王超新，劉興天，張志誼

(1.上海交通大學(xué) 振動、沖擊、噪聲研究所,上海 200240； 2.上海交通大學(xué) 機(jī)械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室,上海 200240;3.上海衛(wèi)星工程研究所,上海 200240)

基于立方體STEWART的微振動主動控制分析與實驗

王超新1,2，劉興天3，張志誼1,2

(1.上海交通大學(xué) 振動、沖擊、噪聲研究所,上海 200240； 2.上海交通大學(xué) 機(jī)械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室,上海 200240;3.上海衛(wèi)星工程研究所,上海 200240)

采用立方體結(jié)構(gòu)隔振平臺，它具有各向同性以及軸向運動解耦等特點。對立方體Stewart平臺分別進(jìn)行運動學(xué)和動力學(xué)分析，獲得桿長與平臺姿態(tài)的雅克比矩陣，揭示平臺振動傳遞特性。采用壓電疊堆為主動控制單元，設(shè)計立方體Stewart主動隔振平臺，并通過實驗測定平臺主動桿在5～120 Hz頻帶內(nèi)的輸出特性，通過實測數(shù)據(jù)修正理論分析得到的雅克比矩陣。結(jié)合Fx-LMS主動控制算法，對基礎(chǔ)干擾進(jìn)行主動抑制，實驗結(jié)果表明，在5～120 Hz范圍內(nèi)，對于單頻干擾，平臺可實現(xiàn)30 dB抑制效果。

微振動；立方體Stewart平臺；主動隔振；雅克比矩陣；Fx-LMS

航天器上的微振動對太空對地觀測、激光通信有著重要的影響[1]。六自由度Stewart平臺廣泛應(yīng)用于精密系統(tǒng)的振動隔離，但是平臺的六桿運動是耦合的，使Stewart平臺的運動學(xué)和動力學(xué)變得比較復(fù)雜。立方體結(jié)構(gòu)的Stewart平臺不僅可簡化控制算法、實現(xiàn)控制器的解耦和載荷平臺的精確定位，也可簡化運動學(xué)和動力學(xué)的計算以及機(jī)械結(jié)構(gòu)設(shè)計[2]。Stewart平臺根據(jù)支腿剛度主要分為兩大類，即剛性與柔性。典型的剛性設(shè)計通常使用壓電陶瓷材料作為作動器，而柔性設(shè)計中，則通常使用音圈線圈并聯(lián)彈簧的設(shè)計[3]。

GENG[4]提出了一種基于Stewart平臺的主動隔振方案，采用魯棒自適應(yīng)濾波算法對單頻振動進(jìn)行抑制。RAHMAN[5]提出一種正交六桿結(jié)構(gòu)，采用主動控制來抑制空間觀測系統(tǒng)的振動，并對其姿態(tài)進(jìn)行調(diào)整。實驗結(jié)果表明，相對于被動方案，主動控制在10～100 Hz可實現(xiàn)額外的振動衰減。COBB等[6]發(fā)明了一種基于混合隔振機(jī)構(gòu)的六桿平臺來隔離和抑制振動。這套方案主要提高被動隔振在低頻段的性能并且使載荷平臺具備調(diào)姿功能。HANIEH等[7]設(shè)計了一種帶阻尼柔性結(jié)構(gòu)的六自由度Stewart平臺，實現(xiàn)隔振和調(diào)姿功能。LI等[8]基于Stewart平臺提出了一種非線性模型的SHARF算法，并對部分單頻干擾獲得了30 dB的衰減。MCINROY等[9]提出了一種新的分析算法來計算正交Gough-Stewart 平臺(OGSPs)，這種新的算法簡化了單點OGSP公式對于平臺運動學(xué)的研究有很大幫助。HAN等[10]利用Newton-Euler公式對立方體結(jié)構(gòu)的六自由度平臺進(jìn)行了動力學(xué)建模，并給出六自由度混合隔振平臺的頻域特性。在以上文獻(xiàn)中，運動學(xué)和動力學(xué)建模并不詳細(xì)，而且實驗主要集中在單頻單向振動的衰減。在實驗?zāi)Ｐ椭?，Stewart平臺作動器的輸出一致性未得到驗證，并且計算雅克比矩陣也未被校正。

本文結(jié)構(gòu)如下：第一節(jié)主要推導(dǎo)立方體Stewart平臺的運動學(xué)并給出雅克比矩陣；第二節(jié)描述了立方體Stewart平臺的動力學(xué)模型；第三節(jié)利用建立的動力學(xué)模型對Stewart平臺進(jìn)行主動隔振仿真；第四節(jié)詳細(xì)描述Stewart平臺的主動控制實驗；第五節(jié)是立方體Stewart平臺主動隔振方案總結(jié)。

