鄭哲遠 李兆霞

(東南大學(xué)土木工程學(xué)院, 南京 210096)(東南大學(xué)江蘇省工程力學(xué)分析重點實驗室, 南京 210096)

剪切型Beam Lattice模型及其在巖石翼裂紋擴展和貫通模擬中的應(yīng)用

鄭哲遠 李兆霞

(東南大學(xué)土木工程學(xué)院, 南京 210096)(東南大學(xué)江蘇省工程力學(xué)分析重點實驗室, 南京 210096)

采用考慮剪切效應(yīng)和Mohr-Coulomb失效準(zhǔn)則的剪切型Beam Lattice(SBL)模型來模擬翼裂紋擴展和貫通過程中出現(xiàn)的次生裂紋.該模型采用隨機多邊形網(wǎng)格來反映材料的非均質(zhì)性,在結(jié)果分析中應(yīng)用裂紋擴展路徑來區(qū)分張拉型和剪切型裂紋擴展.利用SBL模型對不同間距的初始裂紋進行模擬,并將模擬結(jié)果和實驗觀測結(jié)果進行比對.結(jié)果表明,SBL模型可以較為準(zhǔn)確地模擬不同模式下的裂紋擴展和貫通路徑.翼裂紋的擴展和貫通呈現(xiàn)階段性,首先出現(xiàn)張拉型裂紋,當(dāng)裂紋間距為10 mm時出現(xiàn)清晰的貫通裂紋,最后出現(xiàn)剪切型裂紋.裂紋的擴展進程在加載前中期保持穩(wěn)定,而在加載末期時明顯加快,出現(xiàn)不穩(wěn)定擴展的現(xiàn)象.SBL模型中考慮更多的剪切效應(yīng)會得到更多的剪切型裂紋.

翼裂紋;裂紋貫通;剪切效應(yīng);格構(gòu)模型

翼裂紋是在巖石類材料中常見的缺陷形式.實驗表明,不論在宏觀尺度還是細微觀尺度,巖石常呈現(xiàn)出的準(zhǔn)脆性或者脆性破壞模式與翼裂紋的擴展形式密切相關(guān)[1].多條翼裂紋在擴展過程中相互影響,常會發(fā)生貫通的現(xiàn)象,這是造成巖石破壞的重要因素[2-3].關(guān)于這類由初始裂紋導(dǎo)致失效的研究在巖土施工和節(jié)理失效[4]研究中具有重要意義.巖石材料失效過程中,張拉以及剪切變形均起著重要作用,這2種變形模式對巖石材料失效的影響一般由Mohr-Coulomb失效準(zhǔn)則進行描述和判定.在無圍壓作用的平面情況下,常見的翼裂紋擴展模式分為張拉型裂紋和剪切型裂紋.Cotterell等[5]針對均勻線彈性材料,假設(shè)翼裂紋擴展路徑為直線形態(tài),給出了翼裂紋的應(yīng)力強度因子解.然而,鑒于巖石類材料的不均勻特性,實際中裂紋擴展路徑往往并不規(guī)律.

大量的實驗研究已經(jīng)證實,這2種裂紋類型在翼裂紋的擴展過程中均會出現(xiàn),且表現(xiàn)出不同的裂紋擴展路徑和萌生區(qū)域.Bobet[6]指出,在單條裂紋擴展中,主導(dǎo)裂紋擴展一般為張拉型,而次生裂紋則為剪切型.但在天然巖石中,初始裂紋的相互位置迥異,導(dǎo)致產(chǎn)生局部較大的剪切變形,剪切裂紋也會起到舉足輕重的作用.裂紋貫通時張拉型和剪切型裂紋會出現(xiàn)相互錯雜的現(xiàn)象,對翼裂紋貫通以及次生裂紋的萌生機理研究帶來困難.

常用于模擬裂紋擴展的數(shù)值方法包括有限元法[7]和離散元法[8]等.這些方法已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于工程斷裂的數(shù)值分析中.在對準(zhǔn)脆性以及脆性材料的破壞模擬中,Beam Lattice模型是一種常用的數(shù)值模型.該模型使用梁單元代替實際連續(xù)材料,對裂紋擴展現(xiàn)象進行模擬[9],這類模型能較為充分地反映材料的不均勻性和各向異性.Bolander等[10]采用類似的Spring Lattice數(shù)值模型,對巖石類材料的劈裂和裂紋分岔進行模擬.在Lattice模型中,裂紋的擴展一般由單元的失效進行表征,因此單元尺寸需要與材料失效的特征尺寸相吻合.

