李 琦，董 盟，高軍萍

（河北工業(yè)大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，天津 300401）

二維四元零相關(guān)區(qū)周期互補陣列偶集的構(gòu)造方法研究

李 琦，董 盟，高軍萍

（河北工業(yè)大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，天津 300401）

基于二維周期互補陣列偶集，通過設(shè)計一種新型的移位序列，利用交織方法構(gòu)造二維二元零相關(guān)區(qū)周期互補陣列偶集，進而利用一種新的逆Gray映射，生成二維四元零相關(guān)區(qū)周期互補陣列偶集.結(jié)果表明，陣列偶集中各個子集之間具有良好的相關(guān)特性.該方法將周期互補序列偶的思想應(yīng)用到陣列集的構(gòu)造中，給出了一種二維四元零相關(guān)區(qū)周期互補陣列偶集的構(gòu)造方法.該構(gòu)造方法根據(jù)零相關(guān)區(qū)長度的取值不同，能夠獲得大量新的構(gòu)造結(jié)果，從而為實際工程提供更多的信號選擇.

周期互補陣列偶集；零相關(guān)區(qū)；交織方法；移位序列；逆Gray映射

0 引言

具有良好的相關(guān)特性的二維陣列集在時頻編碼、孔徑成像、位置探測等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用.為了尋找具有良好性能的二維陣列，唐小虎等人首次將零相關(guān)區(qū)的概念引入陣列集的構(gòu)造中[1].通常構(gòu)造的零相關(guān)區(qū)都是在原點周圍一個矩形區(qū)域內(nèi)的相關(guān)函數(shù)為零[2-3]，文獻 [4]介紹了一種構(gòu)造十字形零相關(guān)區(qū)的構(gòu)造方法，其零相關(guān)區(qū)是矩形零相關(guān)區(qū)的1.5倍.文獻 [5]將二元零相關(guān)陣列集推廣到三元.文獻 [6]基于二維最佳二進陣列，利用逆Gray映射構(gòu)造了一類最佳二維四元零相關(guān)陣列集.為了克服陣列的相關(guān)函數(shù)、序列長度與數(shù)目的理論限制，趙曉群等學(xué)者提出了陣列偶的概念并對其進行了深入研究[7-8].文獻 [9]給出了一種基于二元序列、逆Gary映射構(gòu)造四元序列的新方法.文獻 [10]基于二維二元周期互補陣列集和移位序列，利用逆Gray映射，提出了一種二維四元零相關(guān)區(qū)互補陣列集的構(gòu)造方法.此外，互補序列集、序列偶集的構(gòu)造[11-14]可以推廣到陣列集的構(gòu)造中，從而為陣列偶集的構(gòu)造提供新的思路與方法.

本文給出了一種二維四元零相關(guān)區(qū)周期互補陣列偶集的構(gòu)造方法.基于二維周期互補陣列偶集，通過一種新型移位序列選擇合適的零相關(guān)區(qū)長度，經(jīng)過交織生成二維二元零相關(guān)區(qū)周期互補陣列偶集，再利用一種新的逆Gray映射，生成二維四元零相關(guān)區(qū)周期互補陣列偶集，各個子集之間具有良好的相關(guān)性.

1 基本概念

定義1[7]設(shè)x=（x0，x1，…，xL-1）和y=（y0，y1，…，yL-1，） 都是周期為L的序列，則x和y構(gòu)成一個序列偶，記為（x，y），序列偶的周期自相關(guān)函數(shù)為

其中：i+τ=（i+τ）mod L；*表示復(fù)數(shù)共軛.二元序列偶的取值為 {-1，1}，可用 {0，1}來表示，四元序列偶的取值為 {±1，±j}，可用 {0，1，2，3}來表示.若為二元序列偶，式（1）不需取共軛.