1 立方體Stewart平臺運動學(xué)分析

Stewart平臺運動學(xué)有兩個出發(fā)點：正解和反解。運動學(xué)反解是已知負(fù)載平臺位姿即位置參量(x,y,z) 和旋轉(zhuǎn)參量(α,β,γ),求解平臺六個支腿的長度，也是本文的出發(fā)點。正解問題是已知六個腿長求解負(fù)載平臺位姿。

Stewart平臺姿態(tài)描述普遍采用歐拉角，建立在笛卡爾坐標(biāo)系基礎(chǔ)上，按一定順序選取三個坐標(biāo)軸連續(xù)做三次旋轉(zhuǎn)。歐拉角坐標(biāo)如圖1所示，坐標(biāo)系o-xyz依次逆時針繞x軸、y′軸和z軸旋轉(zhuǎn)角度α,β和γ，途經(jīng)坐標(biāo)系o-xy′z′和o-x′y′Z，最終到坐標(biāo)系o-XYZ。每一次旋轉(zhuǎn)都可通過二維余弦矩陣計算坐標(biāo)變換關(guān)系。因此，坐標(biāo)系o-XYZ和o-xyz中的矢量可以通過方向余弦矩陣R計算。旋轉(zhuǎn)矩陣R為

(1)

由于平臺轉(zhuǎn)角很小，近似將歐拉角看成是繞x,y和z軸的旋轉(zhuǎn)角度。

圖1 歐拉角坐標(biāo)Fig.1 The Euler angles

如圖2所示，在負(fù)載平臺和基礎(chǔ)選擇Op和Ob作為參考點，并以其分別建立笛卡爾坐標(biāo)系P和B。B是固定坐標(biāo)系，其它坐標(biāo)都可表示在B下的矢量。t表示從B原點Ob到P原點Op的矢量，t=(x,y,z)，P相對B的歐拉角θ=(α,β,γ)。設(shè)從Op到負(fù)載平臺各支腿的連接點矢量為pi,從Ob到基礎(chǔ)各支腿的連接點矢量為bi,Stewart平臺的六個支腿軸線方向矢量為Si(i=1,2,3,4,5,6),可由下式表示

圖2 負(fù)載平臺和基礎(chǔ)坐標(biāo)建立Fig.2 The coordinate systems of the base and payload

Si=Rpi+t-bi

(2)

式中支腿長度

(3)

各支腿的單位矢量可寫成

(4)

(5)

各支腿滑動速度[11]為

(6)

雅克比矩陣可寫為

(7)

立方體平臺俯視圖如圖3所示，圖中建立和實驗相同的坐標(biāo)系，垂直于紙面方向為z軸，x和y軸在圖中標(biāo)出，同時標(biāo)出6個桿的位置和標(biāo)號。

圖3 立方體平臺結(jié)構(gòu)俯視圖Fig.3 Top view of Stewart

分別以基礎(chǔ)和負(fù)載平臺的幾何中心為原點，建立靜坐標(biāo)系Ob-xyz和動坐標(biāo)系Op-xyz，其中Ob-xyz的x和y軸方向與Op-xyz一致。這樣，旋轉(zhuǎn)矩陣R為單位矩陣，t=(0,0,Zr)。Zr為上下平臺在z軸上的距離。b12，b34，b56為支腿下端在Ob-xyz的坐標(biāo)，p16，p23，p45為支腿上端在Op-xyz的坐標(biāo)。根據(jù)式(7)可得立方體Stewart的雅克比矩陣

圖4 結(jié)構(gòu)實物圖Fig.4 The experimenatal model of Stewart

(8)

2 立方體Stewart平臺動力學(xué)分析

Stewart平臺隔振中各桿位移微小，動力學(xué)建模時可假設(shè)雅克比矩陣J不變。主動桿與負(fù)載平臺、基礎(chǔ)的力主要集中在桿的軸線方向，可不考慮垂直于桿的力。

假設(shè)負(fù)載平臺和基礎(chǔ)為剛體，根據(jù)虛功原理，主動桿虛功為

W=fTδq=fTJδχ

(9)

式中:f表示負(fù)載平臺對主動桿的力;δq為主動桿虛位移;W表示虛功。載荷虛功為

(10)

式中:F為負(fù)載平臺所受力;T為負(fù)載平臺所受扭矩;δχ為負(fù)載平臺廣義虛位移。進(jìn)一步可得負(fù)載平臺所受廣義力和主動桿對負(fù)載平臺作用力的關(guān)系：

