吳明陽+張芮+岳彩旭+劉獻禮+丁云鵬+朱磊

摘要：針對大型覆蓋件模具整體加工質(zhì)量難以保證問題，采用曲面分片劃分的方法，將所選曲面按照一定精度進行離散，通過求取離散點的幾何參數(shù)和加工參數(shù)，將曲面進行粗略劃分；采用K-means聚類算法進一步確定劃分區(qū)域的曲面片數(shù)量和聚類中心數(shù)，利用Voronoi圖算法提取曲面的邊界；針對鋁合金材料劃分后的曲面的不同區(qū)域采用不同的加工方式進行加工，通過傳統(tǒng)方法與曲面分片方法進行加工對比試驗，驗證提出方法的正確性及可行性。

關(guān)鍵詞：曲面劃分；K-means算法；Voronoi圖；鋁合金

中圖分類號：TG506 文獻標志碼：A 文章編號：1007-2683（2017）01-0054-06

0 引言

現(xiàn)代產(chǎn)品復雜度越來越高，其表面各處曲率變化相對較大，零件整體由很多曲率相同或相似的區(qū)域組成，如果采用傳統(tǒng)的單一加工方式進行加工難免會導致加工效率低、整體加工質(zhì)量下降等問題，因此，將自由曲面按照曲率相似進行分片，對不同曲面片采取不同的加工方式進行加工是很必要的。

由于自由曲面的輪廓型面曲率實時變化，一般情況下，三軸數(shù)控機床對其加工的加工效率和加工精度均很低。華中科技大學的陳濤和彭芳瑜深入研究了三軸數(shù)控加工自由曲面的軌跡的生成算法及其軌跡優(yōu)化，以此來提高自由曲面的加工效率；為了彌補三軸數(shù)控機床加工自由曲面加工條件的限制，Bedi et al.提出在五軸數(shù)控加工中的加工路徑規(guī)劃，該方法中加工刀具的方向取決于自由曲面曲率變化決定的運算法則；基于五軸機床成本高、結(jié)構(gòu)剛性小且易產(chǎn)生顫振、刀路軌跡規(guī)劃復雜的問題，ZezhongC.Chen L提出了一種曲面自動分片和軌跡生成方法。該方法按照復雜自由曲面幾何特征差異將其分成若干子曲面，然后，根據(jù)每個子曲面的加工特性自動為每個子曲面設(shè)定五軸聯(lián)動數(shù)控加工刀具路徑；Sonthi等提出了一種特征識別方法，該方法是基于曲率區(qū)域，采用將零件的輪廓模型用曲率區(qū)域圖表達的方式，通過分析曲面上每一個點曲率的變化，將整體曲面分成凸區(qū)域、凹區(qū)域、過渡區(qū)域以及平緩區(qū)域，最后再對不同的劃分區(qū)域進行有針對性的軌跡規(guī)劃；美國學者Lee、Ma和Je-gadesh提出了一種能確定發(fā)生過切的關(guān)鍵區(qū)域的滾球算法和邊界匹配算法曲面分析方法；印度學者Bezbarush提出了一種自由曲面加工方法，該方法是將所選曲面用凸曲率和平滑度最大的多個曲面組成；趙麗等提出一種曲面歸分方法，該方法將模糊c均值聚類法與減法聚類法相結(jié)合，將整體曲面劃分為確定數(shù)量的曲面片，并計算每個曲面片中心的位置和曲面邊界；鄭慧江等提出了一種的曲面劃分新方法，該方法面向STL模型，通過遍歷無向圖算法進行曲面分片，同時建立拓展拓撲關(guān)系；朱燏等提出一種二叉空間劃分復雜曲面的算法，該算法基于聚類算法和法矢方向錐；林潔瓊根據(jù)結(jié)合計算機圖形學知識和NURBS曲面結(jié)構(gòu)的性質(zhì)，提出一種曲面分片規(guī)劃算法，該算法將曲率與模糊中值算法相結(jié)合，將模具型面的幾何信息和加工工藝信息相同或相似的曲面歸為一類，這樣整體曲面就被分為多個曲面片，并對該方法進行仿真實驗，證明該方法可以解決模具自由曲面研拋效率低下的問題；王宏遠等首次解析曲面銑削加工過程中的分片規(guī)劃方法，根據(jù)計算機圖形和曲面信息構(gòu)造特點，提出基于曲率的和模糊中值法相結(jié)合的自由曲面邊界提取及分片規(guī)劃的通用算法；馮志新等提出一種基于k_均值聚類的模具型腔曲面分片方法。