定義2[7]設(shè)X=[xi，j]，Y=[yi，j]，其中0≤i≤N1-1，0≤j≤N2-1，則稱（X，Y）是一個N1×N2階陣列偶，對于任意的（τ1，τ2），0≤τ1≤N1-1，0≤τ2≤N2-1，陣列偶的周期自相關(guān)函數(shù)表示為

定義3[7]設(shè)（X，Y），（U，V） 均為N1×N2階陣列偶，對于任意的（τ1，τ2），0≤τ1≤N1-1，0≤τ2≤N2-1，（X，Y），（U，V）的周期互相關(guān)函數(shù)表示為

定義4[13]設(shè)為M個陣列偶集構(gòu)成的陣列偶集合，每個陣列偶集包含P個N1×N2階二維子陣列偶.其中，，0≤i≤N1-1，0≤j≤ N2-1，陣列偶集Ar′的相關(guān)函數(shù)滿足下式

其中，F(xiàn)為非零常數(shù).當(dāng)r1=r2時，上式為自相關(guān)函數(shù)，當(dāng)r1≠r2時，為互相關(guān)函數(shù).

對于任意τ1，τ2，0≤r1≠r2≤M-1（4） 式成立，則正交互補，且互為周期互補伴集.稱集合A′

為一個二維周期互補陣列偶集，記為PCAPS-（M，P，（N1，N2））.

定義5[13]設(shè)，0≤r≤M-1}為M個陣列偶集構(gòu)成的陣列偶集合，每個陣列偶集Ar′= {A′rt，0≤t≤P-1}包含P個N1×N2階二維子陣列偶.其中，任意2個陣列偶集.若滿足下述條件

則稱A′為零相關(guān)區(qū)周期互補陣列偶集，記為ZPCAPS（M，P（N1，N2），（Z1，Z2）），其零相關(guān)區(qū)矩形面積為Z1×Z2，M為集合中零相關(guān)區(qū)周期互補陣列偶集的數(shù)目，P為每個陣列偶集中子陣列偶的數(shù)目.

定義6[8]給定N1×N2階陣列偶（X，Y）如下所示

其中：將X，Y的行向量Xi=（xi，0，…，xi，N2-1），Yi=（yi，0，…，yi，N2-1），0≤i≤N1-1當(dāng)作序列.設(shè)移位序列為eq=（eq，0，eq，）1，q=0，1，…，Q-1.根據(jù)交織運算，對陣列偶（X，Y） 的行向量Xi，Yi分別進行交織操作，可以得到N1×2N2階交織陣列偶（A，B）

引理1[15]設(shè)有基序列偶（x，y） 和移位序列ei=（ei，0，ei，1），ej=（ej，0，ej，1），（a，b）與（c，d）是基于（x，y）和ei，ej的交織序列偶，表示為

取τ=2τ1+τ2，則（a，b）和（c，d）的周期互相關(guān)函數(shù)為

定義7 文獻 [10]中提出了將二元序列映射為四元序列的方法.不同于已有方法，本文提出了一種新的映射關(guān)系，可由已知二元序列映射為新的四元序列.映射關(guān)系如

φ1（0，0）=1，φ1（0，1）=2，φ1（1，1）=3，φ1（1，0）=0，φ2（0，0）=2，φ2（0，1）=1，φ2（1，1）=0，φ2（1，0）=3

具體構(gòu)造公式如式（13），式（14）所示.（其中，為了避免符號混淆將j用ξ來代替）

其中ξ2=-1.利用此映射關(guān)系，本文設(shè)計了二維四元零相關(guān)區(qū)周期互補陣列偶集的構(gòu)造方法.

2 二維四元零相關(guān)區(qū)周期互補陣列偶集的構(gòu)造

本文設(shè)計了新的移位序列，通過移位序列和交織方法，可由已知二維二元周期互補陣列偶集構(gòu)造二維二元零相關(guān)區(qū)周期互補陣列偶集.下面首先給出移位序列的構(gòu)造方法.

