郭 紅，夏伯乾，孫一休

(鄭州大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，鄭州 450001)

徑向動靜壓浮環(huán)軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

郭 紅，夏伯乾，孫一休

(鄭州大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，鄭州 450001)

以徑向動靜壓浮環(huán)軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為研究對象，計入浮環(huán)質(zhì)量和轉(zhuǎn)子剛度建立了統(tǒng)一的動力學(xué)方程，用Routh-Hurwitz準(zhǔn)則推導(dǎo)了單質(zhì)量彈性對稱系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)。用有限差分計算了某高速徑向動靜壓浮環(huán)軸承的剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)，在此基礎(chǔ)上得到了不同浮環(huán)質(zhì)量和轉(zhuǎn)子剛度下動靜壓浮環(huán)軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性曲線。計算結(jié)果表明，浮環(huán)質(zhì)量對系統(tǒng)穩(wěn)定性影響不大，而隨著轉(zhuǎn)子剛度減小，系統(tǒng)失穩(wěn)轉(zhuǎn)速迅速降低。該文在高速浮環(huán)軸承-彈性轉(zhuǎn)子穩(wěn)定性整體建模和分析方面有較大的參考意義。

徑向浮環(huán)軸承；轉(zhuǎn)子剛度；浮環(huán)質(zhì)量；失穩(wěn)轉(zhuǎn)速

動靜壓浮環(huán)軸承綜合了動壓、靜壓和浮環(huán)軸承的優(yōu)點，具有啟動摩擦小、承載力大、穩(wěn)定性好的特點，在燃?xì)廨啓C(jī)、渦輪增壓器等高速旋轉(zhuǎn)機(jī)械上應(yīng)用廣泛。國內(nèi)外很多學(xué)者對不同結(jié)構(gòu)形式的滑動軸承油膜特性及應(yīng)用進(jìn)行了廣泛研究[1-4]，而對于浮環(huán)軸承，沈那偉等[5]探討了微型燃?xì)廨啓C(jī)浮環(huán)軸承動力學(xué)參數(shù)的影響因素；WANG等[6]采用數(shù)值方法分析了氣體浮環(huán)軸承的混沌和次諧運(yùn)動；WANG等[7]討論了制造公差對透平機(jī)浮環(huán)軸承動態(tài)特性的影響；KOUTSOVASILIS等[8]以浮環(huán)軸承支承的透平轉(zhuǎn)子為研究對象，分析了油膜引起的次同步振動；SAN ANDRES等[9]考慮了溫度對浮環(huán)軸承性能的影響；郭紅等[10-12]以徑向浮環(huán)軸承為研究對象，針對浮環(huán)和轉(zhuǎn)子建立統(tǒng)一的動力學(xué)方程，研究了系統(tǒng)的穩(wěn)定性及浮環(huán)軸承多穩(wěn)定區(qū)域。本文以徑向動靜壓浮環(huán)軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為研究對象，計入浮環(huán)質(zhì)量和轉(zhuǎn)子剛度建立軸頸和浮環(huán)統(tǒng)一的動力學(xué)方程，利用Routh-Hurwitz準(zhǔn)則推導(dǎo)系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)，分析不同轉(zhuǎn)速和偏心率下浮環(huán)質(zhì)量和轉(zhuǎn)子剛度對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。

1 徑向浮環(huán)動靜壓軸承控制方程

1.1 控制方程

圖1為徑向動靜壓浮環(huán)軸承內(nèi)外膜結(jié)構(gòu)示意圖，內(nèi)膜在浮環(huán)內(nèi)側(cè)設(shè)置4個深淺腔，外膜在軸瓦內(nèi)側(cè)設(shè)置5個深淺腔，每個深腔中央開設(shè)進(jìn)油孔。

圖1 動靜壓浮環(huán)軸承結(jié)構(gòu)Fig.1 Inner and outer film structure of floating ring bearing