(11)

根據(jù)Newton-Euler公式可得：

(12)

式(12)揭示6桿主動控制力和負(fù)載平臺姿態(tài)的關(guān)系。其中，Mp為質(zhì)量矩陣，Ip為轉(zhuǎn)動方向的轉(zhuǎn)動慣量，w×IPw很小，可忽略不計。式(12)可以寫為

(13)

u=Jχ

(14)

式中:u是基礎(chǔ)固定，負(fù)載平臺自由時，主動桿長度變化六維向量。χ是負(fù)載平臺的姿態(tài)描述向量，J是負(fù)載平臺的雅克比矩陣。同理可寫出六桿和基礎(chǔ)的運動學(xué)關(guān)系，即

d=J′χ′

(15)

式中:d是負(fù)載平臺固定，基礎(chǔ)自由時，主動桿長度的變化向量，χ′是基礎(chǔ)的姿態(tài)描述向量，J′是基礎(chǔ)的雅克比矩陣。

考慮到系統(tǒng)的剛度和阻尼，可得：

(16)

式中：f是控制力，k為單根桿軸線方向的剛度，c為單根桿軸線方向的阻尼，由于采用立方體結(jié)構(gòu)，每個桿布置是一致的，所以每根桿的剛度和阻尼是一樣。

綜合前式可得：

(17)

3 立方體Stewart平臺控制仿真

(18)

圖5 周期干擾的自適應(yīng)控制原理圖Fig.5 The adaptive control diagram

仿真Stewart平臺對單頻激勵的隔振性能。Stewart結(jié)構(gòu)和仿真參數(shù)如下，負(fù)載平臺質(zhì)量m是3.5 kg，轉(zhuǎn)動慣量Ix,Iy和Iz分別為0.89 kg·m2，0.89 kg·m2和0.27 kg·m2, 每個壓電棒的剛度為1×107N/m，阻尼比為0.008。根據(jù)動力學(xué)式可知，壓電棒到負(fù)載平臺力和速度的頻響函數(shù)，基礎(chǔ)到負(fù)載平臺速度和速度的頻響函數(shù)。單頻干擾頻率為50 Hz，激勵速度幅值為2 mm/s,自適應(yīng)權(quán)值數(shù)4個，無控制時負(fù)載平臺響應(yīng)1.3 mm/s, 有控制為3.35×10-2mm/s,有無控制結(jié)果,如圖6所示。

圖6 單頻干擾有無控制對比Fig.6 Responses of Stewart under tonal disturbances

掃頻激勵干擾頻率范圍為25～30 Hz，幅值為1 mm/s,有200個權(quán)值，控制系統(tǒng)的采樣頻率為400 Hz。無控制時負(fù)載平臺響應(yīng)為0.675 mm/s,有控制時為0.116 mm/s，有無控制結(jié)果如圖7所示[14]。

4 立方體Stewart平臺實驗

測試立方體Stewart平臺對微振動的主動隔振性能，首先進(jìn)行背景振動測試，確實其是否適合進(jìn)行微振動實驗，然后測試隔振平臺6個壓電棒的增益，接著通過壓電棒控制輸入來校正壓電棒與隔振平臺雅克比矩陣，最后測試隔振平臺在單頻激勵干擾下主動控制性能。

圖7 掃頻干擾有無控制對比Fig.7 Responses of Stewart under random disturbances

4.1 實驗原理與背景振動

實驗原理如圖8所示，數(shù)據(jù)采集儀器(LMS)主要用于采集平臺各方向的振動信號，同時也用于微振動干擾源的信號頻率和幅值的控制。加速度計信號先通過電荷放大器調(diào)理，然后分別由數(shù)據(jù)采集儀器和上位機(jī)接受，上位機(jī)對控制目標(biāo)信號進(jìn)行處理，并通過NI控制板卡發(fā)出控制信號，經(jīng)過濾波器和功率放大器，控制隔振平臺6個壓電棒產(chǎn)生動作。為了更好地隔離來自地面的振動，整個實驗平臺放到一個裝滿細(xì)沙的長方體玻璃容器中，同時在容器下端放置了橡膠減震器。

圖8 Stewart平臺實驗原理圖與實驗圖Fig.8 The experimental platform

平臺上的背景振動小于10 ug，如圖9所示，振動加速度RMS最大值為4.11 ug。PSD最大值出現(xiàn)在12 Hz，為57.3 ug2/Hz。實驗中的振動量級為mg，微振動實驗有足夠的信噪比。

