鄭 坤,郭長(zhǎng)青,王 凡

(南華大學(xué) a.城市建設(shè)學(xué)院；b. 數(shù)理學(xué)院， 湖南 衡陽 421001)

分布隨從力作用的雙參數(shù)地基上懸臂管穩(wěn)定性研究

鄭 坤a,郭長(zhǎng)青b,王 凡a

(南華大學(xué) a.城市建設(shè)學(xué)院；b. 數(shù)理學(xué)院， 湖南 衡陽 421001)

為了對(duì)分布隨從力作用時(shí)雙參數(shù)地基上懸臂管穩(wěn)定性進(jìn)行分析，利用Euler-Bernoulli梁模型創(chuàng)立輸流管道的運(yùn)動(dòng)微分方程，然后運(yùn)用傳遞矩陣法進(jìn)行求解。通過分析懸臂輸流管的無量綱復(fù)頻率和失穩(wěn)時(shí)臨界流速間的關(guān)系，在地基剛度取4種不同值情況下研究懸臂管道受分布隨從力和流體流速作用時(shí)的振動(dòng)情況。結(jié)果表明：①地基剛度取值一定時(shí),懸臂管道受分布隨從力和流體流速影響時(shí)的振動(dòng)特點(diǎn)大不一樣；②無量綱分布隨從力與流體流速取值一定時(shí),管道系統(tǒng)的振動(dòng)狀況隨著地基剛度增加而更加穩(wěn)定,相比線性剛度的影響剪切剛度的作用尤為突出。

雙參數(shù)地基；分布隨從力；懸臂輸流管道；地基剛度；無量綱分布

1 研究背景

輸流管道被廣泛應(yīng)用于各種工業(yè)設(shè)施和基礎(chǔ)建設(shè)當(dāng)中, 特別是石油、水利、市政等工程領(lǐng)域。當(dāng)管道埋設(shè)在地下土壤時(shí),土壤就充當(dāng)于具有一定彈性參數(shù)的地基，對(duì)管道有一定支承作用。對(duì)管道振動(dòng)進(jìn)行研究是非常有必要的,尤其是實(shí)現(xiàn)減少管道振動(dòng)和降低噪聲有極其重要的意義。面對(duì)復(fù)雜的土壤地基條件，理論研究時(shí)很難實(shí)現(xiàn)與實(shí)際地基情況一致，對(duì)此，國(guó)內(nèi)外一些學(xué)者為了簡(jiǎn)化研究引入了各種地基模型盡可能符合現(xiàn)實(shí)情況，有的引入單參數(shù)的模型[1]，有的則采用雙參數(shù)的模型[2]。其中Winkler模型[3-6]就是典型的單參數(shù)地基模型，Pasternak模型[7-11]則是雙參數(shù)地基模型。另外影響管道穩(wěn)定性因素中，非保守力和管道的支承條件也是非常重要的。管道所受的非保守力主要是由流體的黏滯阻力所產(chǎn)生，隨著管道的變形而變化，其方向始終與曲線相切，即為分布隨從力，同時(shí)懸臂管道的穩(wěn)定性相對(duì)較差。因此，此文對(duì)懸臂輸流管道振動(dòng)特點(diǎn)進(jìn)行研究，在隨從力的基礎(chǔ)上，采用Pasternak地基模型，運(yùn)用矩陣傳遞法求解管道的無量綱運(yùn)動(dòng)微分方程，得出其相關(guān)結(jié)論。

2 運(yùn)動(dòng)方程

圖1為懸臂輸流管受分布隨從力時(shí)Pasternak地基上的分析模型。忽略次要因素，運(yùn)用Bernoulli-Euler梁的模型進(jìn)行計(jì)算，管內(nèi)流體視為恒定流,地基簡(jiǎn)化為雙參數(shù)彈性地基，隨從力沿管道撓度切向布置。

注：K為簡(jiǎn)化后地基線性彎曲剛度；G為簡(jiǎn)化后地基剪切剛度；U為管道內(nèi)流體流速；q為分布隨從力。

管道簡(jiǎn)化后的運(yùn)動(dòng)微分方程[12]為

(1)

等效后Pasternak地基的反力F和位移W的關(guān)系[13]為

(2)

考慮隨從力和雙參數(shù)地基因素并將式(2)代入式(1)中得管道的運(yùn)動(dòng)微分方程為

(3)

式中：w(x,t)為管道y方向位移；x為管道x方向位移；t為時(shí)間；EI為管道抗彎剛度；L為管道計(jì)算長(zhǎng)度；m為單位長(zhǎng)度管道質(zhì)量；M為單位長(zhǎng)度上管內(nèi)流體質(zhì)量。

為了方便計(jì)算，引入無量綱量，即：

(4)

