(tài)圖，而且易操作，只需要選擇正確的微分表達式，設置合適的初值條件和邊界條件，避免了復雜的程序編寫。

另一方面，很多高校在前期已經(jīng)開設了電磁學、數(shù)學物理方法以及Matlab基礎(chǔ)等課程，在數(shù)學基礎(chǔ)以及軟件方面已具備了必要的條件，所以引入Matlab PDE工具箱輔助教學是自然且可行的。

2 Matlab PDE工具箱簡介

PDE 工具箱提供了研究和求解二維偏微分方程問題的一個強大又靈活的實用環(huán)境，其功能包括設置PDE定解問題(即設置二維定解區(qū)域、方程的形式和系數(shù)以及邊界條件)、用有限元法求解PDE和解的可視化等。

2.1 PDE工具箱求解的方程形式及邊界條件

PDE工具箱能求解的主要是定義在二維有界區(qū)域Ω上有下列形式的偏微分方程：

橢圓型方程：

(1)

拋物線型方程：

(2)

雙曲線型方程：

(3)

特征值方程：

(4)

式中u是偏微分方程的解，c,a,d,f是標題復函數(shù)形式的系數(shù)，在拋物型和雙曲型方程中，它們也可以是t的函數(shù)，λ是待求的特征值。

2.2PDE工具箱求解的主要步驟

在Matlab命令窗口輸入pdetool命令進入PDEToolbox窗口，利用PDE工具箱求解各類典型方程可以簡單的歸納為以下幾步：①建立幾何模型；②輸入邊界條件；③輸入偏微分方程參數(shù)；④劃分網(wǎng)絡；⑤輸入初始條件；⑥求解有限元方程；⑦繪圖。

3 Matlab PDE工具箱在電動力學中的應用實例

在電動力學的教學過程中，可以用PDE工具箱來求解靜電磁場以及交流電磁場等問題。

3.1 靜電場拉普拉斯方程的求解

真空中有一半徑為R0的接地導體球，距球心為a(a>R0)處有一個點電荷Q，求空間各點的電勢。這是教材中典型利用鏡像法求解電勢的問題，可以方便地用PDE工具箱直觀地求解。

僅考慮兩維情況，這個問題可以歸結(jié)為求解以下的定解問題：

(5)

其中C1表示導體球面，用小圓代替點電荷，C2表示小圓面。這里假設R0=0.2，a=1，選擇Electrostatics方程模式且取小圓面電勢為10V，epsilon=1,rho=0。由圖1易直觀地看出二維空間電勢以及電場分布，點電荷發(fā)出的電場線只有一部分收斂于球面，剩下的部分伸展至無窮遠。由小圓來代替點電荷會引入一定的誤差。

3.2 靜磁場泊松方程的求解

半徑為a的無限長圓柱導體上有恒定的電流J均勻分布在截面上，試解矢勢A的微分方程，設導體的磁導率為μ0，導體外的磁導率為μ。

選擇Magnetostatics方程模式，外邊界由半徑R的球面代替，僅考慮兩維情況，這個問題可以歸結(jié)為求解以下靜磁場的定解問題

(6)

假設R=1，a=0.1,J=10,μ0=1,μ=1.2。由圖2可以看出，矢勢由內(nèi)向外逐漸變小，在柱面上變?yōu)榱?，柱面外為負值。磁場由?nèi)向外逐漸增大，在柱面上達到最大值，然后沿徑向向外逐漸變小。

類似的一大部分關(guān)于靜電磁場的習題均可用PDE工具箱畫出直觀的圖形，可以在很大程度上幫助學生的學習和理解。

3.3 交流電磁場在導體中的傳輸

低頻電力系統(tǒng)常用銅線或者鋁線傳輸，當銅線通過交流電流時，會產(chǎn)生趨膚效應。選擇AC Power Electromagnetics方程模式，電場滿足的微分方程形式為：

(7)

當銅線的在線頻率為50Hz時，導體內(nèi)部的電流密度J遠遠小于導體表面，這里取J=1。由E=σJ，則電場的Dirichlet條件為E=1/σ。銅的電導率數(shù)值為σ=58×106，磁導率數(shù)值為μ=4π×10-7，ε0=8.85×10-12。圖3可以看出很明顯的趨膚效應，電場和磁場只在導體表面薄層傳輸，導體內(nèi)場量為零。

4 結(jié)語

本文依據(jù)電動力學的特點以及學生的實際情況，對電動力學的教學方式和手段進行了改革，引入了MatlabPDE工具箱，對于大部分的靜電磁場問題以及一部分的電磁波傳輸問題都可以數(shù)值求解。該方法計算方便，速度快，便于學生在短時間內(nèi)迅速上手，幫助對知識點的直觀理解，同時也加深了學生對數(shù)學物理方程的理解和掌握。

[1] 熊萬杰.電動力學教學的調(diào)查研究[J].研究生教育研究,2007,(1):30-33.

[2] 葉松,王向賢,余建立,等.Matlab在大學物理學教學中的應用[J].巢湖學院學報,2011,13(6):147-150.

[3] 王明軍,李應樂,唐靜.Matlab在電磁場與電磁波課程教學中的應用[J].咸陽師范學院學報,2009,24(2):89-91.

[4] 姜欽揚.Matlab軟件在高校教學中的應用[J].沈陽教育學院學報,2008,10(3):31-33.

[5] 李好,楊天春,王齊仁.基于Matlab7.0PDE工具箱求解數(shù)學物理方程[J].電腦開發(fā)與應用,2009,22(1):26-27,48.

[6] 張純靜,申龍涉,杜義明,等.MatlabPDE工具箱在稠油輸送管道中的應用[J].當代化工,2012,41(1):48-49,53.

[7] 牛宏,梁杏,尼勝楠,等.MATLABPDE工具箱在地下水科學實驗教學中的應用[J].安全與環(huán)境工程,2013,20(6):6-11.

The Auxiliary Application of Matlab PDE Toolbox in Electrodynamics Teaching

LIUSi-ping

(HubeiUniversityofArtsandScience,Xiangyang441053,China)

Electrodynamics is an important basic theoretical course of physics and related major in universities. The teaching content involves a large number of partial differential equations. The complexity of solution process makes it difficult to understand, and hinders the learning interest of students. Matlab PDE toolbox is a good platform to solute the various partial differential equations. It can show the physical laws and phenomenon visually and help understand the knowledge, and should be popularized in the teaching and research.

electrodynamics; Matlab PDE toolbox; higher education

2016-12-17

湖北文理學院校級教研項目(JY2015031);湖北省教育廳科學技術(shù)研究計劃重點項目(D20152602)

劉思平(1975-)，女，博士，湖北文理學院物理與電子工程學院副教授，研究方向：光學。

G642.3

A

1674-3229(2017)01-0110-03