用φ表示圓周方向坐標(biāo)，λ表示軸向坐標(biāo)。取無量綱因子

A2=(ε2cosφ2+ε02θ2sinφ2)

可得到支配內(nèi)外層油膜的無量綱Reynolds方程：

(1)

1.2 邊界條件

具有深淺腔的動靜壓軸承存在壓力邊界條件和深腔流量平衡條件，如圖2所示。

壓力邊界條件：

(2)

無量綱流量平衡條件：

(3)

無量綱油膜厚度：

(4)

1.3 浮環(huán)平衡工作條件

當(dāng)內(nèi)外膜作用到浮環(huán)上的力和力矩相等時，浮環(huán)即可保持平衡運(yùn)轉(zhuǎn)。

(5)

2 計入浮環(huán)質(zhì)量和轉(zhuǎn)子剛度穩(wěn)定性分析

如圖3所示，單質(zhì)量彈性對稱轉(zhuǎn)子系統(tǒng)由一對浮環(huán)軸承支承。設(shè)轉(zhuǎn)子質(zhì)量2m1，軸彎曲剛度為2k；單個浮環(huán)質(zhì)量為m2。軸頸的簡諧變動位移為x1,y1，內(nèi)層油膜作用力為Fx1,Fy1；浮環(huán)的簡諧變動位移x2,y2，外層油膜作用力為Fx2,Fy2；軸頸中心的靜平衡位置為(x10,y10)，受擾動后某時刻軸頸中心為(x1,y1)，圓盤中心相對軸頸中心擾動位移為(ξ,η)。

圖3 浮環(huán)軸承內(nèi)外膜動力學(xué)模型Fig.3 Dynamics model of floating ring bearing

圓盤動力學(xué)方程為

(6)

其中：

浮環(huán)動力學(xué)方程：

(7)

令ξ=ξ0evt，η=η0evt，聯(lián)立方程(6)、(7)得到：

(8)

(9)

令系數(shù)矩陣行列式為零，可得到特征方程：

α0S10+α1S9+α2S8+α3S7+α4S6+α5S5+

α6S4+α7S3+α8S2+α9S+α10=0

(10)

式中：各項系數(shù)分別為

α7=K2(B2G1+B1G2)+K2M1[(Bxx2+Byy2)K1+ (Bxx1+Byy1)K2+(Kxx2+Kyy2)G1+(Kxx1+Kyy1)G2]+K2M2[(Bxx2+Byy2)K1+(Kxx2+Kyy2)G1]+2KM1(G1K2+G2K1)

α8=K2(K2B1+B2K1+G1G2)+K2M1[(Kxx2+Kyy2)K1+(Kxx1+Kyy1)K2]+K2M2(Kxx2+Kyy2)K1+2KM1K1K2

α9=K2(G1K2+G2K1)

α10=K2K1K2

式中：

G1=Bxx1Kyy1+Byy1Kxx1-Bxy1Kyx1-Byx1Kxy1

G2=Bxx2Kyy2+Byy2Kxx2-Bxy2Kyx2-Byx2Kxy2

G=Bxx1Kyy2+Bxx2Kyy1-Bxy1Kyx2-Bxy2Kyx1-Byx1Kxy2-Byx2Kxy1+Byy1Kxx2+Byy2Kxx1Ks=(Kxx1+Kxx2)(Kyy1+Kyy2)-(Kxy1+Kxy2)(Kyx1+Kyx2)

Bs=(Bxx1+Bxx2)(Byy1+Byy2)-(Bxy1+Bxy2)(Byx1+Byx2)

B1=Bxx1Byy1-Bxy1Byx1

B2=Bxx2Byy2-Bxy2Byx2

K1=Kxx1Kyy1-Kxy1Kyx1

K2=Kxx2Kyy2-Kxy2Kyx2

按照Routh-Hurwitz準(zhǔn)則，可得到計入浮環(huán)質(zhì)量和轉(zhuǎn)子剛度的動靜壓浮環(huán)軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定性條件：

