曾寶君+廉春雷

數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的主要功能是梳理知識(shí)結(jié)構(gòu)、查缺補(bǔ)漏、總結(jié)概括主干方法、串聯(lián)規(guī)律形成經(jīng)驗(yàn)等。在復(fù)習(xí)課的教學(xué)活動(dòng)中，教師應(yīng)先借助精準(zhǔn)設(shè)問(wèn)，有序引導(dǎo)學(xué)生梳理知識(shí)結(jié)構(gòu)，促進(jìn)學(xué)生深入交流數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)；然后展示知識(shí)生長(zhǎng)過(guò)程，引領(lǐng)學(xué)生有效串聯(lián)主干知識(shí)與學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，創(chuàng)造情境讓學(xué)生領(lǐng)悟模型變式的內(nèi)在規(guī)律以凸顯數(shù)學(xué)交流的核心價(jià)值，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)交流素養(yǎng)。

“培養(yǎng)初中生數(shù)學(xué)交流素養(yǎng)的方法研究”課題組針對(duì)《相似三角形復(fù)習(xí)》一課（教師B、教師G分別主講），設(shè)計(jì)了四個(gè)話題，并進(jìn)行分組研討和總結(jié)交流：①在知識(shí)結(jié)構(gòu)梳理階段，如何引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)交流形成對(duì)核心知識(shí)與技能的整體認(rèn)識(shí)？②在查缺補(bǔ)漏加深對(duì)核心知識(shí)與技能的掌握階段，如何有效組織學(xué)生通過(guò)討論來(lái)發(fā)現(xiàn)、糾正可能對(duì)概念（性質(zhì)）造成的誤解？③在例題學(xué)習(xí)中，教師如何通過(guò)學(xué)生的交流分析出他們的數(shù)學(xué)思維并把學(xué)生的交流經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行串聯(lián)，引導(dǎo)學(xué)生反芻解題方法？④在幫助學(xué)生將解題經(jīng)驗(yàn)串聯(lián)與拓展階段，怎樣引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自我評(píng)價(jià)，以及學(xué)習(xí)和評(píng)價(jià)他人的解題方法與策略？

教師B和教師G雖然各自獨(dú)立設(shè)計(jì)，但兩份教學(xué)設(shè)計(jì)的理念與做法有不少地方是“英雄所見(jiàn)略同”的。例如：都注重復(fù)習(xí)課上知識(shí)點(diǎn)的梳理，都利用思維導(dǎo)圖引導(dǎo)學(xué)生形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)；都采用階梯式設(shè)問(wèn)分解探究性問(wèn)題的難度；都利用小組合作方式，組織學(xué)生討論問(wèn)題、回答問(wèn)題、展示結(jié)果。對(duì)照數(shù)學(xué)交流素養(yǎng)結(jié)構(gòu)（圖1），可以發(fā)現(xiàn)：采用階梯式設(shè)問(wèn)便于學(xué)生有序“接收數(shù)學(xué)信息”，利用思維導(dǎo)圖有利于學(xué)生概覽“加工數(shù)學(xué)信息”，通過(guò)小組合作搭建交流平臺(tái)，有利于學(xué)生“表達(dá)數(shù)學(xué)看法”和“研討探索數(shù)學(xué)觀點(diǎn)”。下面以這兩節(jié)課為例，著重探討教師在組織學(xué)生開(kāi)展交流活動(dòng)中的重要作用。

一、精準(zhǔn)設(shè)問(wèn)才能有序引導(dǎo)學(xué)生梳理知識(shí)結(jié)構(gòu)

復(fù)習(xí)課的核心功能之一是“理”。對(duì)相似三角形全章的知識(shí)、技能、方法和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行系統(tǒng)梳理、分類和整合，在疏通來(lái)龍去脈、厘清內(nèi)在聯(lián)系的同時(shí)，通過(guò)查缺補(bǔ)漏，才能形成對(duì)核心知識(shí)與技能的整體認(rèn)識(shí)。在該階段，教師只有精準(zhǔn)把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的廣度和深度，才能引導(dǎo)學(xué)生有序思考，提高表達(dá)與交流的針對(duì)性和有效性。

案例1 復(fù)習(xí)導(dǎo)入環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)。

教師B的設(shè)計(jì)：請(qǐng)回顧三角形相似的基礎(chǔ)模型“A型”的分類方法，在下面圖形中畫出“A型”相似的所有示意圖。

教師B給每位學(xué)生發(fā)放了學(xué)案，學(xué)案上呈現(xiàn)上述五個(gè)三角形；同時(shí)，教師B在黑板上也同樣事先畫好這五個(gè)三角形。

教師B的學(xué)生作答：學(xué)生在黑板上板演結(jié)果如圖2-1-1至圖2-5-1。

教師G的設(shè)計(jì)：如圖，在△ABC中，∠C>∠B，D是邊AC上一點(diǎn)，在AB邊上畫出一點(diǎn)E，連接DE，使以A、D、E三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似。

