王浩 王懷義 練敏隆

（北京空間機(jī)電研究所，北京 100094）

快速傅里葉變換對(duì)刃邊法測(cè)量遙感相機(jī)MTF的影響

王浩 王懷義 練敏隆

（北京空間機(jī)電研究所，北京 100094）

調(diào)制傳遞函數(shù)（MTF）是反映航天光學(xué)遙感器成像性能的重要參數(shù)。刃邊法是測(cè)試 MTF一種簡(jiǎn)單有效的途徑，快速傅里葉變換因計(jì)算量小在刃邊法中得到了廣泛應(yīng)用。由于線擴(kuò)展函數(shù)在空間域是無限連續(xù)的信號(hào)，而快速傅里葉變換處理的有限長(zhǎng)離散序列，對(duì)線擴(kuò)展函數(shù)應(yīng)用快速傅里葉變換時(shí)需先對(duì)其截?cái)?、采樣；截?cái)嘁痤l譜泄露，采樣造成頻譜混疊，泄露與混疊雙重效應(yīng)將導(dǎo)致最終 MTF的測(cè)量誤差。文章基于采樣理論，定量分析了線擴(kuò)展函數(shù)截?cái)鄥^(qū)間和采樣間隔對(duì)奈奎斯特頻率處 MTF的影響。針對(duì)不同應(yīng)用和誤差要求，給出了合理的采樣間隔、截?cái)鄥^(qū)間要求，規(guī)范了快速傅里葉變換在刃邊法測(cè)量光學(xué)遙感相機(jī)MTF中的應(yīng)用。

調(diào)制傳遞函數(shù) 快速傅里葉變換 刃邊法 截?cái)嚅L(zhǎng)度 采樣間隔 空間相機(jī)

0 引言

調(diào)制傳遞函數(shù)（MTF）是表征航天光學(xué)遙感器成像品質(zhì)的重要性能參數(shù)之一，無論是實(shí)驗(yàn)室還是在軌都需要精確測(cè)量航天光學(xué)遙感器的MTF。目前，MTF的測(cè)試方法有點(diǎn)源法[1]、矩形脈沖法[2]、刃邊法[3-5]、矩形靶標(biāo)法[6]和高分辨率圖像法[7]等。刃邊法的優(yōu)點(diǎn)是可以得到一條全頻段的MTF曲線，對(duì)采樣圖像的要求較低，圖像選取比較容易，無論是在軌還是實(shí)驗(yàn)室都得到了廣泛應(yīng)用。

為了提高刃邊法測(cè)試MTF的精度，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)影響刃邊法測(cè)量MTF精度的各種因素作了相關(guān)研究，文獻(xiàn)[8]介紹了邊緣擴(kuò)展函數(shù)（ESF）的有限元差分的影響，文獻(xiàn)[9-10]研究了MTF的頻率域壓縮的影響，文獻(xiàn)[11]介紹了噪聲、刃邊擬合精度的影響，文獻(xiàn)[12]研究了刃邊傾角、輻射定標(biāo)和刃邊圖像的對(duì)比度對(duì)精度的影響。

筆者發(fā)現(xiàn)即使對(duì)于同一刃邊圖像，應(yīng)用不同研究機(jī)構(gòu)的算法，最終測(cè)得的MTF存在差異。通過研究發(fā)現(xiàn)造成這種差異的原因有：噪聲的處理方法、ESF模型的選擇、快速傅里葉變換（FFT）的應(yīng)用等。很多學(xué)者通過改進(jìn)噪聲的處理方法、優(yōu)化ESF模型來提高測(cè)試精度[13-16]，忽略了FFT的近似計(jì)算過程也帶來誤差。

本文基于采樣理論，分析了FFT近似計(jì)算的誤差來源——線擴(kuò)展函數(shù)（LSF）的截?cái)嚅L(zhǎng)度、采樣間隔，并定量分析了它們對(duì)于刃邊法測(cè)試MTF的影響。針對(duì)不同應(yīng)用和誤差要求，給出了合理的線擴(kuò)展函數(shù)截?cái)嚅L(zhǎng)度、采樣間隔要求，規(guī)范了快速傅里葉變換在刃邊法測(cè)量光學(xué)遙感相機(jī)MTF中的應(yīng)用。