(11)

式中

當(dāng)浮環(huán)軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)和工作條件確定時，求出內(nèi)、外膜的剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)，即可按照上述穩(wěn)定性條件判斷系統(tǒng)是否處于穩(wěn)定狀態(tài)，計算時采用遞歸法求解矩陣。

3 計入浮環(huán)質(zhì)量和轉(zhuǎn)子剛度穩(wěn)定性算例

圖1所示向心浮環(huán)動靜壓軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。取潤滑油動力黏度μ=4.475×10-3Pa·s，供油壓力ps=1.0 MPa，轉(zhuǎn)子質(zhì)量2m1=3.5 kg，浮環(huán)質(zhì)量m2=0.06 kg，轉(zhuǎn)子剛度k=1.3×105N/m。

表1 圓柱浮環(huán)動靜壓軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.1 Parameters of journal floating ring hybrid bearing

計算時給定外膜偏心率，在一定主軸轉(zhuǎn)速下通過迭代保證浮環(huán)平衡，然后計算動特性參數(shù)，按式(11)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。以一定的步長增加轉(zhuǎn)速，重復(fù)上述過程。

3.1 轉(zhuǎn)子剛度對失穩(wěn)轉(zhuǎn)速的影響

圖4為浮環(huán)質(zhì)量為0.06 kg時，不同轉(zhuǎn)子剛度下系統(tǒng)失穩(wěn)轉(zhuǎn)速隨偏心率的變化規(guī)律?？梢钥闯觯瑯悠穆氏?，剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的失穩(wěn)轉(zhuǎn)速最高，彈性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的失穩(wěn)轉(zhuǎn)速隨轉(zhuǎn)子剛度增加而提高，但不會超過剛性轉(zhuǎn)子。另一方面，系統(tǒng)失穩(wěn)轉(zhuǎn)速隨偏心率增加而提高，且轉(zhuǎn)子剛度越大，提高幅度越大。反映出當(dāng)轉(zhuǎn)子剛度大時，軸承油膜是影響系統(tǒng)穩(wěn)定性的主要因素，而在轉(zhuǎn)子剛度小時(例如k=0.3 MN/m)，轉(zhuǎn)子成為影響失穩(wěn)轉(zhuǎn)速的主要因素。因此，增大轉(zhuǎn)子剛度(減小變形撓度)可以提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

圖4 不同剛度下系統(tǒng)失穩(wěn)轉(zhuǎn)速Fig.4 Variation of threshold speed with rotor rigidity

3.2 浮環(huán)質(zhì)量對失穩(wěn)轉(zhuǎn)速的影響

圖5為剛性對稱轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不同偏心率下失穩(wěn)轉(zhuǎn)速隨浮環(huán)質(zhì)量的變化規(guī)律?？梢钥闯觯…h(huán)質(zhì)量一定時，系統(tǒng)失穩(wěn)轉(zhuǎn)速隨偏心率增大而迅速提高；同一偏心率下，隨著浮環(huán)質(zhì)量由0(不考慮)增加到0.10 kg，系統(tǒng)失穩(wěn)轉(zhuǎn)速逐漸下降，但幅度非常有限。

圖5 剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)失穩(wěn)轉(zhuǎn)速Fig.5 Variation of threshold speed (k=∞)

圖6為彈性對稱轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不同偏心率下失穩(wěn)轉(zhuǎn)速隨浮環(huán)質(zhì)量的變化規(guī)律。轉(zhuǎn)子剛度取為k=10 MN/m，可以看出，浮環(huán)質(zhì)量一定時，系統(tǒng)失穩(wěn)轉(zhuǎn)速隨偏心率增大而迅速提高；同一偏心率下，隨著浮環(huán)質(zhì)量由0(不考慮)增加到0.10 kg，系統(tǒng)失穩(wěn)轉(zhuǎn)速逐漸下降，但幅度不大。比較圖5和圖6，可以看出同樣條件下彈性轉(zhuǎn)子失穩(wěn)轉(zhuǎn)速低于剛性轉(zhuǎn)子。

