范素軍， 趙瑞斌， 關(guān) 玥， 吳艷茹， 王敏彥

(1.河北醫(yī)科大學(xué) 數(shù)學(xué)教研室 河北 石家莊 050017； 2.河北醫(yī)科大學(xué) 物理教研室河北 石家莊 050017； 3.河北醫(yī)科大學(xué) 基礎(chǔ)醫(yī)學(xué)院 河北 石家莊 050017)

一類四維李代數(shù)的Rota-Baxter算子

范素軍1， 趙瑞斌2， 關(guān) 玥3， 吳艷茹2， 王敏彥1

(1.河北醫(yī)科大學(xué) 數(shù)學(xué)教研室 河北 石家莊 050017； 2.河北醫(yī)科大學(xué) 物理教研室河北 石家莊 050017； 3.河北醫(yī)科大學(xué) 基礎(chǔ)醫(yī)學(xué)院 河北 石家莊 050017)

隨著李代數(shù)及相關(guān)代數(shù)理論的發(fā)展，Rota-Baxter算子在數(shù)學(xué)物理中得到廣泛應(yīng)用.給出了復(fù)數(shù)域上導(dǎo)代數(shù)維數(shù)等于一的四維李代數(shù)的分類，對得到的每一類李代數(shù)的權(quán)為零的Rota-Baxter算子結(jié)構(gòu)進行了研究，給出了權(quán)為零的Rota-Baxter算子的完全分類，并給出了每一個Rota-Baxter算子的具體表示.

李代數(shù)； Rota-Baxter算子； 導(dǎo)代數(shù)

0 引言

可解李代數(shù)的結(jié)構(gòu)在李代數(shù)的結(jié)構(gòu)研究中起著非常重要的作用[1-3]，隨著李代數(shù)理論的不斷發(fā)展和完善，其理論與方法已逐步滲透到數(shù)學(xué)物理的許多領(lǐng)域.文獻[4]研究了Rota-Bater李代數(shù)在理論物理上的應(yīng)用.文獻[5]給出了導(dǎo)代數(shù)維數(shù)等于一的二維和三維李代數(shù)，且權(quán)為零的Rota-Baxter算子的具體表達式,并通過Rota-Baxter算子的可逆性討論了李代數(shù)的冪零性.李代數(shù)的Rota-Baxter算子與經(jīng)典的Yang-Baxter方程的解從另一方面反映出李代數(shù)的代數(shù)結(jié)構(gòu)[5-8].近幾年Rota-Baxter代數(shù)在Yang-Baxter方程、Hopf代數(shù)、微分代數(shù)、量子域理論等方面也得到很好的應(yīng)用[9-12].本文研究復(fù)數(shù)域上導(dǎo)代數(shù)維數(shù)等于一的四維可解李代數(shù)的權(quán)為零的Rota-Baxter算子的結(jié)構(gòu).

設(shè)L是域F上的線性空間，如果在L上存在斜對稱的二元線性運算: [,]:L×L→L，滿足對任意x,y,z∈L,[x,[y,z]]=[[x,y],z]+[y,[x,z]]，則稱L是域F上的李代數(shù).L的由所有[x,y]生成的子代數(shù)，稱為李代數(shù)L的導(dǎo)代數(shù)，記為L1.對每個自然數(shù)s，記L(s+1)=[L(s),L(s)]，如果存在自然數(shù)s，使得L(s)=0，則稱L是可解的李代數(shù).顯然，如果L是導(dǎo)代數(shù)維數(shù)等于一的李代數(shù)，則L是可解李代數(shù).設(shè)L是域F上的李代數(shù)，λ∈F，如果線性變換P:L→L滿足下列等式，則稱P為李代數(shù)L的權(quán)為λ的Rota-Baxter算子.對任意x,y∈L,

[P(x),P(y)]=P([P(x),y]+[x,P(y)])+λP[x,y].

(1)

如果λ=0，則稱P為李代數(shù)L的權(quán)為零的Rota-Baxter算子，以下簡稱P為李代數(shù)L的Rota-Baxter算子.

命題1 線性變換P:L→L為李代數(shù)L的權(quán)為零的Rota-Baxter算子的充要條件是，P/α為李代數(shù)L的權(quán)為零Rota-Baxter算子，其中α為域F中任意非零的數(shù).

證明 由等式(1)知，λ=0時，P為李代數(shù)L的權(quán)為零的Rota-Baxter算子的充要條件是，[P(x),P(y)]=P([P(x),y]+[x,P(y)])成立.顯然，此等式成立的充要條件是，兩邊都乘以非零數(shù)k,等式仍然成立.