1 刃邊法測(cè)量MTF

1.1 測(cè)量原理

對(duì)于一個(gè)線性移不變的成像系統(tǒng)，輸出圖像o(x，y)是輸入圖像i(x，y)與點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)（PSF）h(x，y)卷積的結(jié)果

設(shè)垂直刃邊方向?yàn)閤軸方向，沿刃邊方向?yàn)閥軸方向，以垂直刃邊方向的線擴(kuò)展函數(shù)h(x)為例，一維線擴(kuò)展函數(shù)與點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的關(guān)系

一般遙感成像系統(tǒng)是徑向?qū)ΨQ系統(tǒng)，滿足點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)變量可分離性質(zhì)

式中 h(y)為沿刃邊方向的一維線擴(kuò)展函數(shù)。

e(x)表示邊緣擴(kuò)展函數(shù)，它是刃邊目標(biāo)（階躍信號(hào)）s(x)與一維線擴(kuò)展函數(shù)卷積的結(jié)果，對(duì) e(x)求一階導(dǎo)數(shù)

式中 階躍信號(hào)s(x)的導(dǎo)數(shù)δ(x)是狄拉克δ分布函數(shù)。

從退化后的刃邊圖像中提取邊緣擴(kuò)展函數(shù)后求導(dǎo)即可得到線擴(kuò)展函數(shù)，對(duì)其傅里葉變換，取模，得到MTF。

1.2 算法過程

圖1為刃邊法原理及算法示意圖，從圖1中可看出算法主要包含以為幾個(gè)步驟：

1）提取刃邊方程。若實(shí)際刃邊目標(biāo)是一條直線，則圖像上的刃邊也應(yīng)該是一條直線，但由于噪聲等因素的影響，算法得到的刃邊點(diǎn)可能不是位于一條直線上，某些刃邊點(diǎn)可能會(huì)偏離刃邊直線，這會(huì)對(duì)后續(xù)計(jì)算 MTF帶來較大的誤差。因此，需要對(duì)得到的刃邊點(diǎn)進(jìn)行最小二乘擬合，將所有刃邊點(diǎn)擬合到一條直線上。

2）依據(jù)亞像素邊緣位置提取采樣數(shù)據(jù)，擬合出邊緣擴(kuò)展函數(shù)曲線。為了消除噪聲對(duì)傳遞函數(shù)計(jì)算的影響，常常通過構(gòu)造ESF的函數(shù)模型，對(duì)采樣的ESF數(shù)據(jù)進(jìn)行非線性擬合，得到ESF的數(shù)學(xué)表達(dá)式，再通過求導(dǎo)運(yùn)算得到LSF的表達(dá)式。這樣就避免了對(duì)采樣的ESF數(shù)據(jù)做有限元差分運(yùn)算，提升了LSF的信噪比。目前擬合ESF曲線的函數(shù)模型多種多樣，常用的有誤差函數(shù)、Fermi函數(shù)、組合Fermi函數(shù)、高斯函數(shù)與指數(shù)函數(shù)組合模型等。

3）對(duì)線擴(kuò)展函數(shù)進(jìn)行截?cái)唷⒉蓸?，然后離散傅立葉變換（DFT），取變換后各頻率分量的模，并以0頻率處的MTF值為基準(zhǔn)作歸一化處理，就得到了不同頻率下的MTF值[17]。

由于DFT需要的計(jì)算量較大，運(yùn)算時(shí)間長(zhǎng)，在某種程度上限制了它的使用。為了減少運(yùn)算量同時(shí)保持結(jié)果的精確度，一般采用FFT算法，可以節(jié)省相當(dāng)大的計(jì)算量。

2 FFT及對(duì)MTF測(cè)試的影響

2.1 FFT變換原理

這樣長(zhǎng)序列N點(diǎn)的DFT就轉(zhuǎn)變成了兩個(gè)短序列N/2的DFT，復(fù)乘運(yùn)算節(jié)省一半；若N/2仍為偶數(shù)，則可重復(fù)利用上述方法，將每一個(gè)長(zhǎng)度為N/2子序列分成兩個(gè)N/4點(diǎn)的更短的子序列來進(jìn)行計(jì)算，按此一直分解下去，直至達(dá)到一點(diǎn)序列時(shí)為止，這就是FFT的基本思路[18]。