根據(jù)加工允許誤差的要求，以自由曲面的幾何模型為基礎(chǔ)，通過對自由曲面做一些變換處理或者映射處理，便可生成加工模型。自由曲面加工模型最初是通過離散曲面建立的，Duncan等通過離散自由曲面的方法建立曲面模型。無干涉刀路軌跡通過對離散模型進行等距偏置獲得，但是，偏置會導致相鄰面片之間產(chǎn)生間隙、相交甚至重疊等問題。Jerard等采用曲面建模技術(shù)對數(shù)控加工過程進行仿真，通過Z-Buffer法將離散網(wǎng)格點的z坐標值與刀具模型的Z坐標值進行比較。Choi提出了一種將刀具在構(gòu)型空間內(nèi)映射為一點的幾何加工模型。閆光榮提出了一種新的考慮零件加工過程中的實際狀況的基于留量的幾何模型的數(shù)控加工智能仿真和驗證模型。

本文在K-means聚類算法的基礎(chǔ)上，結(jié)合Voronoi圖算法對復雜曲面進行分片規(guī)劃，針對劃分后的曲面曲率的差異采取不同的加工方式進行加工。K-means聚類算法在matlab中可以直接調(diào)用，方法簡單容易實現(xiàn)、運行速度快。

1 復雜曲面的特征劃分

1.1 曲面特征描述

能夠用來描述自由曲面的方法多種多樣，包括Coons、Bezier、均勻B樣條和非均勻有理B樣條（NUBRS）幾種曲面造型技術(shù)。因為NUBRS曲面造型技術(shù)不僅保留其他幾種曲面造型技術(shù)的優(yōu)點，而且還彌補了其他技術(shù)的不足，因此，本文選用NUBRS曲面造型技術(shù)來完成所選取面的造型。

NUBRS曲面造型技術(shù)的描述形式主要分為有理式描述和齊次坐標表示，但是，無論自由曲面采用什么表達方式，對曲面的幾何形狀特征的曲率計算及曲面特征劃分的結(jié)果是相同的。本文選擇有理式描述的曲面進行特征劃分。

在實際加工中，一個完整的復雜曲面是由許多的復合曲面組合而成，每個曲面的NURBS描述形式如下：式中：P（u，v）為復雜曲面S的參數(shù)方程；P_i（u，v）為第；個曲面片的參數(shù)方程；Q_i為4×4的方陣，表示第i個曲面片的矢量方陣；u，v為參數(shù)曲面方程的兩個參數(shù)，且滿足0≤u，v≤1；k為曲面片的個數(shù)。

需要進行曲面劃分的曲面要滿足一定的復雜度，即包含凸曲面、凹曲面以及馬鞍面等，這樣曲面劃分才有意義，因此，本文所選用的曲面如圖1所示。

1.2 復雜曲面離散

在實際應(yīng)用中，復雜曲面一般是用參數(shù)形式表達的。但是若直接用參數(shù)曲面來規(guī)劃刀具軌跡，在進行數(shù)值迭代過程中往往會導致不穩(wěn)定。因此，復雜曲面常常按照精度要求離散成網(wǎng)格形式，再對其進行運算，曲面信息由離散的點云信息來代替。

2 復雜曲面分片的具體過程

曲面的內(nèi)在性質(zhì)主要包括法失、切平面和曲率。內(nèi)在性質(zhì)是局部性質(zhì)，它們在曲線或曲面上是逐點變化的。它們都是幾何造型中最有用的內(nèi)在因素，本文所考慮的曲面內(nèi)在性質(zhì)包括在一點處的法矢、曲率當中的主曲率、平均曲率和高斯曲率。曲面的分片主要分為曲面的粗分和曲面的細分。