式中符號(hào)意義同式(3)，另外β為質(zhì)量比;γ為無量綱隨從力;ξ為無量綱x方向位移;η為無量綱y方向位移;u為無量綱流速;k為無量綱地基彎曲剛度;g為無量綱地基剪切剛度。

利用式(4)，將式(3)轉(zhuǎn)化為

(5)

3 傳遞矩陣法

利用參考文獻(xiàn)[14]中所用傳遞矩陣法來求解式(5)，設(shè)

(6)

式中：i為虛數(shù)單位；An為n階對(duì)應(yīng)振型函數(shù)；ωn為系統(tǒng)第n階固有頻率。

把式(6)代入式(5)中得

(7)

由力學(xué)中梁彎曲的知識(shí)可知

(8)

式中：Q為剪力；T為彎矩；θ為轉(zhuǎn)角。

將式(6)展開為

η(ξ,τ)=A1eiω1ξ+A2eiω2ξ+A3eiω3ξ+A4eiω4ξ。

(9)

先將式(9)代入式(8)中，然后聯(lián)立式(6)中的3個(gè)式子得4個(gè)方程,其矩陣為

(10)

式(10)簡(jiǎn)化為

[Z]=[Q(x)][A] 。

(11)

令式(11)中x=0得

[A]=[Q(0)]-1[Z]j-1，j=1,2,3,…,n。

(12)

將式(12)代入式(11)中得

[Z]j=[Q(l)][Q(0)]-1[Z]j-1。

(13)

令[B]=[Q(l)][Q(0)]-1為管道的傳遞矩陣，則懸臂管道的邊界條件為

(14)

管道的左邊和右邊的邊界條件分別用[RL]與[RR]表示,并把式(14)代入式(13)中得

[H][Z]=[0] 。

(15)

其中[H]=[RL][B][RR]。

4 計(jì)算結(jié)果與分析

4.1 懸臂管顫振失穩(wěn)臨界流速

通過計(jì)算得出，當(dāng)?shù)鼗鶆偠热≈捣謩e為g=10,k=10;g=50,k=50;g=50,k=300;g=300,k=50時(shí)，懸臂輸流管道處在顫振失穩(wěn)時(shí)臨界流速uc和分布隨從力γ(γ<0時(shí)代表流速和分布隨從力同向)之間的關(guān)系，如圖2所示。

圖2 地基剛度取不同值時(shí)懸臂輸流管道失穩(wěn)時(shí)臨界流速和分布隨從力的關(guān)系Fig.2 Relationship between critical velocity and distributed follower force of cantilever pipe at unstable state with different foundation stiffness values

從圖2中可知：地基剛度取4組不同值時(shí)，隨分布隨從力增大，懸臂輸流管道上發(fā)生顫振失穩(wěn)時(shí)的臨界流速不斷變?。还艿浪诘牡鼗鶆偠仍黾訒?huì)使得管道更加穩(wěn)定，相應(yīng)的臨界失穩(wěn)流速變大。通過比較發(fā)現(xiàn)，相比線性彎曲剛度而言，地基的剪切剛度對(duì)臨界流速的影響更大些，當(dāng)γ<0時(shí)，臨界速度跟著分布隨從力增大而變大，反之則變小。

4.2 不同參數(shù)取值時(shí)管道振動(dòng)情況

4.2.1 流速對(duì)管道穩(wěn)定性的影響

根據(jù)矩陣H， 給定各無量綱參數(shù)值時(shí),即可求得特征值S。特征值S可乘以-i轉(zhuǎn)化為復(fù)頻率Ω，即

Ω=-iS=ω-αi≡Ωr+iΩi。

(16)

由數(shù)學(xué)知識(shí)可知，實(shí)矩陣H求得的特征值S一定是一對(duì)共軛復(fù)數(shù)或?qū)崝?shù)。特征值每取一組值就對(duì)應(yīng)管道某種振動(dòng)狀態(tài)。

圖3—圖5是當(dāng)β=0.5，流速u分別取0，5，15時(shí),地基剛度取不同組合值條件下特征值的實(shí)部、虛部與分布隨從力γ之間的關(guān)系。

圖3 當(dāng)β=0.5，u=0時(shí),g和k取4組值情況下管道分布隨從力和復(fù)頻率之間的關(guān)系Fig.3 Relationship between complex frequency and distributed follower force with different foundation stiffness values when β=0.5 and u=0

圖4 β=0.5，u=5,g和k取4組值情況下管道分布隨從力和復(fù)頻率之間的關(guān)系Fig.4 Relationship between complex frequency and distributed follower force with different foundation stiffness values when β=0.5 and u=5