在翼裂紋的擴展和聚合中,剪切型裂紋的作用不容忽視,數(shù)值模型中與之密切相關(guān)的單元剪切效應(yīng)應(yīng)予以考慮.本文建立了能夠反映翼裂紋擴展和貫通過程中剪切效應(yīng)的剪切型Beam Lattice(SBL)模型.通過迭代方法處理材料失效以及裂紋擴展帶來的非線性效應(yīng),采用隨機的多邊形網(wǎng)格來反映材料的非均勻性.采用SBL模型對不同初始裂紋間距情況下裂紋擴展和貫通的特點進行計算分析,將模擬結(jié)果和實驗結(jié)果進行對比,探討了模型中剪切參數(shù)對剪切型裂紋擴展的影響.

1 SBL模型

平面SBL模型以梁單元作為基本構(gòu)成單位,采用大量梁單元來表征實際的連續(xù)材料,模型中單元的本構(gòu)關(guān)系和失效準(zhǔn)則都與物理意義上的材料特性不同.為了在建模中考慮剪切效應(yīng),基于鐵木辛柯梁理論建立基本單元.如圖1所示,力學(xué)變量主要為梁縱向正應(yīng)力σxx、截面內(nèi)切應(yīng)力τxy及其應(yīng)變分量,基本控制方程為

∫σxxydS=M, ∫σxxdS=F, ∫τxydS=Q

式中,M,F,Q分別為截面彎矩、軸力和剪力;ui(i=x,y,z)為截面位移;θ為截面轉(zhuǎn)角;E和G分別為彈性情況下的楊氏模量和剪切模量;S為截面面積.

(a) SBL模型及其基本結(jié)構(gòu)

(b) 梁單元

式中,Φ(x)為插值基函數(shù).

在鐵木辛柯梁單元中,為防止剪切變形造成自鎖,采用減縮積分,插值基函數(shù)可寫為

Φ(x)=[Φa(x)Φr(x)Φs(x)]T

式中

(4)

式中,L為單元長度.

將式(3)代入控制方程式(1),可以得到有限元剛度矩陣為

式中,k為剪切系數(shù),由梁截面的形狀確定.

為了在保證裂紋擴展不均勻特性的同時提高計算效率,本文采用多邊形網(wǎng)格生成的Lattice結(jié)構(gòu),該多邊形網(wǎng)格根據(jù)Voronoi圖得到.此模型能夠提供更多的潛在裂紋擴展方向,以更好地對裂紋擴展路徑進行模擬.

2 單元失效準(zhǔn)則

在模擬裂紋擴展導(dǎo)致的局部材料破壞時,SBL模型采用了梁單元的失效和單元破壞來表征裂紋的萌生、起裂以及擴展.在SBL模型的材料點上采用應(yīng)力準(zhǔn)則來判定局部材料失效[10],在應(yīng)力準(zhǔn)則中考慮了剪應(yīng)力的作用.材料點的失效會降低單元的力學(xué)性質(zhì),而當(dāng)單元內(nèi)全部材料點失效時,則判定單元整體發(fā)生破壞,永久失去承載能力.SBL模型考慮了單元的剪切效應(yīng),每個材料點非零的應(yīng)力張量分量包括軸向正應(yīng)力以及截面內(nèi)的剪應(yīng)力,即

式中,α為系數(shù),用于調(diào)整剪切在變形中的權(quán)重,使得變形模式更為合理[11].當(dāng)α=1時，單元為鐵木辛柯梁單元；α=0時，單元為不考慮剪切的伯努利梁單元.

針對巖石類材料特征,材料點的失效準(zhǔn)則采用含有張拉極限σc的Mohr-Coulomb準(zhǔn)則,即

(7)

式中,φ為內(nèi)摩擦角,本文取為30°;c為黏結(jié)常數(shù),與材料宏觀的張拉極限有關(guān),需要根據(jù)材料的拉伸強度確定.

材料點失效會導(dǎo)致單元以及模型整體的非線性響應(yīng),本文采用準(zhǔn)靜態(tài)方法[12]進行非線性迭代.