教師G給每位學(xué)生發(fā)放了學(xué)案，學(xué)案上呈現(xiàn)的是圖3；同時(shí)，教師G在黑板上也同樣事先畫好圖3。

教師G的學(xué)生作答：學(xué)生在黑板上的同一個(gè)圖中的板演結(jié)果如圖3-1所示。

學(xué)生作答診斷：教師B的學(xué)生畫出5種圖形，其中圖2-4-1是圖2-3-1的特例，而圖2-2-1與圖2-5-1的畫法則是錯(cuò)誤的。由于教師給出了5個(gè)圖形，學(xué)生潛意識(shí)地認(rèn)為應(yīng)該有5種情況，所以盡量把想到的情況都畫上去；特別是題目條件中并沒(méi)有說(shuō)明邊AB、AC的大小關(guān)系，因此，學(xué)生就生硬地套用分類思想，畫出圖2-2-1與圖2-5-1。教師組織學(xué)生相互點(diǎn)評(píng)作答情況時(shí)，學(xué)生因?qū)?wèn)題的理解不一致，導(dǎo)致交流效果不理想。

教師G在設(shè)計(jì)問(wèn)題時(shí)添加了“∠C>∠B，D是邊AC上一點(diǎn)”的條件限制，因此學(xué)生在同一個(gè)圖形上畫出了三種情況，其中E2是錯(cuò)誤的。教師組織學(xué)生相互點(diǎn)評(píng)作答情況時(shí)，學(xué)生通過(guò)交流很容易排除點(diǎn)E2不符合要求。

改進(jìn)建議：本環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)目的均是采用開(kāi)放性問(wèn)題引出“A”型相似的基本構(gòu)圖。教師B只需要在條件中添加“如圖”（適當(dāng)縮小問(wèn)題廣度，強(qiáng)調(diào)AB>AC），然后將“圖2-2”至“圖2-5”標(biāo)注為“備用圖1”至“備用圖4”（適當(dāng)明確問(wèn)題寬度），并提醒學(xué)生根據(jù)需要選擇備用圖的使用個(gè)數(shù)。這樣修改后，既可以開(kāi)放性地檢查學(xué)生的思維狀況，又可以較快地進(jìn)行思維歸類，還有利于后續(xù)將“A型平行相似”和“A型斜交相似”做更多相似變式。關(guān)于教師G，建議在黑板上畫出2～3個(gè)備用圖，為后續(xù)圖形變式做好準(zhǔn)備（適當(dāng)調(diào)整問(wèn)題的延展性）。

由此可見(jiàn)，師生交流、學(xué)生間的交流可以順暢高效進(jìn)行的關(guān)鍵之一，是教師設(shè)計(jì)的問(wèn)題是否精準(zhǔn)合理。設(shè)問(wèn)適當(dāng)，不僅可以引導(dǎo)學(xué)生順利展開(kāi)思考，還可以使學(xué)習(xí)主線更突出，特別是可以讓課堂寶貴的時(shí)間用于解決更重要的問(wèn)題。

二、直觀感知和邏輯推理并用才能促進(jìn)數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)的深入交流

復(fù)習(xí)課承擔(dān)著“查缺補(bǔ)漏”的重要責(zé)任，當(dāng)學(xué)生作答錯(cuò)誤時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)自我反思、交流、同伴互助等方式認(rèn)識(shí)錯(cuò)誤原因、糾正錯(cuò)誤，這往往比教師點(diǎn)評(píng)印象更深刻。幾何復(fù)習(xí)時(shí)，教師還需要引導(dǎo)學(xué)生注意圖形直觀感知、幾何邏輯推理的相結(jié)合，綜合剖析思維上的困惑或誤區(qū)，并加以更正。

案例2 圖2-2-1的錯(cuò)誤溯源。

教師B、教師G的課堂上，學(xué)生作答都出現(xiàn)了點(diǎn)D位于平行線下方的情況。兩位教師主要采用直觀觀察的方式引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形， 判斷圖2-2-1中∠AED>∠ADE，∠AED>∠C，而∠C>∠B，在這樣的情況下，不可能出現(xiàn)“錯(cuò)位對(duì)應(yīng)”。

但是，這里“通過(guò)觀察得到的∠AED>∠ADE”是基礎(chǔ)的結(jié)論，還是讓學(xué)生有這樣的困惑：是否只能如圖2-3-1一樣過(guò)E點(diǎn)“往上偏”，而不能如圖2-2-1一樣“向下偏”呢？這一直觀思維還需要邏輯推理來(lái)證實(shí)。

可以充分借助學(xué)生的正確答案圖2-1-1來(lái)證明圖2-2-1是錯(cuò)誤的。

如圖2-2-1-1，假設(shè) △ADE∽ACB。過(guò)點(diǎn)E作ED1∥BC交AD于D1，顯然∠1=∠B。

∵ ∠1是△D1DE的一個(gè)外角，

∴ ∠1>∠2；

∵ △ADE∽ACB，

∴ ∠2=∠C；

∵ ∠1=∠B，∠1>∠2，∠2=∠C；

∴ ∠B>∠C。

這與已知∠C>∠B相矛盾，故假設(shè)不成立，即此時(shí)點(diǎn)D不符合要求。

通過(guò)上述邏輯論證，結(jié)合直觀觀察，只有過(guò)E點(diǎn)“向上偏”，才能產(chǎn)生大于∠1的角，從而得到圖2-3-1。這樣，教師通過(guò)適當(dāng)引導(dǎo)，讓學(xué)生在對(duì)他人觀點(diǎn)和自己觀點(diǎn)進(jìn)行評(píng)價(jià)反思的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步拓展、延伸對(duì)數(shù)學(xué)現(xiàn)象的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，從而使數(shù)學(xué)交流更加深刻。