2.1 移位序列的選擇

給定正整數(shù)Z2（2≤Z2

情況1：Z2為偶數(shù)，取

則eq（0≤q

當(dāng)Z2整除N2-1時，

當(dāng)Z2不能整除N2-1時，

其中：x，y為非負整數(shù)，當(dāng)N2為偶數(shù)時滿足：0≤x+y≤N2-1-QZ2；當(dāng)N2為奇數(shù)時滿足：0≤x+y≤N2-1-QZ2；且

情況2：Z2為奇數(shù)，取

則eq（0≤q≤Q-1）構(gòu)造如

當(dāng)Z2整除N2時，

其中：x，y為非負整數(shù)，0≤x+y≤Z2-2.

當(dāng)Z2不能整除N2時，

其中：x，y為非負整數(shù)，0≤x+y≤N2-QZ2，且.移位序列中的元素都是模N2運算.

定理1 移位序列集E中的移位序列具有如下性質(zhì)

其中：d0=eq1，0-eq2，0；d1=eq1，1-eq2，1；d2=eq1，0-eq2，1；d3=eq1，1-eq2，0-1.

證明：下面僅對當(dāng)Z2為偶數(shù)且Z2整除N2-1時的情況進行證明，其他情況類似.假設(shè)0≤q1

定理2 移位序列集合E中的移位序列具有如下性質(zhì)

證明：下面僅對Z2當(dāng)為偶數(shù)且Z2整除N2-1時的情況進行證明，其他情況類似.假設(shè)0≤q1

2.2 二維四元零相關(guān)區(qū)周期互補陣列偶集的構(gòu)造

根據(jù)上述所設(shè)計的新型移位序列，可以生成具有靈活零相關(guān)區(qū)大小的二元零相關(guān)區(qū)周期互補陣列偶集，進而生成四元零相關(guān)區(qū)周期互補陣列偶集，具體步驟如下.

步驟2 給定零相關(guān)區(qū)的長度Z2，確定移位序列集：E={e0，e1，…，eQ-1}，eq={eq，0，eq，1}，q=0，1，…，Q-1.

步驟3[16]通過交織法生成陣列偶集H={（Ar，Br），0≤r≤M-1}如下所示

步驟4 生成陣列偶集W：

W=（Gr，Kr）=（A0，B0）∪…∪（AM-1，BM-1）∪（C0，D0）∪…∪（CM-1，DM-1）

定理3 W為零相關(guān)區(qū)周期互補陣列偶集，表示為ZPCAPS（2MQ，P，（N1，2N2），（N1×Z2））.

證明：

情況1：假設(shè)（A（r，q1），B（r，q1）），（A（r，q2），B（r，q2））∈（Ar，Br），0≤r≤M-1.令τ2=2τ2′+τ2″，則其互相關(guān)函數(shù)為

情況2：假設(shè)（C（r，q1），D（r，q1）），（C（r，q2），D（r，q2））∈（Cr，Dr），令τ2=2τ2′+τ2″.則（A（r，q1），B（r，q1））與（C（r，q2），D（r，q2））的互相關(guān)函數(shù)為

1）當(dāng)τ2″=0時

2）當(dāng)τ2″≠0時，若0≤|τ1|≤N1-1,，則

情況3：假設(shè)

（A（r1，q1），B（r1，q1）），（C（r1，q1），D（r1，q1））∈（Gr1，Kr1），（A（r2，q2），B（r2，q2）），（C（r2，q2），D（r2，q2））∈（Gr2，Kr2），0≤r1≠r2≤M-1,令τ2=2τ2′+τ2″，則（A（r1，q1），B（r1，q1））與（A（r2，q2），B（r2，q2））的互相關(guān)函數(shù)為

1）當(dāng)τ2″=0時

綜上所述，W為二元零相關(guān)區(qū)周期互補陣列偶集，表示為ZPCAPS（2MQ，P，（N1，2N2），（N1×Z2））.

其中：0≤r≤M-1；0≤q≤Q-1；t=0，1，…，P-1；；j=0，1，…，2N2-1.進而可以得到陣列偶集R.