3 裂紋擴展模式及實驗驗證

在SBL模型中,張拉裂紋沿主拉應(yīng)力較大的方向擴展,剪切裂紋萌生和擴展則受剪切應(yīng)力影響較大.梁單元變形沿軸向為主,外荷載主要由梁單元軸力Ft承擔(dān),剪力Fs起輔助作用.根據(jù)此特點,失效單元的軸向應(yīng)與外荷載方向保持近似平行.利用SBL模型模擬得到的張拉型和剪切型翼裂紋擴展形態(tài)和路徑如圖2所示.

(a) 張拉型

(b) 剪切型

為了驗證SBL模型的有效性和精確度,首先對2條平行且水平位置互相重合的翼裂紋擴展以及貫通的情況進行了研究.針對軟巖類材料石膏建立了數(shù)值模型,材料的宏觀材料屬性見表1.對于均一規(guī)整的網(wǎng)格形式,Schlangen等[11]提出了解析確定參數(shù)的方法.然而在SBL模型中,隨機生成的多邊形網(wǎng)格導(dǎo)致了幾何模型的不確定性,解析確定參數(shù)的方法不再適用,需要利用宏觀均勻化的材料屬性對模型參數(shù)進行校準(zhǔn).通過調(diào)整梁單元的剛度和截面面積,可以使圖1(a)中模型的彈性模量和泊松比符合宏觀材料屬性.同時認為梁單元和宏觀材料具有相同的內(nèi)摩擦角φ和黏連系數(shù)c[10],而材料點上的張拉極限σc由模型的拉伸強度和實際材料的拉伸強度來確定.

表1 石膏的宏觀材料屬性

參數(shù)數(shù)值彈性模量/GPa1泊松比0.25拉伸強度/MPa1.25壓縮強度/MPa12黏連系數(shù)0.6

本課題組針對人造石膏試樣進行單軸壓縮實驗,其材料參數(shù)如表1所示.對實驗中翼裂紋的擴展和貫通進行了觀測,觀測到的裂紋路徑和形態(tài)如圖3所示.不同的裂紋間距對裂紋之間的聚合和剪切裂紋的出現(xiàn)都會產(chǎn)生較大影響.本實驗中將裂紋間距Lc分別取值為0,10,20 mm.針對實驗試樣進行數(shù)值建模,試件的尺寸為70 mm×140 mm,裂紋長度為20 mm.裂紋與水平方向呈45°夾角,以便于得到裂紋起裂后的穩(wěn)定擴展[13].試件受到垂直方向的單軸壓力P,試件數(shù)值模型的網(wǎng)格劃分如圖4所示,其中單元特征尺寸為1 mm.令ψ=αk,將其作為衡量SBL模型剪切程度的參數(shù),本算例中取為0.8.

(a) 實驗前的觀測試樣

(b) 破壞狀態(tài)下翼裂紋擴展貫通

(a) Lc=0 mm

(b)Lc=10 mm

(c) Lc=20 mm

此外,數(shù)值模型在模擬裂紋擴展時對網(wǎng)格具有一定依賴性:① 對網(wǎng)格尺寸的依賴性.本文參考Lattice數(shù)值研究[9-10],采用較小的網(wǎng)格尺寸,以取得較為精確的穩(wěn)定解.② 對網(wǎng)格方向的依賴性.本文通過隨機多邊形網(wǎng)格劃分的方式,降低單元排布方向引起的偏差.

對試樣進行SBL模型建模,計算分析后得到的裂紋擴展形態(tài)(見圖4).圖中,紅色曲線為張拉型裂紋,藍色曲線為剪切型裂紋.圖3和圖4中均可觀測到相同的裂紋擴展聚合特征.當(dāng)裂紋間距為0 mm時,裂紋間的貫通不顯著,初始主裂紋擴展為張拉型,一段時間后開始形成剪切型裂紋擴展.實驗和離散元數(shù)值計算中易產(chǎn)生這種混合張拉剪切裂紋貫通機制[3,8].本算例中,可以推測這是由于裂紋擴展到試樣邊界附近后,貫通裂紋面和荷載控制邊界發(fā)生相互影響所導(dǎo)致的.當(dāng)裂紋間距為10 mm時,2條裂紋之間出現(xiàn)較為顯著清晰的貫通現(xiàn)象,且裂尖的左右兩側(cè)出現(xiàn)大量聚集性分布的剪切型裂紋.當(dāng)裂紋間距繼續(xù)增大至20 mm時,2條裂紋之間的相互影響大幅減弱,因此缺少了2條裂紋之間相互貫通的階段,此時的裂紋擴展表現(xiàn)為2個階段.