圖5 β=0.5，u=15,g和k取4組值情況下管道分布隨從力和復(fù)頻率之間的關(guān)系Fig.5 Relationship between complex frequency and distributed follower force with different foundation stiffness values when β=0.5 and u=15

從圖3中可知：當(dāng)β=0.5，u=0，分布隨從力方向與流速方向相反時(shí)，系統(tǒng)1階模態(tài)在不同的地基剛度取值下先等幅振動(dòng)，然后發(fā)生顫振失穩(wěn)。管道系統(tǒng)先是1階模態(tài)失穩(wěn)，再是2階模態(tài)失穩(wěn)；當(dāng)分布隨從力方向與流速方向相同時(shí)，分布隨從力從0增加到400時(shí)系統(tǒng)始終為等幅振動(dòng)。

從圖4可知：當(dāng)β=0.5，u=5時(shí)，分布隨從方向和流速方向相反，線性剛度和剪切剛度較小時(shí)，系統(tǒng)的1階模態(tài)隨著分布隨從力的變化，開始處于靜態(tài)狀態(tài)，然后處于動(dòng)態(tài)穩(wěn)定，而2階模態(tài)先是動(dòng)態(tài)穩(wěn)定然后是顫振失穩(wěn)；在線性剛度和剪切剛度較大時(shí)，系統(tǒng)的1階模態(tài)開始處于動(dòng)態(tài)穩(wěn)定，最后發(fā)生顫振失穩(wěn)，2階模態(tài)則是發(fā)生顫振失穩(wěn)；在分布隨從力方向和流速相同時(shí)，系統(tǒng)的1階和2階模態(tài)都是顫振失穩(wěn)。

圖6 β=0.5，γ=10,g和k取4組值情況下流速和管道復(fù)頻率之間關(guān)系Fig.6 Relationship between complex frequency and flow velocity with different foundation stiffness values when β=0.5 and γ=10

圖7 β=0.5，γ=30,g和k取4組值情況下流速和管道復(fù)頻率之間關(guān)系Fig.7 Relationship between complex frequency and flow velocity with different foundation stiffness values when β=0.5 and γ=30

從圖5中可知：當(dāng)β=0.5，u=15時(shí)，分布隨從方向和流速方向相反時(shí)，在線性剛度和剪切剛度較小時(shí)，隨著分布隨從力的增加，系統(tǒng)1階模態(tài)開始處于動(dòng)態(tài)穩(wěn)定狀態(tài)，然后是顫振失穩(wěn)，而系統(tǒng)2階模態(tài)開始慢慢進(jìn)入顫振狀態(tài)。在線性剛度和剪切剛度較大時(shí)，系統(tǒng)的1階模態(tài)振動(dòng)靜態(tài)狀態(tài)，后保持動(dòng)態(tài)穩(wěn)定狀態(tài)，最后發(fā)生發(fā)散失穩(wěn)，2階模態(tài)則是發(fā)生顫振失穩(wěn)；在分布隨從力方向和流速相同時(shí)，隨著分布隨從力從0～400變化時(shí)，系統(tǒng)1階模態(tài)先靜態(tài)穩(wěn)定后動(dòng)搖穩(wěn)定，2階模態(tài)則是先動(dòng)態(tài)穩(wěn)定后靜態(tài)穩(wěn)定。

通過對(duì)比圖2—圖5可知，隨著線性剛度和剪切剛度的增加，系統(tǒng)的穩(wěn)定性明顯增強(qiáng)，同時(shí)剪切剛度的影響要大于線性剛度的影響。管道系統(tǒng)1階和2階模態(tài)大不同。

4.2.2 分布隨從力對(duì)管道穩(wěn)定性的影響

圖6、圖7分別給出γ=10和γ=30時(shí)，β=0.5下輸流管道特征值得實(shí)部、虛部與流速u之間的關(guān)系。

從圖6可知：流速?gòu)?～15的過程中，當(dāng)β=0.5，γ=10，k=g=10時(shí)，系統(tǒng)1階模態(tài)開始由動(dòng)態(tài)穩(wěn)定變?yōu)殪o態(tài)穩(wěn)定，然后處于動(dòng)態(tài)穩(wěn)定，最后發(fā)生靜態(tài)穩(wěn)定，而2階振動(dòng)模態(tài)則是處于動(dòng)態(tài)穩(wěn)定；當(dāng)β=0.5，γ=10，k=g=50時(shí)，系統(tǒng)的1階模態(tài)開始由動(dòng)態(tài)穩(wěn)定變?yōu)殪o態(tài)穩(wěn)定，然后發(fā)生顫振失穩(wěn)，而2階振動(dòng)模態(tài)始終處于穩(wěn)定狀態(tài)，經(jīng)歷了由動(dòng)態(tài)變?yōu)殪o態(tài)的變化；當(dāng)β=0.5，γ=10，g=50，k=300時(shí)，系統(tǒng)1階模態(tài)開始動(dòng)態(tài)穩(wěn)定，然后變?yōu)殪o態(tài)穩(wěn)定狀態(tài)，最后又變成動(dòng)態(tài)穩(wěn)定。2階模態(tài)振動(dòng)與k=g=50時(shí)一致；當(dāng)β=0.5，γ=10，g=300，k=50時(shí)，系統(tǒng)的1階模態(tài)開始處于動(dòng)態(tài)穩(wěn)定狀態(tài)，后發(fā)生發(fā)散失穩(wěn)。2階振動(dòng)模態(tài)始終是動(dòng)態(tài)穩(wěn)定。綜上所述，地基剛度取不同值時(shí)管道振動(dòng)狀態(tài)各不相同。

