曹揚悅也，蔣志剛，譚清華，蒙朝美

(國防科學技術(shù)大學 指揮軍官基礎教育學院，長沙 410072)

基于Hoek-Brown準則的混凝土-巖石類靶侵徹模型

曹揚悅也，蔣志剛，譚清華，蒙朝美

(國防科學技術(shù)大學 指揮軍官基礎教育學院，長沙 410072)

基于空腔膨脹理論建立工程模型是研究侵徹問題的常用方法。針對射彈侵徹巖石-混凝土類脆性材料半無限靶問題，基于靶體的彈性-裂紋-粉碎響應模式，粉碎區(qū)采用考慮圍壓的Hoek-Brown準則，得到了準靜態(tài)球形空腔膨脹的空腔壁壓力。在Forrestal兩個階段侵徹模型中，用所得空腔壁壓力代替隧道侵徹階段的侵徹阻力，得到剛性彈侵徹巖石-混凝土類脆性材料半無限靶的侵徹深度預估公式，與文獻侵徹試驗以及現(xiàn)有典型侵徹深度預估公式比較表明，預估公式適用范圍更廣，對于(超)高強混凝土和巖石材料靶的預測精度更高。

侵徹；混凝土-巖石靶；工程模型；空腔膨脹；Hoek-Brown準則

射彈侵徹混凝土-巖石類材料問題一直是防護工程領(lǐng)域的研究熱點，已有眾多經(jīng)驗公式[1-3]和理論模型[4]，其中基于空腔膨脹理論的侵徹模型得到了大量研究。FORRESTAL及其合作者[5-7]基于侵徹試驗和空腔膨脹理論，將侵徹過程分為開坑和隧道侵徹兩個階段，建立了卵形頭剛性彈侵徹混凝土的半理論公式，LI等[8-9]將其拓展到了任意彈頭形狀。FORRESTAL等[10]針對混凝土靶的塑性(粉碎)-彈性和塑性(粉碎)-裂紋-彈性兩種響應模式，采用Mohr-Coulomb準則，建立了混凝土為不可壓縮和可壓縮材料的動態(tài)球形空腔膨脹理論，并采用數(shù)值方法求解可壓縮材料空腔膨脹模型，擬合得到了空腔壁壓力的無量綱表達式。李志康等[11-14]進一步考慮粉碎區(qū)的孔隙壓實效應，建立了密實-孔隙壓實-裂紋-彈性響應的準靜態(tài)和動態(tài)球形空腔膨脹理論。HE等[15-16]考慮粉碎區(qū)的剪脹性，建立了動態(tài)球形和柱形空腔膨脹理論。黃民榮等[17]采用Griffith強度準則，建立了粉碎-裂紋-彈性響應的球形、柱形空腔膨脹模型和卵形頭剛性彈侵徹深度公式。最近，F(xiàn)ENG等[18]考慮應變率效應，采用修正的Drucker-Prager帽蓋模型，建立了密實-孔隙壓實-裂紋-彈性響應的動態(tài)球形空腔膨脹理論。彭永等[19]基于Mohr-Coulomb準則的可壓縮材料動態(tài)球形空腔膨脹模型，分析了混凝土強度、彈性模量、泊松比和壓力硬化系數(shù)等參數(shù)對侵徹阻力的影響，結(jié)果表明：混凝土強度和彈性模量的影響明顯，而泊松比和壓力硬化系數(shù)的影響很小。侵徹試驗[20-22]表明，巖石的侵徹效應與混凝土類似。但是，硬質(zhì)巖石的強度較高，脆性大于混凝土，目前有關(guān)巖石侵徹深度經(jīng)驗公式[23]和侵徹模型研究[24-26]均較少。

試驗和理論研究表明：① 常規(guī)彈速射彈侵徹混凝土-巖石類材料半無限靶的過程可分為開坑和隧道侵徹兩個階段，隧道侵徹階段的侵徹阻力可采用粉碎-裂紋-彈性響應的球形空腔膨脹模型解。② 在隧道侵徹階段，粉碎區(qū)處于三向受壓狀態(tài)，其本構(gòu)模型對侵徹深度公式的精度和求解復雜性影響較大。為了得到空腔壁壓力的解析解，通常忽略粉碎區(qū)材料的壓縮性、剪脹性和應變率效應等，并采用簡單的強度準則(Mohr-Coulomb強度準則和Griffith強度準則)，但所得侵徹深度公式具有局限性；若考慮粉碎區(qū)的壓縮性、剪脹性或應變率效應，則計算十分復雜，需采用數(shù)值方法求解非線性微分方程。③ Forrestal半理論公式及其拓展形式(Li和Chen公式)計算簡單，對單軸抗壓強度較低的混凝土靶預測精度較好，但對于高強(單軸抗壓強度σu大于50 MPa)和超高強(單軸抗壓強度σu大于100 MPa)的混凝土和巖石靶體的適用性較差。