綜上所述,2條翼裂紋的擴展形態(tài)、相互間的貫通以及剪切裂紋的形成均與裂紋間距相關(guān).當(dāng)裂紋間距較小時,貫通裂紋的擴展被抑制;當(dāng)裂紋間距較大時,裂紋表現(xiàn)出各自擴展.張拉型裂紋持續(xù)擴展靠近邊界時呈現(xiàn)出張拉剪切混合的特征.當(dāng)貫通裂紋出現(xiàn)時,周邊易出現(xiàn)剪切裂紋區(qū).

4 變形各階段翼裂紋擴展特征

當(dāng)2條裂紋相距10 mm時,裂紋間的貫通比較清晰,同時產(chǎn)生了明顯的剪切裂紋區(qū).本節(jié)以此情況下的裂紋擴展為例,對翼裂紋擴展的機理進行討論.

隨著荷載的持續(xù)施加,裂紋擴展和貫通呈現(xiàn)出3個階段:① 外側(cè)(相對上下2條裂紋之間的內(nèi)側(cè)部分而言)裂尖開始出現(xiàn)典型張拉型裂紋擴展;② 內(nèi)側(cè)聚合貫通裂紋的擴展開始變得明顯,而外側(cè)的張拉裂紋繼續(xù)擴展;③ 裂紋左右兩側(cè)出現(xiàn)大量的剪切型裂紋,形成剪切裂紋區(qū),直至試件發(fā)生脆性失效,無法繼續(xù)承載.這種失效形態(tài)常出現(xiàn)在單條翼裂紋的擴展失效中[14],但是單條裂紋的情況下不存在聚合貫通裂紋.

裂紋的階段性擴展和貫通同時反映于宏觀響應(yīng)中.圖5為表征試件宏觀響應(yīng)的荷載-位移曲線.由于是針對巖石類材料進行模擬,同時采用了比較脆性的Mohr-Coulomb失效判據(jù)和準(zhǔn)靜態(tài)的非線性迭代方法,因此在應(yīng)力突然釋放時出現(xiàn)回彈(snap-back)現(xiàn)象.裂紋在經(jīng)過第1階段的擴展和貫通后,試件承載能力會突然發(fā)生階梯式下降,標(biāo)志著裂紋突然發(fā)生不穩(wěn)定擴展,然后進入第2階段并持續(xù)承載,承載過程中試件變形以及裂紋擴展保持穩(wěn)定.此后,曲線再次出現(xiàn)突然下降并進入第3階段,直至最后完全失效.

圖5 Lc=10 mm時的荷載-位移曲線

3種裂紋間距情況下失效單元數(shù)量n和最終失效單元數(shù)量nmax比值表征的裂紋擴展和貫通進度如圖6所示.圖中,Pmax為極限荷載.從圖中可以看到,裂紋的擴展進程在加載前中期保持穩(wěn)定,而在加載末期時明顯加快,出現(xiàn)不穩(wěn)定擴展的現(xiàn)象.

圖6 不同裂紋間距時失效單元數(shù)量表征的裂紋擴展進度

5 剪切效應(yīng)對裂紋貫通和失效的影響

不同的巖石材料會表現(xiàn)出不同的宏觀斷裂模式.本節(jié)將探討梁單元剪切效應(yīng)對材料宏觀斷裂模式的影響.SBL模型中的剪切效應(yīng)作為數(shù)值模型內(nèi)參數(shù)存在,在數(shù)值模型中可以通過改變參數(shù)ψ來調(diào)整單元的剪切效應(yīng).為了在結(jié)果中獲得較為明顯的剪切裂紋,這里選取了2條裂紋相距為10 mm時的情況進行研究.

在失效的最終形態(tài)中,裂紋的數(shù)量和分布不盡相同.為了便于比較,本文采用剪切型斷裂單元數(shù)量ns和張拉型斷裂單元數(shù)量nt的比值來對剪切型裂紋產(chǎn)生量進行衡量,結(jié)果見表2.由表可見,在單元變形中增加剪切效應(yīng),發(fā)生剪切型斷裂的單元數(shù)量會明顯增加.當(dāng)剪切參數(shù)從0.4增加至1.2時,ns/nt由0.304增加至1.190.