2.1 復雜曲面粗分

曲面粗分的過程：通過空間離散復雜曲面記錄型值點，然后計算離散型值點處平均曲率、高斯曲率、主曲率和曲面法矢。通過判斷高斯曲率和平均曲率正負將曲面整體劃分為凹面、凸面和馬鞍面，其中馬鞍面又分為鞍脊、鞍谷和極小面，表1為高斯曲率和平均曲率符號決定的曲面形狀。

主曲率對曲面形狀的影響：

對于曲面上的每一點，總是存在一個最大法曲率和一個最小法曲率。設(shè)k₁為最大主曲率，k₂為最小主曲率，根據(jù)主曲率可計算出高斯曲率和平均曲率：

高斯曲率為：K=k₁k₂

平均曲率為：H=（k₁+k₂）/2

從上面兩式可以看出，k₁、k₂是下面二次方程的兩個根：

K²-2HK+K=0

因此，k₁、k₂可以由每一個點處的高斯曲率K和平均曲率日計算得到，在一個曲面上，K=H²的點叫臍點，表示兩個主曲率相等，同時也代表每個方向都可以是主方向，即臍點的法曲率是常數(shù)，這就要求臍點附近的曲面必須是球面或平面。

曲面主曲率是一對非常有效的曲率描述符，分析兩個主曲率與分析高斯曲率、平均曲率具有相同的效果，但是兩個主曲率和高斯曲率、平均曲率在應(yīng)用時卻各有裨益。

1）曲面的兩個主曲率與方向有關(guān)，而曲面的平均曲率和高斯曲率卻與方向無關(guān)。

2）曲面兩個主曲率的符號可以決定6種曲面形狀，分別為峰面、脊面、鞍面、平面、谷面、和凹面。曲面的平均曲率和高斯曲率符號可以確定8種曲面形狀，分別為峰面、脊面、鞍脊、平面、極小面、凹面、谷面和鞍谷。其中鞍脊、鞍谷、極小面均屬于鞍面范疇。

3）兩個主曲率的計算要比平均曲率和高斯曲率的計算復雜。

4）曲面的高斯曲率是曲面的內(nèi)在特性，它具有等距不變性。兩個主曲率和平均曲率是曲面的外在特性。

通過以上分析，本文采用高斯曲率和平均曲率來判定曲面的形狀。圖2為曲面粗分的MATTJAB仿真圖。

2.2 復雜曲面細分

曲面細分過程：在將曲面進行初步劃分后，利用K-means算法進一步得到足夠數(shù)量的曲面片、每個曲面片的聚類中心，將曲率相似又相近的點歸為一類，形成劃分區(qū)域。

K-means算法是將n個待計算點分類到預(yù)設(shè)的k個聚類中，使得每個待計算點距離其相應(yīng)的聚類中心點的距離最小。反復進行以上計算，并將計算所得的數(shù)據(jù)分成不同的種類使得聚類效果最好，進而使得每個劃分的類別緊湊、獨立。

假定選定樣本為{x^（1），…，x^（2）}，每個x^（i）∈R^N。隨機選取五個聚類中心點為μ₁，μ₂，…μ_k∈Rⁿ。對于每一個樣例i，計算其應(yīng)該屬于的類

對于每一個類.j，重新計算該類的聚類中心

k是計算之前預(yù)設(shè)的聚類數(shù)目，c（i）表示第i個樣本與預(yù)設(shè)k個類距離最近的類，其值為l到k中的任意一個值。質(zhì)心μj代表樣本中心點屬于同一類的概率。