圖7與圖6對(duì)比可知，當(dāng)β=0.5，γ=10與β=0.5，γ=30時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)定狀態(tài)基本相似。

通過圖6與圖7對(duì)比可知：對(duì)于同一種地基取值，管道發(fā)散失穩(wěn)時(shí)的臨界速度跟著隨從力的變大而變小；當(dāng)分布隨從力不大時(shí)，對(duì)管道系統(tǒng)不會(huì)產(chǎn)生什么影響。雖然管道系統(tǒng)的1階模態(tài)和2階模態(tài)有較大不同，但是開始都是發(fā)生動(dòng)態(tài)穩(wěn)定。

5 結(jié) 論

(1) 地基剛度一定時(shí),懸臂輸流管道在分布隨從力影響下發(fā)生發(fā)散失穩(wěn)時(shí)無量綱臨界流速隨著分布隨從力增加而變小；地基剛度的增強(qiáng)有利于管道穩(wěn)定性。

(2) 質(zhì)量比和地基剛度取定值時(shí), 流速的增加使得系統(tǒng)振動(dòng)狀態(tài)出現(xiàn)較大變化。當(dāng)流體流速和地基剛度一定時(shí),管道系統(tǒng)發(fā)生失穩(wěn)時(shí)的類型和流速在分布隨從力作用下都不同。當(dāng)質(zhì)量比和分布隨從力一定時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)定性隨地基剛度的增加而增強(qiáng)。

(3) 對(duì)于同一種地基取值，管道失穩(wěn)時(shí)的流速跟著分布隨從力變大而變小；當(dāng)分布隨從力不大時(shí)，則不會(huì)對(duì)整個(gè)系統(tǒng)造成影響。管道系統(tǒng)的1階模態(tài)和2階模態(tài)會(huì)較大不同，但是開始都是發(fā)生動(dòng)態(tài)穩(wěn)定。

(4) 對(duì)比線性彎曲剛度對(duì)管道系統(tǒng)振動(dòng)的作用，發(fā)現(xiàn)剪切剛度對(duì)懸臂輸流管的穩(wěn)定性作用更大。

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(編輯：姜小蘭)

Stability of Cantilever Pipe Conveying Fluid with DistributedFollower Force on Two-parameter Foundation

ZHENG Kun1, GUO Chang-qing2, WANG Fan1

(1.School of Urban Construction, University of South China, Hengyang 421001, China;
2.School of Mathematics and Physics, University of South China, Hengyang 421001, China)

Through analyzing the relationship between dimensionless complex frequency and critical flow velocity ofcantilever pipe, the stability of cantilever pipe conveying fluid with distributed follower force on two-parameter elastic foundation was researched. The vibration of the cantilever pipe under actions of distributed follower force and flow velocity with four different values of foundation stiffness were also analyzed. On the basis of Euler-Bernoulli beam model, differential motion equations of pipes were established and the equations were solved by using transfer matrix method. Results show that 1) with given foundation stiffness, vibration characteristics of the cantilever pipes under the action of distributed follower force is obviously different from that of fluid velocity; 2) with given dimensionless distributed follower force and fluid velocity, the bigger foundation stiffness is, the more stable vibration condition of the pipes system is. In addition, the influence of shear stiffness is more obvious than that of linear stiffness.

two-parameter foundation; distributed follower force; cantilever pipes conveying fluid; foundation stiffness; dimensionless distribution

2015-12-28；

2016-02-29

鄭 坤(1988-)，男，湖北黃岡人，助理工程師，碩士，主要從事流固耦合力學(xué)研究，(電話)15802601875(電子信箱)zk0933@sina.com。

郭長(zhǎng)青(1965-)，男，湖南郴州人，教授，博士，主要從事流固耦合力學(xué)研究，(電話)13875766891(電子信箱)GuoCQ@hotmail.com。

10.11988/ckyyb.20151119

2017,34(4):61-65,70

TV134

A

1001-5485(2017)04-0061-05