倪斌強

【研究緣起與思考】

在一次運算定律的專題研究活動中，筆者發(fā)現(xiàn)不同版本教材運算定律的編排主要分為兩類：A類教材（如下圖），把五大定律和兩大性質（減法的性質和除法的性質），分成了兩塊：一塊是加法的運算定律及應用，其中還包括了減法的性質；另一塊是乘法的運算定律及應用，其中也滲透了除法的性質。也就是把加法交換律與乘法交換律、加法結合律與乘法結合律分散編排。B類教材，把加法交換律和乘法交換律合在一起統(tǒng)稱為交換律，并且也把加法結合律和乘法結合律合為一節(jié)課，統(tǒng)稱為結合律。也就是把加法交換律與乘法交換律、加法結合律與乘法結合律集中編排。

通過比較發(fā)現(xiàn)：A類教材看似脈絡清晰、結構完整，但如果細想，就會發(fā)現(xiàn)加法交換律和乘法交換律如同孿生兄弟，聯(lián)系的更緊密，如果統(tǒng)稱為“交換律”更有利于學生系統(tǒng)的構建完整的知識結構；加法結合律和乘法結合律也是如此，合為一體統(tǒng)稱為“結合律”也更合理；還有減法的性質和除法的性質也有類似之處，也可合二為一進行教學。

正因如此，激起筆者對“運算定律”這一內容教材重組的研究興趣和探索思考：

一是對于運算定律這部分內容，教材怎樣調整重組更有利于學生建構知識？更有利于培養(yǎng)學生探索和發(fā)現(xiàn)規(guī)律的能力？

二是五大定律和兩大性質都是屬于數(shù)與代數(shù)重要的定律、性質，這些內容的學習方式是不是都可以利用相同的模式（猜想——驗證——結論——聯(lián)想——驗證——新的結論）？

【教學過程】

引導學生怎么“走”——了解探索規(guī)律的方法

案例《交換律》

一、引出猜想，初感規(guī)律

1.觀察下圖，列式計算。

2.觀察列出的等式，你有什么發(fā)現(xiàn)？

12+16=287+21=284+24=28

16+12=2821+7=2824+4=28

12+16=16+12 7+21=21+7 4+24=24+4

引出猜想：在加法中，交換兩個加數(shù)的位置，和不變。

二、驗證猜想，獲得新知

1.討論：怎樣驗證？

（舉幾個加法算式，交換加數(shù)的位置，看看和是否不變）

2.學生獨自舉例驗證，教師巡視了解學情。

3.集體交流。

教師有選擇地出示學生可能出現(xiàn)的幾種情況：（1）舉例驗證方法的比較。（2）舉例的全面性比較。

4.揭示課題。

師：有沒有發(fā)現(xiàn)交換兩個加數(shù)的位置和變了的例子？如果沒有，那猜想應該是成立的，你能給這個結論取個名嗎？

5.能用自己喜歡的方式表示加法交換律嗎？

三、聯(lián)想遷移，得出結論

1.引導聯(lián)想。

師：從個例中形成猜想并舉例驗證，是獲取結論的一種方法，但有時還可以從已有的結論通過聯(lián)想進而形成新的結論。從加法交換律中，我們通過聯(lián)想可以獲得什么新的猜想呢？