圖9 背景振動時域與PSD測試結(jié)果Fig.9 The test results of background vibration

4.2 隔振平臺6個壓電棒的增益與雅克比矩陣修正

主動控制需要測試每個壓電棒到負(fù)載平臺的頻響函數(shù)。由于采用立方體Stewart平臺，每個主動桿桿長相同，到負(fù)載平臺中心距離相同，因此，在負(fù)載平臺中心處放置一個加速度傳感器，測試每個桿到此加速度傳感器的各向特性，以此來獲得各主動桿和其輸入電壓的對應(yīng)關(guān)系。

對6個壓電棒進(jìn)行頻響函數(shù)測試，以有效值為0.3 V、頻帶為1～128 Hz的電壓信號作為控制輸入和參考。如圖10所示，圖中6條頻響函數(shù)曲線從20～120 Hz范圍內(nèi)具有良好的相似性，唯一的差別是增益，但是從120 Hz開始，頻響函數(shù)的一致性較差，主要原因是壓電棒聯(lián)接或者平臺空間結(jié)構(gòu)非嚴(yán)格對稱導(dǎo)致6個壓電棒的作用力并不完全一致，高頻特性尤其如此。

圖10 6個壓電棒到上平臺中心處的頻響函數(shù)Fig.10 The FRF of each strut

桿的伸長量和上平臺6個方向的運動關(guān)系的如式7所示，但是此式為理論計算，由于實際系統(tǒng)參數(shù)和結(jié)構(gòu)不嚴(yán)格一致或?qū)ΨQ，理論上的單一方向運動參數(shù)需要修正。這里單一方向運動定義為主方向振動遠(yuǎn)高于其它方向振動，有15 dB以上的差別。以有效值為0.1 V的電壓信號作為輸入和參考，偏置電壓取8 V。由圖11可見，在20～120 Hz范圍內(nèi)，z方向的運動比較顯著，但系統(tǒng)在66 Hz處有個小模態(tài)，導(dǎo)致各個方向運動的區(qū)分度降低。參考值為1 m/s-2/V，表1給出了三個平動和一個轉(zhuǎn)動方向的Jacobi矩陣的修正。

圖11 z方向的純運動Fig.11 Pure vibration in the z directions

表1 修正的Jacobi矩陣Tab.1 Refined Jacobi matrix

4.3 隔振平臺對z方向振動控制實驗

對于立方體Stewart隔振平臺的主動控制實驗，本文著重描述對于z方向在單頻干擾下的控制效果。選取代表性的單頻激勵下控制端有無控制對比結(jié)果說明主動控制的有效性。如圖12所示:20 Hz對應(yīng)的有無控制對比圖，從圖上可明顯看出對于單一頻率主峰，有很好的抑制效果，同時在全頻帶范圍內(nèi)對于其他峰值并無明顯放大，具體數(shù)值如表2所示。從表中可以看到，對于低頻5 Hz處，該平臺也有一定的控制效果，但是由于6個桿在低頻輸出一致性的差別，導(dǎo)致控制性能下降。

圖12 20 Hz激勵下控制端有無控制振動

Fig.12 Comparison of velocity response under 20 Hz with and w/o control

表2 不同頻率激勵下基礎(chǔ)和控制端振動衰減

Tab.2 Comparison of velocity response under tonal disturbances with and w/o control

頻率/Hz57206090無控制-97.19-90.95-78.69-77.55-78.38有控制-110.03-105.93-109.22-109.481-109.15衰減/dB12.8414.9830.5331.9330.77

4.4 隔振平臺對轉(zhuǎn)角方向振動控制實驗

對于轉(zhuǎn)角方向振動測試，主要是通過圖8中4號加速度傳感器。掃頻設(shè)置采樣頻帶為0～128 Hz，頻帶線譜數(shù)量4 096根，總掃頻時間32 s。第一組掃頻激勵的頻率為25～30 Hz，每一個整數(shù)頻率點的停留時間大約為6.4 s，整個時間弦軸上控制效果RMS值衰減為7.5 dB的衰減，實驗結(jié)果如圖13(a)所示；第二組掃頻激勵頻率60～65 Hz，實驗結(jié)果如圖13(b)所示，控制后時域RMS值衰減10.43 dB。

(a)

(b)

5 總 結(jié)

本文對立方體Stewart平臺運動學(xué)和動力學(xué)進(jìn)行了建模和分析，并采用基于自適應(yīng)主動控制算法對隔振平臺進(jìn)行仿真。通過立方體Stewart平臺實驗，獲得了6個壓電棒輸出特性并對理論雅可比矩陣進(jìn)行修正，在此基礎(chǔ)上，對平臺主振方向的單頻和掃頻干擾施加主動控制，取得了良好的控制效果，與控制仿真結(jié)果一致。

[1] LIU C, JING X, DALEY S, et al.Recent advances in micro-vibration isolation[J].Mechanical Systems and Signal Processing, 2015, 56: 55-80.