圖6 彈性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)失穩(wěn)轉(zhuǎn)速Fig.6 Variation of threshold speed (k=10 MN/m)

3.3 轉(zhuǎn)子剛度和浮環(huán)質(zhì)量對失穩(wěn)轉(zhuǎn)速的綜合影響

圖7為不同轉(zhuǎn)子剛度下，系統(tǒng)失穩(wěn)轉(zhuǎn)速隨浮環(huán)質(zhì)量的變化規(guī)律。取外膜偏心率為0.3，可以看出，浮環(huán)質(zhì)量相同時，系統(tǒng)失穩(wěn)轉(zhuǎn)速隨轉(zhuǎn)子剛度的增加而迅速提高；另一方面，各剛度下系統(tǒng)失穩(wěn)轉(zhuǎn)速隨浮環(huán)質(zhì)量的增加略有下降，且轉(zhuǎn)子剛度越大下降越明顯，轉(zhuǎn)子剛度小時(k=0.3 MN/m)，浮環(huán)質(zhì)量對系統(tǒng)失穩(wěn)轉(zhuǎn)速基本沒有影響。

圖7 不同浮環(huán)質(zhì)量和剛度下的失穩(wěn)轉(zhuǎn)速Fig.7 Variation of threshold speed with floating ring mass and rotor stiffness

4 結(jié) 論

(1) 考慮轉(zhuǎn)子剛度和浮環(huán)質(zhì)量，建立動靜壓浮環(huán)軸承-彈性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)方程，在此基礎(chǔ)上給出了單質(zhì)量對稱轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)。

(2) 系統(tǒng)失穩(wěn)轉(zhuǎn)速隨偏心率增加而提高，且轉(zhuǎn)子剛度越大，提高幅度越大。同樣偏心率下，剛性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的失穩(wěn)轉(zhuǎn)速最高，彈性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的失穩(wěn)轉(zhuǎn)速隨轉(zhuǎn)子剛度增加而提高。

(3) 浮環(huán)質(zhì)量一定時，系統(tǒng)失穩(wěn)轉(zhuǎn)速隨偏心率增大而迅速提高；同一偏心率下，隨著浮環(huán)質(zhì)量增加，系統(tǒng)失穩(wěn)轉(zhuǎn)速逐漸下降，但幅度很小。

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Stability analysis of a journal floating ring hybrid bearing-rotor system

GUO Hong, XIA Boqian, SUN Yixiu

(School of Mechanical Engineering, Zhengzhou University, Zhengzhou 450001, China)

A unitized dynamic model for a journal floating ring hybrid bearing-rotor system was established considering floating ring mass and rotor stiffness.The stability criterion for the journal floating ring hybrid bearing-rotor system was derived using Routh-Hurwitz method.The dynamic characteristic coefficients of inner and outer films for a high speed floating ring bearing were calculated with the finite difference method under different operation conditions.Further more the variation of the threshold rotating speed of the bearing-rotor system with floating ring mass and rotor stiffness was acquired.The results showed that the threshold rotating speed of the bearing-rotor system decreases slightly with increase in floating ring mass under different eccentricities; at the same time, the threshold rotating speed of the bearing-rotor system increases quickly with increase in rotor stiffness.The results provided a reference for the overall modeling and stability analysis of floating ring hybrid bearing-elastic rotor systems.

journal floating ring bearing; rotor stiffness; floating ring mass; threshold rotating speed

國家自然科學(xué)基金資助項目(51575498)

2015-12-07 修改稿收到日期：2016-02-18

郭紅 女，博士，教授，1970年9月生

TH133.3

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.05.002