定理4 R為四元零相關(guān)區(qū)周期互補陣列偶集，表示為ZPCAPS（2MQ，P，（N1，2N2），（N1×Z2））.

證明：

選取（U（r，q），V（r，q））進行證明，其中0≤r≤M-1，0≤q≤Q-1，則其相關(guān)函數(shù)為

因此，R為四元零相關(guān)區(qū)周期互補陣列偶集.

3 性能比較

將本文構(gòu)造的二維四元ZPCAPS與文獻 [10，16]中生成的二維四元ZPCAS進行參數(shù)比較，結(jié)果如表1所示.

文獻 [16]采用移位、交織的方法，基于二元PCAS構(gòu)造了一類二元ZPCAS，本文采用了與其不同的新型移位序列，基于二元PCAPS構(gòu)造了一類二元ZPCAPS.文獻 [10]采用逆Gray映射、移位運算進行了二元PCAS到四元ZPCAS的構(gòu)造，本文則采用了一種新型的逆Gray映射，進行二元ZPCAPS到四元ZPCAPS的構(gòu)造，陣列偶集的數(shù)目是文獻 [10]的2倍.

表1 參數(shù)比較Tab.1 Parameter comparison

4 構(gòu)造實例

以下為生成二維四元ZPCAPS具體實例.

已知二維二元周期互補陣列偶集PCAPS-（2，2，（4，4））如下所示.其中

設(shè)Z2=3，x=0，y=0，則移位序列為e=（0，3），經(jīng)過移位與交織運算可生成二維二元ZPCAPS.

由于篇幅所限，只給出部分結(jié)果，如下所示.

經(jīng)驗證得知，陣列偶集W為二維二元ZPCAPS（4，2，（4，8），（4，3））.

由于篇幅所限，只給出部分結(jié)果，如下所示.

經(jīng)驗證得知，陣列偶集R為四元ZPCAPS（4，2，（4，8），（4，3））.

5 結(jié)束語

將周期互補序列偶的思想應(yīng)用到陣列集的構(gòu)造中，給出了一種二維四元零相關(guān)區(qū)周期互補陣列偶集的構(gòu)造方法.在二維周期互補陣列偶集的基礎(chǔ)上，通過選擇合適的移位序列通過交織生成二維二元零相關(guān)區(qū)周期互補陣列偶集.再利用一種新的逆Gray映射，生成二維四元零相關(guān)區(qū)周期互補陣列偶集，各個子集之間具有良好的相關(guān)性.本文的構(gòu)造方法根據(jù)零相關(guān)區(qū)長度的取值不同，能夠獲得大量新的構(gòu)造結(jié)果，可以為實際工程提供更多的信號選擇.

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[責(zé)任編輯 代俊秋]

Construction method of two-dimensional quaternary periodic complementary array pairs set with zero correlation zone

LI Qi，DONG Meng，GAO Junping
（School of Electronics and Information Engineering，Hebei University of Technology，Tianjin 300401，China）

Based on two-dimensional binary periodic complementary sequence pairs sets,the two-dimensional binary periodic complementary array pairs sets with zero correlation zone is constructed by the new interleaving technique and shift sequence,then use the new inverse Gray mapping to construct the two-dimensional quaternary periodic complementary array pairs sets with zero correlation zone.The resutts show that there are good correlation properties between the subsets of array paivs sets.In this method,the concept of periodic complementary sequence pairs is introduced into the array structure and a method is used to construct,the two-dimensional quaternary periodic complementary array pairs sets with zero correlation zone.According to the different values of zero correlation zone length,a large number of new structural results can be obtained,which can provide more signal selection for practical engineering.

periodic complementary array pairs sets;zero correlation zone;interleaving technique;shift sequence；inverse Gray mapping

TN 911.2

A

1007-2373（2017）01-0008-10

10.14081/j.cnki.hgdxb.2017.01.002

2016-12-27

河北省自然科學(xué)基金（F2012202116）

李琦（1974-），男，教授，博士.