1 主要結(jié)論

在本文中，主要討論復(fù)數(shù)域C上的李代數(shù).

引理1[7]設(shè)L是復(fù)數(shù)域C上導(dǎo)代數(shù)維數(shù)等于一的李代數(shù)，x1,x2,x3,x4是L的一組基,則在同構(gòu)的意義下僅有下面3類：

為了討論李代數(shù)L的Rota-Baxter算子，首先引入下面一些符號.設(shè)P:L→L是權(quán)為零的Rota-Baxter算子,P在基x1,x2,x3,x4表示為

(2)

定理1 設(shè)L是引理1中的四維李代數(shù)L1,設(shè)P:L→L是線性變換，P是L的權(quán)為零的Rota-Baxter算子的充要條件是P=0或P在基x1,x2,x3,x4下的矩陣為下列情形之一：

證明 設(shè)L是李代數(shù)L1，P:L→L是權(quán)為零的Rota-Baxter算子，P在基x1,x2,x3,x4的表示為等式(2). 顯然，P=0是Rota-Baxter算子. 如果P≠0，由權(quán)為零的Rota-Baxter算子的定義、等式(1)及L1的乘法表可得:a21a42-a22a41=-a41a33；a11a42-a12a41=a42a33；(a11+a22)a33=a11a22-a12a21；(a11+a22)a34=0；a31=a32=0；a42a34=a41a34=0.下面分幾種情形進行討論.

1) 當a11+a22=0 時，得到a11a22-a12a21=0,如果a11=0，則a22=0， 所以，a12a21=0. 如果a34≠0，得到a42=a41=0，再由命題1，可得矩陣A1,A2,A3. 如果a34=0，得到a12a21=0，a41a42a33=0，分別討論各種情形可得到矩陣A4,…,A28.如果a11≠0，由命題1，可以徦設(shè)a11=1，則a22=-1，a12a21=-1.如果a34≠0，得到a42=a41=0，得到A29. 如果a34=0, 得到矩陣A30,A31.

2) 當a11+a22≠0 時，則a31=a32=a34=0.如果a11=0，則a22≠0，不妨設(shè)a22=1. 如果a33=0，得到a12a21=0,a41=a21a42, 得到矩陣A32,A33,A34. 如果a33≠0，得到a12a21=a33且a41=a42=0,得到矩陣A35.如果a11≠0，不妨設(shè)a11=1, 則a22≠-1，在a33=0的情形下，得到a12a21=a22,可得到矩陣A36,A37.在a33≠0的情形下，得到a12a21=-a33(1+a22)+a22.如果a12=0，得到a22=0,a42=a41=0， 或是a41=-a21a42/a33,a42≠0,a33≠0, 分別得到矩陣A38,A39.如果a12≠0, 得到等價方程:a21a42-a22a41=-a41a33;a42-a12a41=a42a33;(1+a22)a33=a22-a12a21.如果a22=a33，則a41=a42=0，得到矩陣A40. 如果a22≠a33，由上述方程組進行討論可知a41=a42=0，得到矩陣A41.證畢.

定理2 設(shè)L是引理1中的四維李代數(shù)L2,設(shè)P:L→L是線性變換，P是L的權(quán)為零的Rota-Baxter算子的充要條件是,P在基x1,x2,x3,x4下的矩陣為下列情形之一:

證明 由權(quán)為零的Rota-Baxter算子的定義及引理1可知， 當L是李代數(shù)L2時， 設(shè)P:L→L是權(quán)為零的Rota-Baxter算子. 由等式(1)、(2)及L1的乘法表得到下列關(guān)系同時成立:

與定理1的證明方法類似，分幾種情形進行討論.

1)a11+a22=0 時，得到a11a22-a12a21=0.如果a22=0，則a11=0 ，a12a21=0,a12a31=a32a23=a32a24=0,a12a41=a23a41=a41a24=a42a23=a42a24=a23a31=a31a24=0, 分別討論各種情況可得到矩陣A1,…,A8.如果a22≠0，由命題1，不妨設(shè)a22=1,則a11=-1.上述討論可知a12a21=1.再由上面的方程組可得到矩陣A9.

2) 當a11+a22≠0 時，a21=a23=a24=0,得到(a11+a22)a22=a11a22，所以a22=0,得到矩陣A10. 證畢.

定理3 設(shè)L是引理1中的四維李代數(shù)L3,P:L→L是線性變換，P是L的權(quán)為零的Rota-Baxter算子的充要條件是，P在基x1,x2,x3,x4下的矩陣為下列情形之一：

a22≠-1,a12≠-a13,a42≠-a43；

證明 設(shè)P:L→L是權(quán)為零的Rota-Baxter算子， 由權(quán)為零的Rota-Baxter算子的定義及引理1可知， 當L是李代數(shù)L3時， 由等式(1)、(2)及L1的乘法表得到下列關(guān)于系數(shù)的方程組：

分幾種情形進行討論.

