【摘要】復(fù)合函數(shù)是高等數(shù)學(xué)中最重要的函數(shù)之一，高等數(shù)學(xué)中的很多函數(shù)都是復(fù)合函數(shù)。本文從高等數(shù)學(xué)中的復(fù)合函數(shù)定義出發(fā)，引出復(fù)合算子的定義，并得出復(fù)合算子的一些代數(shù)性質(zhì)，并給出一些特殊的復(fù)合算子。

【關(guān)鍵詞】復(fù)合函數(shù)；復(fù)合算子；線性性質(zhì)

【基金項(xiàng)目】重慶市教委項(xiàng)目（KJ120704）

O177.6

在高等數(shù)學(xué)中，給定兩個(gè)函數(shù) 和 ，如果函數(shù) 的值域是 定義域的子集，則 和 可以做復(fù)合運(yùn)算，復(fù)合之后的新函數(shù)為： ，稱為 和 的復(fù)合函數(shù)，其中 稱為外函數(shù)， 稱為內(nèi)函數(shù)，在不引起混淆的情況下，有時(shí)也記為 。復(fù)合運(yùn)算在數(shù)學(xué)中占有重要地位，高等數(shù)學(xué)中的初等函數(shù)就是由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的復(fù)合及加減乘除運(yùn)算得到了。在求導(dǎo)數(shù)及偏導(dǎo)數(shù)中，復(fù)合函數(shù)也有專門的鏈?zhǔn)椒▌t。

高等數(shù)學(xué)中研究的函數(shù)的定義域是數(shù)域（主要是實(shí)數(shù)域和復(fù)數(shù)域），即把數(shù)映射到數(shù)，如果我沒把研究的對象推廣一下，比如擴(kuò)展到函數(shù)空間上，就可以把對函數(shù)的研究推廣到對算子的研究。算子是從一個(gè)函數(shù)空間到另外一個(gè)函數(shù)空間或函數(shù)空間自身之間的映射。常見的算子有復(fù)合算子、乘積算子、加權(quán)復(fù)合算子、微分算子、Laplace算子等。在泛函分析中，復(fù)合算子主要是作用在Banach空間上，如Hardy空間、Bergman空間、Fock空間等；在物理學(xué)特別是動(dòng)力系統(tǒng)領(lǐng)域，復(fù)合算子主要是指Koopman算子。本文主要介紹函數(shù)空間上復(fù)合算子的一些代數(shù)性質(zhì)。

一、復(fù)合算子的定義及性質(zhì)

其中共有 個(gè) 進(jìn)行了復(fù)合。迭代通常用于復(fù)合算子不動(dòng)點(diǎn)的研究。迭代性質(zhì)和函數(shù)的 次復(fù)合類似。

算子理論屬于大學(xué)高年級及研究生階段的內(nèi)容，在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，講授復(fù)合函數(shù)時(shí)，可以給學(xué)生簡要介紹復(fù)合算子的一些基本性質(zhì)，提高學(xué)生的知識面及對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)熱情。

參考文獻(xiàn)：

[1]Carl C. Cowen， Barbara D. MacCluer， Composition operators on spaces of analytic functions. Studies in Advanced Mathematics， CRC Press， Boca Raton， Fla， USA， 1995

[2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系，高等數(shù)學(xué)（第六版）.高等教育出版社，2007.

[3]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，數(shù)學(xué)分析（第三版）.高等教育出版社，2001.

[4]劉炳初，泛函分析.科學(xué)出版社，2004.

作者簡介：

耿立剛，男，1984.04生，籍貫：山東，學(xué)歷：博士研究生，民族：漢，單位：重慶工商大學(xué)，講師，研究方向：函數(shù)空間與算子理論