三、展示知識(shí)生長(zhǎng)過(guò)程才能引領(lǐng)學(xué)生有效串聯(lián)主干知識(shí)與學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)

復(fù)習(xí)課不僅要查缺補(bǔ)漏、展現(xiàn)知識(shí)結(jié)構(gòu)，更要體現(xiàn)知識(shí)的生長(zhǎng)過(guò)程，這樣才能讓學(xué)生在知識(shí)系統(tǒng)中有機(jī)構(gòu)建思維通道，掌握問(wèn)題生成、發(fā)展和解決的一般方法。

三角形相似的復(fù)習(xí)課堂上，兩位教師在總結(jié)歸納了“A”型相似模型后，隨后均出示了“X”型相似的基礎(chǔ)模型，再用例題引出“M”型相似模型。這種設(shè)計(jì)雖然將相似三角形的基本圖形變式進(jìn)行了歸納，但對(duì)揭示基本圖形變式之間內(nèi)在關(guān)聯(lián)的強(qiáng)調(diào)不夠，學(xué)生對(duì)這些圖形的認(rèn)識(shí)難免停留在零散層面，不利于學(xué)生運(yùn)用聯(lián)系、動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)整體認(rèn)識(shí)相似三角形，靈活轉(zhuǎn)換、加工各種有效信息。

圖4展示的是三角形相似基礎(chǔ)圖形變式的思維導(dǎo)圖。由“A”型相似的平行相似、斜交相似，演變?yōu)椤癤”型相似的平行相似、斜交相似，再由“X”型相似的平行相似分離公共頂點(diǎn)變形為“M” 型相似的三等銳角、三直角、三等鈍角模型，若能采用幾何畫板動(dòng)態(tài)演示這些基礎(chǔ)圖形的變式過(guò)程，則可以進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)基本圖形變式之間內(nèi)在關(guān)聯(lián)的理解與掌握，完善相似三角形判定方法的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。

四、領(lǐng)悟模型變式的內(nèi)在規(guī)律才能凸顯數(shù)學(xué)交流的核心價(jià)值

復(fù)習(xí)課還有一個(gè)重要價(jià)值，就是對(duì)已學(xué)過(guò)的知識(shí)進(jìn)行綜合研究，不僅要順利地把相似三角形的相關(guān)知識(shí)串聯(lián)起來(lái)形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖，還要善于根據(jù)具體問(wèn)題及時(shí)提取三角形相似的相應(yīng)模型解決問(wèn)題，特別是從陌生情境中準(zhǔn)確識(shí)別三角形相似的基礎(chǔ)模型。這種能力的培養(yǎng)和形成，既需要平日學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的積累，更需要復(fù)習(xí)課上師生之間、學(xué)生之間交流活動(dòng)的集中領(lǐng)悟。

案例3 由“M”型相似模型到“一線三等角”模型。

在圖4中，由“X”型相似變形為“M”型相似，教師需要引導(dǎo)學(xué)生在仔細(xì)觀察的基礎(chǔ)上通過(guò)討論交流，歸納出：這類圖形在保持三角形相似性不變的變換過(guò)程中還有哪些數(shù)量關(guān)系保持不變？學(xué)生通過(guò)相互糾錯(cuò)、交流反思、總結(jié)提煉，可以發(fā)現(xiàn)“M”型相似模型中，相似三角形位于一條直線的同側(cè)，且相似三角形中頂點(diǎn)在同一條直線上的等角所對(duì)的邊夾角也等于等角。因此，這種模型可以稱為“一線三等角”模型。

由“M”型相似模型變形為外“M”型相似模型，教師同樣需要讓學(xué)生在獨(dú)立觀察的基礎(chǔ)上研究，在保持三角形相似性不變的變換過(guò)程中還有哪些數(shù)量關(guān)系保持不變？外“M”型相似模型是否可以由三直角變形為三等銳角、三等鈍角？學(xué)生通過(guò)獨(dú)立作圖摸索、同伴交流、概括提煉后，可以得出外“M”型相似模型中，相似三角形位于一條直線的兩側(cè)，且相似三角形中頂點(diǎn)在同一條直線上的等角所對(duì)的邊夾角也等于等角。因此，這種模型同樣也可以稱為“一線三等角”模型。

經(jīng)過(guò)這樣的探索與交流、復(fù)習(xí)與總結(jié)之后，學(xué)生才能深刻認(rèn)識(shí)模型變式中的不變特征，準(zhǔn)確理解相似三角形的“M”型、外“M”型的模型特征。