表2 不同程度剪切效應(yīng)下剪切型裂紋生成情況

當(dāng)剪切參數(shù)大于1時,翼裂紋的擴展開始表現(xiàn)出更強的剪切效應(yīng).由圖7可知,當(dāng)ψ=1.0和1.2時,出現(xiàn)在初始裂紋兩側(cè)的剪切裂紋(次生裂紋)增多,并出現(xiàn)斷裂帶.一般較硬的巖石類材料中易出現(xiàn)此類裂紋擴展形態(tài)[14].當(dāng)剪切參數(shù)較小時,剪切型斷裂的單元較少,裂紋的擴展和貫通由張拉型裂紋主導(dǎo),這與軟巖類材料中觀測到的實驗結(jié)果相吻合.當(dāng)SBL模型的單元變形中考慮較多的剪切效應(yīng)時,在翼裂紋擴展的模擬中會得到較多的剪切型裂紋.基于此,實際分析中可以通過調(diào)整SBL模型中剪切參數(shù)來對不同性質(zhì)的巖石類材料中不同形式的裂紋擴展和貫通進行數(shù)值模擬.

(a) ψ=0.4

(b) ψ=0.6

(c) ψ=1.0

(d) ψ=1.2

6 結(jié)論

1) SBL模型能夠較好地模擬不同裂紋間距情況下翼裂紋擴展和貫通的形態(tài),模擬結(jié)果與實驗結(jié)果吻合較好.

2) 不同的裂紋間距情況下會產(chǎn)生不同的裂紋擴展和貫通形式.當(dāng)裂紋間距較小時,貫通裂紋的擴展被抑制;當(dāng)裂紋間距較大時,裂紋表現(xiàn)為各自擴展.

3) 裂紋的擴展和貫通呈現(xiàn)出階段性.裂紋的擴展進程在加載前中期保持穩(wěn)定,而在加載末期時明顯加快,出現(xiàn)不穩(wěn)定擴展的現(xiàn)象.

4) 剪切型裂紋的生成和SBL模型中剪切效應(yīng)的強弱有關(guān).在單元變形中增加剪切效應(yīng),發(fā)生剪切型斷裂的單元數(shù)量會明顯增加.

References)

[1]Paterson M S, Wong T.Experimentalrockdeformation-thebrittlefield[M]. Berlin,Germany: Springer, 2005: 17-41.

[2]Bobet A, Einstein H H. Fracture coalescence in rock-type materials under uniaxial and biaxial compression[J].InternationalJournalofRockMechanicsandMiningSciences, 1998, 35(7): 863-888. DOI:10.1016/s0148-9062(98)00005-9.

[3]Wong R H C, Chau K T, Tang C A, et al. Analysis of crack coalescence in rock-like materials containing three flaws—part Ⅰ: Experimental approach[J].InternationalJournalofRockMechanicsandMiningSciences, 2001, 38(7): 909-924. DOI:10.1016/s1365-1609(01)00064-8.

[4]劉軍,趙長冰.含預(yù)制裂紋的水泥砂漿試塊在爆炸載荷作用下?lián)p傷特征的數(shù)值模擬[J].巖土力學(xué),2007,28(2):279-282. Liu Jun, Zhao Changbin. Numerical simulation of damage characteristics of cement mortar block with prefab cracks under blast loading[J].RockandSoilMechanics, 2007, 28(2): 279-282. (in Chinese)

[5]Cotterell B, Rice J R. Slightly curved or kinked cracks[J].InternationalJournalofFracture, 1980, 16(2): 155-169. DOI:10.1007/bf00012619.

[6]Bobet A. The initiation of secondary cracks in compression[J].EngineeringFractureMechanics, 2000, 66(2): 187-219. DOI:10.1016/s0013-7944(00)00009-6.

[7]李強,楊慶,欒茂田,等.曲線翼型裂紋擴展路徑理論分析及試驗驗證[J].巖土力學(xué),2010,31(2):345-349. DOI:10.3969/j.issn.1000-7598.2010.02.002. Li Qiang, Yang Qing, Luan Maotian, et al. Study of curved wing crack path by theory and testing methods[J].RockandSoilMechanics, 2010, 31(2): 345-349. DOI:10.3969/j.issn.1000-7598.2010.02.002.(in Chinese)

[8]Zhang X P, Wong L N Y. Crack initiation, propagation and coalescence in rock-like material containing two flaws: a numerical study based on bonded-particle model approach[J].RockMechanicsandRockEngineering, 2013, 46(5): 1001-1021. DOI:10.1007/s00603-012-0323-1.