為了建立計算簡便、適用范圍較廣，可用于超高強混凝土和高強度巖石的侵徹深度公式，本文基于彈性-裂紋-粉碎響應模式，針對粉碎區(qū)為三向受壓的特點，首次采用考慮圍壓影響的Hoek-Brown準則[27-29]描述粉碎區(qū)的強度特性，通過求解準靜態(tài)球形空腔膨脹模型，得到了空腔壁壓力的解析解；用其代替Forrestal兩階段模型的侵徹阻力，得到了剛性彈侵徹混凝土-巖石類材料靶的侵徹深度公式；最后，與混凝土和巖石侵徹試驗進行了比較。

1 基于Hoek-Brown準則的準靜態(tài)空腔膨脹模型

1.1 Hoek-Brown準則

HOEK等[27]考慮圍壓對巖體破壞的影響，通過大量的巖石三軸壓縮試驗，并結(jié)合Griffith強度準則，建立了有圍壓巖體的強度準則，即Hoek-Brown準則：

(1)

式中：σ1和σ3均以壓為正，分別為最大和最小主壓應力；σu為材料的單軸抗壓強度；m為無量綱經(jīng)驗系數(shù)，與材料強度及脆性有關(guān)，材料強度及脆性越大，則m取值越大，反之則越??；0

(σ1-σ3)2=σu(mσ3+σu)

(2)

根據(jù)文獻[29]，對于混凝土，m的取值范圍為5～10；對于巖石，m可近似按以下經(jīng)驗公式計算：

(3)

式中，σt為材料的單軸抗拉強度，取絕對值計算。

HOEK等[27-29]指出：Griffith強度準則可反映巖石類材料微裂紋的起裂，但不能反映裂紋的擴展傳播和巖體的破壞；Mohr-Coulomb準則可反映巖石類材料的剪切破壞，但由于假設內(nèi)摩擦角為常數(shù)，強度包線為直線，不能反映三向受壓狀態(tài)的破壞特征；Hoek-Brown準則強度包線為曲線，與巖石三向受壓試驗吻合較好。

混凝土和巖石均為帶初始微裂紋的脆性材料，兩者力學行為相近，Hoek-Brown準則可推廣應用到三向受壓混凝土。以文獻[30]混凝土三軸受壓試驗為例，分析比較Mohr-Coulomb、Griffith和Hoek-Brown準則的適用性。試驗采用邊長為100 mm的立方體試塊，混凝土抗壓強度σu=35 MPa，抗拉強度σt=5.5 MPa，極限狀態(tài)的最大、最小主壓應力σ1、σ3關(guān)系如圖1所示。其中：m=5～10曲線為Hoek-Brown準則式(2)的結(jié)果；Mohr-Coulomb準則曲線按文獻[10]公式計算，取壓力硬化系數(shù)λ=0.69(根據(jù)文獻[19]，σu=30～150 MPa時，λ=0.62～0.75，平均值為0.69)；Griffith準則曲線按文獻[17]公式計算。

圖1 三種屈服準則與試驗結(jié)果比較Fig.1 Comparison of yield criterions and test results

由圖1可知：① Mohr-Coulomb和Griffith準則與試驗偏差較大，均小于試驗結(jié)果，最大誤差分別達到27%和24%左右。② Hoek-Brown準則取m=5～10時，與試驗吻合較好，這與文獻[29]一致。其中：σ3值較小時(小于約0.5σu)，可取m=5～7，最大誤差約為14%；σ3值較大時(大于約0.5σu)，可取m=8～10，最大誤差約為8%。

以上分析表明：Hoek-Brown準則比Mohr-Coulomb和Griffith強度準則更符合混凝土-巖石類材料三向受壓的強度特點；在侵徹問題中，粉碎區(qū)處于三向受壓狀態(tài)，采用Hoek-Brown準則更合適。