K-means聚類算法迭代的具體過程如下：

1）從所有的點中抽取k個作為初始聚類中心點，對其余的點進行遍歷計算，尋找與其距離最近的聚類中心點，并將其加入到初始類中。

2）將新加入的聚類中心點作為新的聚類進行重新計算，找到與其距離最近的中心點，加入到該聚類中。

3）反復進行2），直到連續(xù)的兩次迭代中出現(xiàn)相同的聚類中心點為止。

下圖3展示了對n個樣本點進行K-means聚類的效果，這里k取2。

2.3 曲面邊界提取

采用K-means聚類算法劃分成不同區(qū)域的曲面邊界并沒有確切的定義。為了獲得確切的邊界，在此引入Voronoi圖。Voronoi圖又叫泰森多邊形或Dirichlet圖，其概念是由Dirichlet于1850年首先提出。Voronoi圖是一系列相鄰兩點垂直平分線連接而成的多邊形。N個在平面上有區(qū)別的點，按照最鄰近原則劃分平面；每個點與它的最近鄰區(qū)域相關(guān)聯(lián)。生成Voronoi圖的方法有矢量方法和柵格方法。下圖4為選用矢量方法生成的曲面邊界。

Voronoi圖多邊形圖由點集生成為擴展為由點、線、面集生成后，Voronoi圖就具有了以下特性：

1）每個Voronoi圖多邊形內(nèi)有一個生成元；

2）每個Voronoi圖多邊形內(nèi)點到該生成元距離短于到其他生成元距離；

3）多邊形邊界上的點到生成此邊界的生成元距離相等；

4）鄰接圖形的Voronoi多邊形界線以原鄰接界線作為子集。

3 曲面劃分實驗驗證

為了驗證采用K-means方法劃分曲面在加工過程中的有效性，將整體采用等參數(shù)線法加工與本文提出的方法進行對比實驗。其中本文劃分的區(qū)域中曲率變化明顯的區(qū)域采用等殘留高度法進行加工，曲率變化不明顯的區(qū)域采用等參數(shù)線法進行加工。

3.1 實驗條件

實驗設(shè)備：VDL-1000E三軸數(shù)控銑床、粗加工和半精加工采用‘P30的環(huán)形刀，精加工采用（P8的球頭刀、工件材料為2A12鋁合金、工件的加工尺寸為：40mm×40mm。各階段加工參數(shù)如表2所示。

3.2 實驗結(jié)果及分析

對比實驗結(jié)果如下表3所示。

由表3可以看出，在加工參數(shù)相同，并滿足一定精度要求的情況下，采用本文提出的方法加工的零件路徑長度更短，加工時間也相應(yīng)的縮短了39%。加工零件表面質(zhì)量對比如圖6所示，其中，圖6（a）為傳統(tǒng)方法加工，圖6（b）為本文提出方法的加工。從圖6可以看出，本文所提出的方法由于是分區(qū)域加工，每個區(qū)域的曲率相近，并且不同的區(qū)域根據(jù)其曲率的差異選用不同的加工方式，所以曲率跳動過大引起的振動比傳統(tǒng)方法的小，因此，加工后的零件表面震紋更小，殘留高度也比較均勻，加工零件的表面光順性更好。

實驗過程中所選用的刀具及樣件以及加工方式均是通用的，因此，優(yōu)化方法可以在實際生產(chǎn)加工中推廣使用。

4 結(jié)論

為了解決復雜曲面單一加工加工質(zhì)量差和效率低的問題，將K-means聚類算法與Voronoi圖算法相結(jié)合，對復雜曲面進行劃分，針對劃分的曲面選擇適當?shù)募庸し绞竭M行加工。

1）通過對曲面內(nèi)在性質(zhì)的分析，掌握曲面的主曲率、高斯曲率和平均曲率對曲面凸凹性的影響，并通過計算離散曲面各點的主曲率、高斯曲率和平均曲率初步確定劃分區(qū)域，結(jié)合K-means聚類算法和Voronoi圖算法完成曲面最終劃分；

2）通過一組相同型面、相同參數(shù)、不同加工方式的對比試驗，對傳統(tǒng)加工方式和劃分后曲面分片加工后零件的表面進行分析，證明本文提出方法是正確及可行的，并且本文提出的方法縮短了加工路徑，縮短了39%的加工時問，提高加工效率，減小零件表面震紋，改善了加工質(zhì)量。

（編輯：王萍）