生：在加法中，交換幾個加數(shù)的位置，和不變。

生：在減法中，交換被減數(shù)和減數(shù)的位置，差不變。

生：在乘法中，交換兩個因數(shù)的位置，積不變。

生：在除法中，交換被除數(shù)和除數(shù)的位置，商不變。

2.分組驗證。（略）

3.反饋交流。

師：在減法中是否成立？

生：不成立，如 5-3=2，交換位置后3減5不能計算。

生：有成立的，如 6-6=0，交換被減數(shù)和減數(shù)的位置，還是成立的。

師：在驗證猜想時，如果有一個例子不成立，這樣的例子叫反例，反例舉出一個就可以證明猜想不成立。

（乘法、除法略）

4.得到新的結論。

5.小結：加法交換律和乘法交換律可以統(tǒng)稱為交換律。

四、鞏固練習，拓展延伸（略）

【分析：本課學生通過討論“怎樣驗證？”了解科學驗證的方法。當學生得出一個結論時，教師又進行了“從個例中形成猜想并舉例驗證，是一種獲取結論的方法，但有時還可以從已有的結論通過聯(lián)想進而形成新的結論。從加法交換律中，我們通過聯(lián)想可以獲得什么新的猜想呢？”的引導，使學生聯(lián)想到減法、乘法、除法算式中的各種情況。讓學生明白科學地獲取結論的兩種方法：①個例——猜想——結論；②結論——聯(lián)想——新的結論。本節(jié)課凸顯“猜想——驗證——結論——聯(lián)想——驗證——新的結論”的探究規(guī)律思考路線，使學生初步了解了探索規(guī)律的方法?！?/p>

扶著學生“走”一程——理解運用方法探索規(guī)律

案例《結合律》

一、引出猜想，初感規(guī)律

1.計算下面各式的得數(shù)。

（67+48）+52=67+（48+52）=

（4+9）+41=4+（9+41）=

（155+145）+207=155+（145+207）=

2.觀察上面這些算式，你有什么發(fā)現(xiàn)？

引出猜想：三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，或者先把后兩個數(shù)相加，和不變。

二、驗證猜想，獲得新知

1.討論：怎樣驗證？

（舉幾個連加算式，改變運算順序，看看和是否不變）

2.學生獨自舉例驗證，教師巡視了解學情。

3.集體交流：我們在驗證猜想時要注意什么？

4.有沒有反例？如果沒有，那猜想應該是成立的，你能給這個結論取個名嗎？

（揭示課題：加法結合律）

三、聯(lián)想遷移，得出結論

1.從加法結合律中，我們通過聯(lián)想可以獲得什么新的猜想呢？

生：在連減中，先把前兩個數(shù)相減，或者先把后兩個數(shù)相減，差不變。

生：在連乘中，先把前兩個數(shù)相乘，或者先把后兩個數(shù)相乘，積不變。

生：在連除中，先把前兩個數(shù)相除，或者先把后兩個數(shù)相除，商不變。

2.分組驗證。

3.集體交流：是否都成立？有沒有反例？

4.得到新的結論。

5.小結：加法結合律和乘法結合律可以統(tǒng)稱結合律。

四、練習（略）

【分析：本節(jié)課緊緊圍繞兩個方面進行：一方面是再次明確舉例驗證應該遵循怎樣的規(guī)則；另一方面進一步理解探索規(guī)律的方法。獲得結論有兩條途徑：一是從一組算式中發(fā)現(xiàn)帶有規(guī)律性的東西，再舉例驗證猜想；另一條是從已獲得的結論中，引發(fā)新的猜想?！皬募臃ńY合律中，我們通過聯(lián)想可以獲得什么新的猜想呢？”學生在聯(lián)想過程中進一步熟悉由“此知”及“彼知”的數(shù)學聯(lián)想?！?/p>