1)a11+a22+a23≠0 時，得到a31=a32=a34=a33=0. 且由a11∶(a12+a13)=a21∶(a22+a23)=a41∶(a42+a43), 得到矩陣A1,…,A19.

2)a11+a22+a23=0 時，若a11+a32+a33≠0，仍可得矩陣A1,…,A19.如果a11+a32+a33=0，a31≠0，得到a41=0,a21=a31，a42+a43=0，且有a11a32-a12a31+a11a33-a13a31=a11a22-a12a21+a11a23-a13a21=0.可得矩陣A20,A21. 當a31=0時，得到a11=0，所以，a22+a23=0,a32+a33=0. 在a32≠0時，由命題1，得到a41=a21=0，a42=-a43, 得到矩陣A22. 在a32=0時，得到a33=0, 得到矩陣A23,A24,A25. 證畢.

[1] HUMPHREYS J E. Introduction to lie algebras and representation theory[M]. New York: Springer-verlag, 1972.

[2] MUBARAKZJANOV G M.Classification of solvable lie algebras of sixth order with a non-nilpotent basis element[J]. Izv Vyssh Ucebn Zaved Mat,1963,35(4):104-116.

[3] PATERA J, ZASSENHAUS H. Solvable lie algebras of dimension ≤4 over perfect fields[J].Linear algebra and its application, 1990,142(1): 1-17.

[4] MAKHLOUF A,YAU D.Rota-Baxter Hom-Lie-admissible algebras[J].Communications in algebra,2014,42(3):1231-1257.

[5] 范素軍，劉冬艷，吳艷茹,等.李代數(shù)的Rota-Baxter算子[J].河北師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2014,38(6)：541-544.

[6] PEI J,BAI C M,GUO L. Rota-Baxter operators on sl(2,C) and solutions of the classical Yang-Baxter equation[J].Journal of mathematical physics,2014,55(2):368-378.

[7] BAI C M .A unified algebraic approach to the classical Yang-baxter equation[J].Journal of physics a-mathematical and theoretical, 2007,40(36):11073-11082.

[8] DRINFEL’D V G.Quantum groups[C]//Proceedings of the International Congress of Mathematicians.California:Berkeley,1986.

[9] GUO L.What is a Rota-Baxter algebra[J].Notices of the American mathematical society,2009,56(11):1436-1437.

[10]EBRAHIMI-FARD K, GUO Li. Free Rota-Baxter algebras and rooted trees[J]. Journal of algebra and its applications, 2008,7(2):167-194.

[11]EBRAHIMI-FARD K, GUO Li.Rota-Baxter algebras and dendriform algebras[J]. Journal of pure applied algebra, 2008,212(2): 320-339.

[12]EBRAHIMI-FARD K, GUO Li.Rota-Baxter algebras in renormalization of perturbative quantum field theory[J]. Fields institute communications,2007,50: 47-105.

ofPhysics,HebeiMedicalUniversity，Shijiazhuang050017,China; 3.CollegeofBasicMedical,

HebeiMedicalUniversity,Shijiazhuang050017,China)

(責(zé)任編輯：方惠敏)

Rota-Baxter Operators on a Class of 4-dimensional Solvable Lie Algebras

FAN Sujun1, ZHAO Ruibin2, GUAN Yue3, WU Yanru2, WANG Minyan1

(1.DepartmentofMedicalMathematics,HebeiMedicalUniversity，Shijiazhuang050017,China; 2.Department

With the development of Lie algebra and related algebra theory, Rota-Baxter operator was widely used in mathematics and physics. The classification of 4-dimensional Lie algebra with one-dimensional derived algebra over the complex number field was given, and the completely classification of Rota-Baxter operators with weight zero on the Lie algebra was also given, and the concrete expression of each Rota-Baxter operators of weight zero was provided as well.

Lie algebra; Rota-Baxter operator; derived algebra

2016-08-22

河北省自然科學(xué)基金項目(A2010000194)；河北省教育廳科學(xué)研究計劃項目(Z2015010).

范素軍(1981—)，女，河北石家莊人，講師，主要從事應(yīng)用數(shù)學(xué)、代數(shù)學(xué)和統(tǒng)計學(xué)研究,E-mail:fanny7138@163.com.

O152.5

A

1671-6841(2017)01-0011-06

10.13705/j.issn.1671-6841.2016207