2.2 FFT對(duì)MTF測(cè)試精度的影響

點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)在空間域是連續(xù)的、無限延伸的，由式（2）一維方向積分得到的線擴(kuò)展函數(shù)h(x)仍具備這種性質(zhì)?？焖俑道锶~變換處理對(duì)象是有限長(zhǎng)離散信號(hào)，用來處理無限長(zhǎng)連續(xù)的線擴(kuò)展函數(shù)是近似計(jì)算，將帶來MTF的計(jì)算誤差，誤差來源主要有兩方面：

第一，LSF是空間域無限延伸的連續(xù)信號(hào)，進(jìn)行FFT變換之前，需截取LSF一定區(qū)間范圍的值，截?cái)鄬⒁餖SF頻譜的泄露[19]，導(dǎo)致MTF測(cè)試誤差。如圖2所示，窗口函數(shù)長(zhǎng)度L=6個(gè)像元，截?cái)噙^程可以理解為L(zhǎng)SF與窗口函數(shù)w(x)相乘

截?cái)嗟木€擴(kuò)展函數(shù)h′( x)的頻譜是窗口函數(shù)的頻譜W(ω)與線擴(kuò)展函數(shù)頻譜H(ω)卷積的結(jié)果，見圖2（f）。

對(duì)比線擴(kuò)展函數(shù)頻譜圖（圖2（d））與截?cái)嗟木€擴(kuò)展函數(shù)頻譜（圖2（f）），看出截?cái)噙^程使頻譜產(chǎn)生失真，它從原有頻率圖形擴(kuò)展開來，稱為泄露。

第二，對(duì)截?cái)嗟腖SF離散采樣時(shí)，由于線擴(kuò)展函數(shù)轉(zhuǎn)化成有限長(zhǎng)連續(xù)信號(hào)，有限信號(hào)的頻率范圍是(0,+∞)，根據(jù)香農(nóng)采樣定理，采樣頻率需大于信號(hào)最高頻率的兩倍，頻譜才不會(huì)發(fā)生混疊；因此無論如何增加采樣頻率或減小采樣間隔，只可能減弱混疊效應(yīng)，不可能避免混疊，這將導(dǎo)致MTF測(cè)試誤差。

泄露與混疊有著密切聯(lián)系，因?yàn)樾孤秾?dǎo)致頻譜擴(kuò)展，從而引起混疊。圖3給出截?cái)鄥^(qū)間長(zhǎng)度L=5個(gè)像元，采樣間隔T=0.5像元時(shí)，由于混疊與泄露雙重效應(yīng)導(dǎo)致的MTF失真。下面定量分析刃邊法測(cè)MTF時(shí)，線擴(kuò)展函數(shù)截?cái)嚅L(zhǎng)度和采樣間隔的選擇對(duì)MTF測(cè)試精度的影響。

3 定量分析

假設(shè)光學(xué)遙感成像系統(tǒng)點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)h( x，y)滿足高斯分布

式中 σ代表點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)能量分布的標(biāo)準(zhǔn)差，+0%以上的能量都集中在半徑為3σ的圓中。

σ取值不同，遙感相機(jī)點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的半高寬（Full Width at Half Maximum，F(xiàn)WHM）不同。實(shí)際上由于遙感相機(jī)點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)并不是對(duì)稱的，因此不同方向的PSF半高寬也一般不同，這里假設(shè)點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)為高斯分布，因此各個(gè)方向的FWHM 是相同的。一般遙感相機(jī)對(duì)于奈奎斯特頻率處MTF的要求高于0.1，這里σ取0.6，即FWHM為1.43個(gè)像元時(shí)（見圖4），奈奎斯特頻率處MTF理論=0.169 2，具有普遍代表性。