看著學生“走”一段——嘗試運用方法探索規(guī)律

案例《減法的性質和除法的性質》

一、引出猜想，初感規(guī)律

1.回顧：我們前面學了交換律和結合律，同學們回憶一下，我們是怎么學的？學的方法有什么類似之處？

生：都是從一組算式中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

生：都是用具體的例子驗證猜想。

生：還有從一個結論通過聯(lián)想來引出新的猜想。

師：這節(jié)課我們還是用這樣的方法去研究。

2.先計算下面各式的得數(shù)，再看看發(fā)現(xiàn)了什么？

367-89-11=367-（89+11）=

524-164-36=524-（164+36）=

1235-235-65=1235-（235+65）=

3.引出猜想。

一個數(shù)連續(xù)減去兩個數(shù)，可以把這兩個減數(shù)加起來再減。

二、驗證猜想，獲得新知

1.有了猜想，接下去怎么研究？

生：先舉一些例子驗證一下是否成立。

師：好的，我們四人一組進行研究。

2.學生獨自舉例，小組交流舉的例子。

3.集體交流。

（1）所舉的例子都符合猜想嗎？

（2）有沒有反例？

（3）驗證猜想的時候要注意什么？

4.能給這個猜想取個名稱嗎？（減法的性質）

如果用字母表示減法的性質怎么表示？

三、聯(lián)想遷移，得出結論

師：接下去我們怎么研究？

生：從“減法的性質”通過聯(lián)想引發(fā)新的猜想，再用具體的算式驗證，看看有沒符合其它的性質。

師：那從“減法的性質”通過聯(lián)想又有哪些新的猜想呢？

生：一個數(shù)連續(xù)加兩個數(shù)，可以先把后兩個加數(shù)相減再加。

生：一個數(shù)連續(xù)乘兩個數(shù)，可以先把后兩個乘數(shù)相除再乘。

生：一個數(shù)連續(xù)除以兩個數(shù)，可以把兩個除數(shù)乘起來再除以第一個數(shù)。

1.驗證猜想。

2.得出除法的性質：a÷b÷c=a÷（b×c）。

四、練習（略）

【分析：學生在前兩節(jié)課的學習中已比較熟悉探究規(guī)律的方法和驗證猜想的方法，本節(jié)課教師讓學生嘗試運用方法探索規(guī)律——通過一系列的問題“扶”著學生進行探究新知?！拔覀兦懊鎸W了交換律和結合律，同學們回憶一下，我們是怎么學的？學的方法有什么類似之處？有了猜想，接下去怎么研究？得到結論后我們又怎么進行下一步的研究？”學生在教師的引導幫助下，順利地完成了新知的探究。學生在本節(jié)課中繼續(xù)鞏固了舉例驗證的方法，運用了由“此知”及“彼知”的數(shù)學聯(lián)想，進一步熟悉了獲得結論的兩種方式?！?/p>

“奔跑吧”，孩子——自主運用方法探索規(guī)律

課例一 《乘法分配律》

一、回顧方法

師：我們前面學了交換律、結合律以及減法性質、除法性質，同學們回憶一下，我們是怎么學習的？學習的方法有什么類似之處？

生：都是從一組算式中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，再舉具體的算式驗證。

生：獲得結論后，再通過聯(lián)想發(fā)現(xiàn)新的猜想，再舉例驗證。

師：我們這節(jié)課繼續(xù)用這樣的方法進行研究。老師給大家提供一些素材，四人一組進行合作研究。

二、自主探究

1.出示。

（4+7）×25=4×25+7×25=

（5+12）×24=5×24+12×24=

（120+18）×6=120×6+18×6=

計算后引出猜想：兩個數(shù)的和與一個數(shù)相乘，可以先把它們與這個數(shù)分別相乘，再相加。

2.四人一組合作研究。

3.教師巡視指導。

4.集體交流。

5.給這個規(guī)律取個名稱，引出：乘法分配律。

三、練習（略）

課例二《帶符號搬家》

一、回顧方法

師：我們前面幾節(jié)課都是探索規(guī)律的內容，同學們回憶一下，像這一類課我們是怎么學的？

師：我們這節(jié)課繼續(xù)用這樣的方法進行研究。

二、自主探究

1.出示：

125+47-25=25-25+47=

234-48+66=34+66-48=

357-149-57=357-57-149=

2.四人一組合作研究。

3.教師巡視指導。

4.集體交流。

5.給這個規(guī)律取個名稱。引出：帶符號搬家。

三、練習（略）

【分析：這兩節(jié)課教師就顯得比較輕閑，先回顧一下研究的方法，然后只出示一組研究的素材，完全放手讓學生自主探究《乘法分配律》和《帶符號搬家》兩個課例，學生因為有了前幾節(jié)課的學習和鋪墊，對于如何探究規(guī)律已很熟悉，很自然地運用探究的方法（猜想——驗證——結論——聯(lián)想——驗證——新的結論），不僅發(fā)現(xiàn)了規(guī)律，而且也進一步鞏固舉例驗證的方法，再次運用了由“此知”及“彼知”的數(shù)學聯(lián)想，學會了數(shù)學的思考方法?！?/p>