1.2 準靜態(tài)球形空腔膨脹的空腔壁壓力

設一球形空腔在混凝土-巖石類無限介質(zhì)中以很低的速度均勻膨脹，則準靜態(tài)空腔膨脹模型，如圖2所示。響應區(qū)包括粉碎區(qū)、徑向裂紋區(qū)和彈性區(qū)。其中，rc、rp、rcr和re分別為空腔半徑、粉碎區(qū)外半徑、裂紋區(qū)外半徑和彈性區(qū)外半徑，r為球面徑向坐標。采用以下基本假定：粉碎區(qū)服從Hoek-Brown準則；裂紋區(qū)環(huán)向應力恒為0，處于徑向受壓狀態(tài)；彈性區(qū)為小應變，服從廣義虎克定律，材料彈性模量為E，泊松比為υ。

圖2 準靜態(tài)空腔膨脹模型Fig.2 Static cavity expansion mode

對于準靜態(tài)球形空腔膨脹，響應區(qū)的平衡方程為

(4)

式中：σr為徑向應力；σθ為環(huán)向應力，均以受壓為正。

彈性區(qū)(rcr≤r≤re)，由廣義虎克定律、邊界條件(r=re，σr=0)和環(huán)向拉伸斷裂條件(r=rcr，σθ=-σt)，可得應力場和位移場[31]：

(5)

(6)

(7)

裂紋區(qū)(rp≤r≤rcr)，將σθ=0代入平衡方程式(4)，并考慮裂紋區(qū)與粉碎區(qū)交界處的強度條件(r=rp，σr=σu)和徑向位移連續(xù)條件，可得[31]：

(8)

(9)

粉碎區(qū)(rc≤r≤rp)，應力滿足Hoek-Brown準則，即式(2)。取σr=σ1﹥σθ=σ3，由式(2)，有：

(10)

(11)

解之得：

(12)

式中：c0為積分常數(shù)，可由裂紋區(qū)與粉碎區(qū)交界處徑向應力連續(xù)條件(r=rp，σr=σu)求得：

(13)

將c0代入式(12)，得到求解粉碎區(qū)徑向應力的方程：

(14)

式中：粉碎區(qū)外半徑rp未知，需確定其與空腔半徑rc的關(guān)系。

考r=rcr慮的徑向應力連續(xù)條件，可得半徑rp與rcr的關(guān)系：

(15)

類似于文獻[31]，忽略粉碎區(qū)材料密度的變化和粉碎區(qū)外邊界位移的高階項，由粉碎區(qū)的質(zhì)量守恒以及r=rp處的位移連續(xù)條件，有：

(16)

對于準靜態(tài)空腔膨脹，令re→∞，由式(15)得：

(17)

由式(16)得：

趙集手忙腳亂，說：“做做，今兒喝肉湯的人多?！睆目鹄锪喑鰩赘i腿棒子，擱墩案上，舉起斧頭，砰、砰砍，骨渣飛濺。

(18)

將式(17)、(18)代入式(14)，并取r=rc，σr=σrc，得到求解空腔壁壓力σrc的方程：

(19)

2 剛性彈侵徹深度預估公式

2.1 現(xiàn)有典型公式

Forrestal公式[5-7](卵形彈頭)：

(20a)

(20b)

式中：P為侵徹深度；M和a分別為彈丸的質(zhì)量和半徑；V0為彈丸撞擊速度；ρc為靶體材料密度；R=sfc，經(jīng)驗常數(shù)S=82.6(fc/10-6)-0.544，其中fc為單軸抗壓強度σu(Pa)；卵形彈頭(曲徑比Ψ)的形狀系數(shù)N*為

(20c)

Li-Chen公式[8-9](任意形狀彈頭)：

(21a)

(21b)

式中：侵徹深度較大時取k=1.5～2.5，侵徹深度較小時取k=0.707+h/d，其中h為彈頭長度，d=2a為彈徑；經(jīng)驗常數(shù)S=72(fc/10-6)-0.5；彈頭形狀系數(shù)N*參見文獻[8]；其余符號含義同F(xiàn)orrestal公式。

2.2 基于Hoek-Brown準則公式

在Forrestal公式中取R=σrc，得基于Hoek-Brown準則和準靜態(tài)球形空腔膨脹的侵徹深度公式：

(22a)

(22b)