采用8°刃邊傾角，由公式（1）理想傾斜刃邊圖像與點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)卷積得到退化的刃邊圖像。這里討論的是FFT對(duì)于MTF測(cè)試誤差的影響，因此先不考慮噪聲影響。截取128×64大小的退化刃邊圖像，選用誤差函數(shù)模型作為ESF的數(shù)學(xué)表達(dá)式

式中 a，b，c，d是待定系數(shù)。

對(duì)邊緣擴(kuò)展函數(shù)e(x)求導(dǎo)得線擴(kuò)展函數(shù)h(x)

奈奎斯特頻率處MTF的相對(duì)誤差e

由圖5知，采樣間隔T不變，隨著截?cái)嚅L(zhǎng)度L的增加，相對(duì)誤差e單調(diào)減小，這是因?yàn)榻財(cái)鄥^(qū)間越長(zhǎng)，越接近原始的線擴(kuò)展函數(shù)，頻譜泄露越小，因此具有單調(diào)性；區(qū)間長(zhǎng)度L不變，相對(duì)誤差隨著采樣間隔T的減小而減小，但這種減小并不是單調(diào)的。由圖6可知具有波動(dòng)性，總體趨勢(shì)是隨著采樣間隔T的減小，相對(duì)誤差e減小。具體對(duì)截?cái)鄥^(qū)間長(zhǎng)度和采樣間隔的選擇，要根據(jù)實(shí)際情況的需要：1）當(dāng)不需要實(shí)時(shí)性測(cè)量 MTF時(shí)，要根據(jù)處理器的性能，選擇足夠長(zhǎng)的截?cái)鄥^(qū)間和足夠小的采樣間隔會(huì)使快速傅里葉變換引起的誤差降到最小；2）當(dāng)需要實(shí)時(shí)性測(cè)量遙感器MTF時(shí)，過小的采樣間隔與過長(zhǎng)的截?cái)鄥^(qū)間將帶來計(jì)算量的激增，若截?cái)嚅L(zhǎng)度增加k1倍，采樣間隔減小k2倍，則計(jì)算量將增加k1k2倍，計(jì)算量的增加將影響MTF測(cè)試的實(shí)時(shí)性。

表1列出了L=20，T=0.10不同PSF半高寬的遙感器MTF測(cè)試誤差。由表1可知，對(duì)于同一種刃邊法測(cè)量算法，即LSF截?cái)鄥^(qū)間長(zhǎng)度，采樣間隔是相同的，將其應(yīng)用于不同點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)FWHM的遙感器MTF測(cè)量時(shí)，F(xiàn)WHM越大，相對(duì)誤差e越大。

表1 L=20，T=0.10不同PSF半高寬的遙感器MTF測(cè)試誤差Tab.1 L=20，T=0.10 MTF measurement error of different sensors

因此，對(duì)于同一誤差要求，F(xiàn)WHM越大的遙感器，LSF截?cái)鄥^(qū)間長(zhǎng)度L的選擇應(yīng)該越長(zhǎng)，采樣間隔T應(yīng)該越小。為規(guī)范化截?cái)嚅L(zhǎng)度、采樣間隔的選擇，我們作如下考慮：一般遙感器FWHM要小于2個(gè)像元，CBERS-02B衛(wèi)星WFI相機(jī)紅外波段跨軌方向FWHM為1.18個(gè)像元，沿軌方向FWHM為1.16個(gè)像元，HJ衛(wèi)星CCD相機(jī)沿軌方向FWHM為1.+2個(gè)像元；FWHM過大，將導(dǎo)致相機(jī)空間分辨率的降低，如我國(guó)的CBERS-02衛(wèi)星上的CCD相機(jī)，雖然空間分辨率高于TM的分辨率，但其目視效果及信息含量卻不如TM[20]。這里考慮FWHM為2個(gè)像元時(shí)的極限情形，相對(duì)誤差e隨截?cái)嚅L(zhǎng)度L、采樣間隔T的變化，如圖7所示；圖8給出相對(duì)誤差e＜0.2%時(shí)，對(duì)截?cái)嚅L(zhǎng)度、采樣間隔的要求，紅色陰影部分是連續(xù)分布的區(qū)域，其中任何一點(diǎn)都滿足相對(duì)誤差小于0.2%；此區(qū)域?yàn)殡A梯型，減小采樣間隔可以降低對(duì)截?cái)嚅L(zhǎng)度的要求，增大截?cái)嚅L(zhǎng)度，可以減小對(duì)采樣間隔的要求。折中取值，取L＞120個(gè)像元，T＜0.04個(gè)像元。同樣方法，得到不同誤差對(duì)于截?cái)嚅L(zhǎng)度和采樣間隔的要求，如表2。