[9]楊強,張浩,周維垣.基于格構(gòu)模型的巖石類材料破壞過程的數(shù)值模擬[J].水利學(xué)報,2002,33(4):46-50. DOI:10.3321/j.issn:0559-9350.2002.04.009. Yang Qiang, Zhang Hao, Zhou Weiyuan. Lattice model for simulating failure process of rock[J].JournalofHydraulicEngineering, 2002, 33(4): 46-50. DOI:10.3321/j.issn:0559-9350.2002.04.009.(in Chinese)

[10]Bolander J E, Saito S. Fracture analyses using spring networks with random geometry[J].EngineeringFractureMechanics, 1998, 61(5): 569-591. DOI:10.1016/s0013-7944(98)00069-1.

[11]Schlangen E, van Mier J G M. Simple lattice model for numerical simulation of fracture of concrete materials and structures[J].MaterialsandStructures, 1992, 25(9): 534-542. DOI:10.1007/bf02472449.

[12]de Borst R, Crisfield M A, Remmers J J C, et al.Nonlinearfiniteelementanalysisofsolidsandstructures[M]. West Sussex,UK: John Wiley & Sons, 2012: 113-141.

[13]謝其泰,郭俊志,王建力,等.單軸壓縮下含傾斜單裂紋砂巖試件裂紋擴展量測研究[J].巖土力學(xué),2011,32(10):2917-2921,2928. DOI:10.3969/j.issn.1000-7598.2011.10.005. Hsieh Chitai, Kuo Chuhchih, Wang Cheinlee, et al. A study of crack propagation measurement on sandstone with a single inclined flaw under uniaxial compression[J].RockandSoilMechanics, 2011, 32(10): 2917-2921,2928. DOI:10.3969/j.issn.1000-7598.2011.10.005.(in Chinese)

[14]Wong L N Y, Einstein H H. Systematic evaluation of cracking behavior in specimens containing single flaws under uniaxial compression[J].InternationalJournalofRockMechanicsandMiningSciences, 2009, 46(2): 239-249. DOI:10.1016/j.ijrmms.2008.03.006.

Shear-enhanced Beam Lattice model and its application in simulation of propagation and coalescence of wing crack in geomaterials

Zheng Zheyuan Li Zhaoxia

(College of Civil Engineering, Southeast University, Nanjing 210096, China)(Jiangsu Key Laboratory of Engineering Mechanics, Southeast University, Nanjing 210096, China)

A shear-enhanced Beam Lattice (SBL) model considering the shear effect and the Mohr-Coulomb failure criterion is applied to simulate the secondary cracks and wing cracks during propagation and coalescence. In this model, the random polygonal mesh is used to reflect the heterogeneity of materials. In the result analysis, the crack propagation path is applied to distinguish the shear type and the tensile type of crack propagation. The SBL model is applied to simulate the fracture of the flaws with different spacing, and the simulation results are compared with the experimental ones. The results show that the propagation and the coalescence of the flaws under different modes can be well simulated by using the SBL model. The propagation and the coalescence process exhibit several stages. The tensile cracks appear first, and then the obvious coalescence cracks occur when the flaw spacing is 10 mm. The shear cracks appear at the final stage. During the initial and middle loading stages, the propagation process is stable. However, it accelerates and becomes unstable in the final stage. More shear effects in the SBL model can result in more shear cracks.

wing crack; crack coalescence; shear effect; Lattice model

10.3969/j.issn.1001-0505.2017.02.025

2016-08-11. 作者簡介: 鄭哲遠(1987—)，男，博士生；李兆霞(聯(lián)系人)，女，博士，教授，博士生導(dǎo)師，zhxli@seu.edu.cn.

國家重點研發(fā)計劃資助項目(2016YFC0701301)、江蘇省研究生培養(yǎng)創(chuàng)新工程資助項目(KYLX_094).

鄭哲遠,李兆霞.剪切型Beam Lattice模型及其在巖石翼裂紋擴展和貫通模擬中的應(yīng)用[J].東南大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2017,47(2):350-355.

10.3969/j.issn.1001-0505.2017.02.025.

TU443

A

1001-0505(2017)02-0350-06