式中：σrc為由式(19)解得的空腔壁壓力；任意彈頭的形狀系數(shù)N*按Li-Chen公式[8]，其余參數(shù)含義同前。

3 侵徹試驗算例分析

選取典型的卵形頭剛性彈侵徹混凝土和巖石半無限靶試驗進行計算，彈、靶特征參數(shù)及來源，如表1所示。

表1 侵徹試驗參數(shù)Tab.1 Parameters of the Penetration Tests

由圖3和圖4可知：

(1) Forrestal公式和Li-Chen公式的計算結(jié)果基本一致，對于σu小于或接近50 MPa的普通混凝土靶，計算結(jié)果與試驗吻合較好，其中例1和例2的最大誤差分別不超過16%和22%。但是，對于(超)高強混凝土和巖石靶(例3-6)，由于經(jīng)驗系數(shù)S來源于強度較低的普通混凝土靶侵徹試驗，外延性較差，而(超)高強混凝土和巖石的強度和脆性均比普通混凝土大，經(jīng)驗系數(shù)S已不適用，因此侵徹深度計算結(jié)果明顯偏大。

(2) 黃民榮球腔公式基于Griffith強度準則和球形空腔模型，例1-5侵徹深度計算結(jié)果均大于試驗，最大誤差分別約為26.0%、17.2%、16.7%、9.3%和25.9%。由于Griffith強度準則不能反映其在三向受壓狀態(tài)下的破壞，基于Griffith強度準則球形空腔模型的空腔壁壓力偏小，因此黃民榮球腔公式的例1-5計算結(jié)果大于試驗。需指出，例6由于試驗靶體不是半無限靶，因此黃民榮球腔公式結(jié)果小于試驗。

(3) 本文Hoek-Brown球腔公式計算不同強度混凝土和巖石靶侵徹深度的結(jié)果均與試驗吻合較好，其中例1-5的最大誤差分別為15.8%、9.9%、5.4%、4.6%和19.2%。需指出，例6由于靶徑與彈徑比值偏小，不滿足半無限靶條件，試驗中靶的響應模式為裂紋-粉碎響應[20]，且側(cè)向約束不夠，導致侵徹阻力小于半無限靶，所以本文Hoek-Brown球腔公式的計算侵徹深度小于試驗結(jié)果。

總體而言，對于彈速為250～1 600 m/s的剛性彈侵徹強度35～150 MPa的混凝土和巖石靶體問題，本文Hoek-Brown球腔公式具有較高預測精度。

4 結(jié) 論

本文采用Hoek-Brown準則描述粉碎區(qū)材料的強度特性，得到了空腔壁壓力的解析解，并用其代替Forrestal兩階段模型的侵徹阻力，建立了剛性彈侵徹混凝土-巖石類材料靶的侵徹深度公式。與混凝土和巖石半無限靶侵徹試驗比較，表明：

(1) Forrestal公式和Li-Chen公式適用于剛性彈侵徹普通混凝土半無限靶的侵徹深度，但不適用于(超)高強混凝土和巖石靶；黃民榮基于Griffith強度準則球腔公式侵徹深度計算結(jié)果偏大。

(a) 例1(編號1，混凝土，σu=36.0 MPa)

(b) 例2(編號2，混凝土，σu=51.0 MPa)

(c) 例3(編號3，混凝土，σu=87.8 MPa)

(d) 例4(編號4，混凝土，σu=150.9 MPa)

(a) 例5(編號5，巖石，σu=60.0 MPa)

(b) 例6(編號6，巖石，σu=154.0 MPa)

(2) 本文基于Hoek-Brown準則球腔公式適用范圍較廣，精度較高，并能較好地預測剛性彈侵徹(超)高強混凝土和巖石半無限靶的侵徹深度。

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Penetration model for concrete-rock targets based on hoek-brown criterion

CAO Yangyueye, JIANG Zhigang, TAN Qinghua, MENG Chaomei

(College of Basic Education, National Universityof Defense Technology, Changsha 410072, China)

The cavity expansion theory is a common method to establish an engineering model for penetration problems.Based on a target’s elastic-cracked-comminuted response model, a new semi-infinite spherical cavity expansion model for brittle materials, such as, rock and concrete was built here.The material in the comminuted region was assumed to obey Hoek-Brown yield criterion.The static cavity expansion stress was obtained, and used as an alternative for the penetration resistance in the two-stage penetration model proposed by Forrestal.A predicting model of penetration depth for rigid projectiles penetrating a semi-infinite brittle material target was developed.It was shown that compared with previous models，the proposed prediction model here is more adaptive，especially, for high strength concrete and rock targets.

penetration; concrete-rock target; engineering model; cavity expansion; Hoek-Brown criterion

國防科學技術(shù)大學優(yōu)秀研究生創(chuàng)新資助(S150901)

2015-11-11 修改稿收到日期：2016-02-22

曹揚悅也 女，碩士，博士生，1991年3月生

蔣志剛 男，博士，教授，1961年9月生

TV331；TD313；O347.3

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.05.008