楊 甲 山

(1.梧州學院 信息與電子工程學院， 廣西 梧州 543002; 2.梧州學院 復雜系統(tǒng)仿真與智能計算實驗室， 廣西 梧州 543002)

二階Emden-Fowler型非線性變時滯微分方程的振蕩準則

楊 甲 山1,2

(1.梧州學院 信息與電子工程學院， 廣西 梧州 543002; 2.梧州學院 復雜系統(tǒng)仿真與智能計算實驗室， 廣西 梧州 543002)

研究了一類具有變時滯的二階Emden-Fowler型非線性中立型泛函微分方程的振蕩性. 借助Riccati變換、積分平均技術和微分不等式等技巧，獲得了該類方程振蕩的新判別準則和比較判別定理，推廣、改進并豐富了現(xiàn)有文獻中的結果.

振蕩性；變時滯；泛函微分方程；Riccati變換

近來，中立型變時滯泛函方程的振蕩性研究引起了國內(nèi)外學者的廣泛興趣[1-25]. 本文考慮如下形式的二階非線性中立型變時滯微分方程

[a(t)φ1(z′(t))]′+q(t)f(φ2(x(δ(t))))=0，t≥t0

(1)

的振蕩性.式(1)中，z(t)=x(t)+p(t)x(τ(t)),φ1(u)=|u|λ-1u,φ2(u)=|u|β-1u(λ>0,β>0為實常數(shù))；而函數(shù)a,p,q∈C([t0,+∞),R)；函數(shù)f∈C(R,R)，當u≠0且uf(u)>0時，有

(H1)a∈C1([t0,+∞),(0,+∞))，且q(t)>0，p(t)≥0.

(H3) 存在常數(shù)L>0使得當u≠0時，f(u)/u≥L.

若函數(shù)x(t)滿足a(t)φ1(z′(t))∈C1([Tx,+∞),R)且在區(qū)間[Tx,+∞)上滿足方程(1)，則稱函數(shù)x(t)∈C1([Tx,+∞),R)(Tx≥t0)是方程(1)的一個解. 本文只討論方程(1)的非平凡解. 若方程(1)的解x(t)既不最終為正也不最終為負，則稱解x(t)是振蕩的，否則是非振蕩的；若方程(1)的所有解都是振蕩的，則稱方程是振蕩的.

{a(t)|[x(t)+p(t)x(τ(t))]′|β-1× [x(t)+p(t)x(τ(t))]′}′+q(t)|x(δ(t))|γ-1x(δ(t))=0

(E)

的振動性，得到了方程(E)的若干振動準則，推廣、改進并豐富了現(xiàn)有的一些結果. 但文獻[14]有限制條件“a′(t)≥0且0≤p(t)<1”，而且當β<λ時沒有得到方程(E)的振動準則. 筆者將在條件

(2)

成立的情況下研究方程(1)的振蕩性，建立了方程(1)振蕩的一個較為精準的判別準則和比較判別定理，改善了對中立項系數(shù)函數(shù)的限制條件0≤p(t)<1，去掉了條件a′(t)≥0,且β>γ和β<λ2種情形均有方程的振蕩準則, 所得準則在β=λ的特殊情形下推廣并改進了現(xiàn)有文獻中的一系列結果.

引理1[18]設X,Y為非負實數(shù),則

(1)當0<λ≤1時，Xλ+Yλ≥(X+Y)λ,當且僅當X=Y時等號成立.

(2)當λ>1時，Xλ+Yλ≥21-λ(X+Y)λ,當且僅當X=Y時等號成立.

1 主要結果及其證明

為了敘述方便，引入下列3個記號：

Q(t)=min{q(t),q(τ(t))}，

φ+(t)=max{0,φ(t)}，

定理1 設條件(2)成立且0≤p(t)≤p0<+∞(p0為常數(shù))，如果存在函數(shù)φ∈C1([t0,+∞),(0,+∞))使得當λ≤β時，有

(3)

當λ>β時，有

(4)

證明 反證法.設方程(1)存在一個非振蕩解x(t)，不妨設x(t)為最終正解(當x(t)為最終負解時類似可證)，則?t1≥t0，使得當t≥t1時，有x(t)>0，x(τ(t))>0，x(δ(t))>0，于是由z(t)的定義知，z(t)>0且(t≥t1).由方程(1)得

[a(t)φ1(z′(t))]′=-q(t)f(φ2(x(δ(t))))≤

-Lq(t)(x(δ(t)))β<0，

(5)

注意到條件(2)，于是由式(5)不難推出z′(t)>0(t≥t1).應用式(5)，當t≥t1時，有

Lq(τ(t))(x(δ(τ(t))))β≤0，

(6)

于是，綜合式(5)及(6)，當t≥t1時，可得

[a(t)φ1(z′(t))]′+Lq(t)(x(δ(t)))β+

當0<β≤1時，注意到τ′(t)≥τ0>0，τ°δ=δ°τ及z(t)≤x(t)+p0x(τ(t))以及引理1，則上式可進一步寫成

-LQ(t)[x(δ(t))+p0x(δ(τ(t)))]β≤

-LQ(t)zβ(δ(t))≤0.

當β>1時，注意到引理1，類似地，有

-L21-βQ(t)[x(δ(t))+p0x(δ(τ(t)))]β≤

-L21-βQ(t)zβ(δ(t))≤0.

-L0Q(t)zβ(δ(t))≤0.