表2 不同誤差對(duì)于截?cái)嚅L(zhǎng)度和采樣間隔的要求Tab.2 The requirement of length truncation and sampling interval for different error

4 結(jié)束語

本文以采樣理論為基礎(chǔ)，分析了快速傅里葉變換的近似計(jì)算將導(dǎo)致刃邊法測(cè)試光學(xué)遙感相機(jī) MTF誤差，誤差來源主要兩方面：線擴(kuò)展函數(shù)截?cái)鄥^(qū)間長(zhǎng)度和采樣間隔；然后對(duì)理論分析進(jìn)行了仿真校驗(yàn)，得出以下結(jié)論：

1）MTF測(cè)試誤差隨線擴(kuò)展函數(shù)截?cái)鄥^(qū)間長(zhǎng)度的增加單調(diào)減小，隨采樣間隔的減小波動(dòng)性地減??；

2）不需要實(shí)時(shí)性測(cè)量MTF時(shí)，要根據(jù)處理器的性能，選擇足夠長(zhǎng)的截?cái)鄥^(qū)間和足夠小的采樣間隔會(huì)使快速傅里葉變換引起的誤差降低；

3）需要實(shí)時(shí)性測(cè)量遙感器MTF時(shí)，過大的采樣間隔與過小的截?cái)鄥^(qū)間將帶來計(jì)算量的激增，若截?cái)鄥^(qū)間增加k1倍，采樣間隔減小k2倍，則計(jì)算量增加將k1k2倍，計(jì)算量的增加將影響MTF測(cè)試的實(shí)時(shí)性；

4）同一種刃邊測(cè)量算法，應(yīng)用于不同的遙感器，點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)半高寬越大，F(xiàn)FT導(dǎo)致的測(cè)量誤差越大；

5）針對(duì)不同誤差要求，給出了合理的采樣間隔、截?cái)鄥^(qū)間要求，規(guī)范了快速傅里葉變換在刃邊法測(cè)量光學(xué)遙感相機(jī)MTF中的應(yīng)用。

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Effect of FFT on Knife–edge Measurements of MTF

WANG Hao WANG Huaiyi LIAN Minlong

（Beijing Institute of Space Mechanics & Electricity, Beijing 100094, China）

Modulation transfer function (MTF) is an important parameter for imaging quality of optical remote sensor. Knife-edge method is simple and effective for measuring MTF. Fast Fourier transform has been widely applied in this method because of its less calculation. Fast Fourier transform is only used to deal with finite length of digital signal, however, line spread function is an infinite and continuous signal in the spatial domain. So it is necessary to truncate and sample the line spread function. But truncation causes spectrum leakage and sampling causes spectrum aliasing. All these result in the error of MTF measurement. Based on the theory of sampling, this paper analyses the influence of length truncation and sampling interval on MTF. According to different applications and error requirements, the reasonable length truncation and resampling interval are given, and normalize the applications of fast Fourier transform in knife-edge method, are normalized.

modulation transfer function; fast fourier transform; knife-edge method; length truncation; sampling interval; space camera

V443.5；TB871

: A

: 1009-8518(2017)01-0061-08

10.3969/j.issn.1009-8518.2017.01.009

王浩，男，1988年生，2012年獲魯東大學(xué)通信工程專業(yè)學(xué)士學(xué)位，現(xiàn)為中國(guó)空間技術(shù)研究院光學(xué)工程專業(yè)在讀碩士研究生。研究方向?yàn)榭臻g光學(xué)遙感器總體設(shè)計(jì)。E-mail: 252870495@qq.com。

（編輯：王麗霞）

2016-04-19