[2] PU H, LUO X, JIANG W, et al.Modelling and control of hybrid vibration isolation system for high-precision equipment[C]//Control and Automation (ICCA), 2010 8th IEEE International Conference on.IEEE, 2010: 2152-2157.

[3] THAYER D, CAMPBELL M, VAGNERS J, et al.Six-axis vibration isolation system using soft actuators and multiple sensors[J].Journal of Spacecraft and Rockets, 2002, 39(2): 206-212.

[4] GENG Z J, HAYNES L S.Six degree-of-freedom active vibration control using the Stewart platforms[J].Control Systems Technology, IEEE Transactions on, 1994, 2(1): 45-53.

[5] RAHMAN Z H, SPANOS J T, LASKIN R A.Multiaxis vibration isolation, suppression, and steering system for space observational application[C]//Astronomical Telescopes & Instrumentation.International Society for Optics and Photonics, 1998: 73-81.

[6] COBB R G, SULLIVAN J M, DAS A, et al.Vibration isolation and suppression system for precision payloads in space[J].Smart Materials and Structures, 1999, 8(6): 798.

[7] HANIEH A A, PREUMONT A, LOIX N.Piezoelectric Stewart platform for general purpose active damping interface and precision control[J].European Space Agency-Publications-Esa sp, 2001, 480: 331-334.

[8] LI C, MAO J.Active vibration control under the actuator with magnetic hysteresis loop[C]//Control and Automation, 2005.ICCA’05.International Conference on.IEEE, 2005, 2: 914-918.

[9] MCINROY J E, JAFARI F.Finding symmetric orthogonal Gough-Stewart platforms[J].Robotics, IEEE Transactions on, 2006, 22(5): 880-889.

[10] HAN P, Wang T, WANG D H.Modeling and control of a Stewart platform based six-axis hybrid vibration isolation system[C]//Intelligent Control and Automation, 2008.WCICA 2008.7th World Congress on.IEEE, 2008: 1613-1618.

[11] 徐鵬.六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu) Stewart 平臺的動力學(xué)建模與仿真[D].重慶: 重慶大學(xué), 2005.

[12] ZHANG Z, HU F, WANG J.On saturation suppression in adaptive vibration control[J].Journal of Sound and Vibration, 2010, 329(9): 1209-1214.

[13] HU F, CHEN Y, ZHANG Z, et al.Tonal vibration suppression with a model-free control method[J].Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part M: Journal of Engineering for the Maritime Environment, 2012, 226(4): 360-370.

[14] ZHANG Z Y, HU F, HUA H X.Simulation and experiment on active vibration isolation with an adaptive method[J].Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part M: Journal of Engineering for the Maritime Environment, 2010, 224(3): 225-238.

Micro-vibration active control for a Stewart platform with a cubic configuration

WANG Chaoxin1,2, LIU Xingtian3, ZHANG Zhiyi1,2

(1.Institute of Vibration, Shock and Noise, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240, China;2.State Key Laboratory of Mechanical Systems and Vibration, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240, China; 3.Institute of Satellite Engineering in Shanghai, Shanghai, 200240, China)

A Stewart platform with a cubic configuration was developed having uniformity of stiffness and a control capability in all directions, and a simplified mechanical design.Its kinematic and dynamic analyses were conducted to obtain Jacobian matrix relating the extension of the piezo actuator to 6-DOF of the top plate and to reveal its characteristics of vibration transmissibility.Taking a piezoelectric stack as an active control element, the platform was designed.Tests were performed to measure the output characteristics of the active bar of the platform within the frequency band of 5 Hz to 120 Hz and Jacobian matrix obtained with theoretical analysis was modified with test data.Fx-LMS algorithm was adopted to actively suppress the foundation disturbances.The results showed that within the range of 5 Hz to 120 Hz, the platform is able to achieve 30 dB attenuation effect under a single frequency disturbance.

micro-vibration; Stewart platform with a cubic configuration; active isolation; Jacobian matrix; Fx-LMS

2015-07-23 修改稿收到日期：2016-02-19

王新超 男,博士生,1989年8月生

張志誼 男,博士,教授,1970年11月生

TH535.1

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.05.033