(7)

考慮到γ和β的取值范圍，下面分2種情形進行討論.

情形1λ≤β.

做Riccati變換：

(8)

則w(t)>0(t≥t1)，注意到τ′(t)≥τ0>0，由式(8)有

(9)

由z(t)>0，z′(t)>0知，存在常數(shù)η>0使得當t≥t1時，有z(τ(t))≥η.于是，綜合式(9)和(8)，并注意到引理2的不等式，得

(10)

再做Riccati變換：

(11)

則v(t)>0(t≥t1)，類似于上面的推導過程，可得

(12)

綜合式(10)和(12)，并注意到式(7)及z′(t)>0，有

(13)

由式(5)知，a(t)[z′(t)]λ(t≥t1)是單調(diào)減小的，因此有

即

(14)

將式(14)代入式(13)，得

于是有

與式(3)矛盾.

情形2λ>β.

(15)

再做如式(11)所示的Riccati變換，與式(12)的推導過程類似，可得

(16)

綜合式(15)、(16)，z′(t)>0及式(7)和(14)，可得

-L0φ(t)Q(t)Ψβ(t,t1)+

因此，

與式(4)矛盾. 定理證畢.

定理2 設條件(2)成立，并且0≤p(t)≤p0<+∞(p0為常數(shù))，如果一階微分不等式

yβ/λ(δ(t))≤0

(17)

證明 反證法：設方程(1)存在一個非振蕩解x(t)，不妨設x(t)為最終正解(當x(t)為最終負解時類似可證)，則?t1≥t0，使得當t≥t1時，有x(t)>0，x(τ(t))>0，x(δ(t))>0. 由定理1的證明知，式(7)成立，于是由式(7)得

(18)

由于當t≥t1時,z′(t)>0，[a(t)φ1(z′(t))]′=[a(t)(z′(t))λ]′<0，所以當t≥s≥t1時，有a(t)(z′(t))λ≤a(s)(z′(s))λ，即a1/λ(s)z′(s)≥a1/λ(t)z′(t)，因此

a1/λ(t)z′(t)[θ(t)-θ(t1)]，

由式(18)并記y(t)=a(t)(z′(t))λ，于是可得

L0Q(t)aβ/λ(δ(t))(z′(δ(t)))β[θ(δ(t))-θ(t1)]β=

θ(t1)]βyβ/λ(δ(t))，

表明y(t)是式(17)的一個正解，矛盾. 定理證畢.

注1 顯然, 本文給出了一類非常廣泛的二階Emden-Fowler泛函微分方程(1)振蕩的2個判別準則，改善了現(xiàn)有研究(如文獻[14])對中立項系數(shù)函數(shù)的限制條件：0≤p(t)<1. 從定理1可看出，λ>β和λ<β方程的振蕩條件是有差別的. 此外，從以下例子還可以看出，本文結果的特殊情形即定理1中當λ=β且p0=1時，其振蕩結果也是較“精細的”，這些結果推廣、改進并豐富了現(xiàn)有文獻的結論.

2 實例分析

例1 對常數(shù)q0>0，考慮二階時滯微分方程

(E1)

由文獻[11]定理2.1知，當q0>1.25時方程(E1)是振蕩的. 因此，本文定理1不僅包括了文獻[11]中的定理2.1，而且改進了文中的相關定理.

例2 考慮二階泛函微分方程

(E2)

取f(u)=u[1+ln(1+u4)]，由于

顯然條件(H1)～(H3)全部滿足. 又因為

取φ(t)=1，則

定理1的條件均滿足，故由定理1知，方程(E2)是振蕩的.

注3 由于方程(E2)的中立項系數(shù)函數(shù)p(t)>1,λ≠β且不滿足a′(t)≥0，因此文獻[1-8,11-19]中的定理均不能用于方程(E2). 值得注意的是,本文定理條件(H2)中要求τ°δ=δ°τ, 因此當τ°δ≠δ°τ時,尋找新的技術手段來研究方程(1)的振蕩性, 這將是非常有意義的事情.

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YANG Jiashan1，2

(1.SchoolofInformationandElectronicEngineering,WuzhouUniversity,Wuzhou543002,GuangxiZhuangAutonomousRegion,China; 2.LaboratoryofComplexSystemsSimulationandIntelligentComputing,WuzhouUniversity,Wuzhou543002,GuangxiZhuangAutonomousRegion,China)

The purpose of this article is to study the oscillatory behavior of second-order Emden-Fowler nonlinear neutral functional differential equations with variable delay. By using the Riccati transformation, integral averaging technique and differential inequalities, we established a new oscillation criteria and a comparison theorem for the oscillation of the equations. These criteria dealing with some cases have not been covered by the existing results in the literature.

oscillation; variable delay; functional differential equation; Riccati transformation

2016-03-26.

梧州學院2014年校級科研重大項目(2014A003); 碩士學位授予單位立項建設項目(桂學位[2013]4號);廣西教育廳科研項目(2013YB223).

楊甲山(1963-), ORCID:http://orcid.org/0000-0002-0340-097X, 男, 學士， 教授, 主要從事微分方程的理論與應用研究，E-mail:syxyyjs@163.com.

10.3785/j.issn.1008-9497.2017.02.004

O 175. 7

A

1008-9497(2017)02-144-07

Oscillation criteria of second-order Emden-Fowler nonlinear variable delay differential equations. Journal of Zhejiang University(Science Edition), 2017,44(2):144-149,160