董浙南

在九年級的中考復(fù)習(xí)中，動點(diǎn)問題一直都是重點(diǎn)題型，而且常常以壓軸題的位置出現(xiàn)，它蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，需要學(xué)生具備良好的解題技巧和能力。而學(xué)生卻因?yàn)檎也坏絼狱c(diǎn)中的不動點(diǎn)，畫不出運(yùn)動軌跡，所以就找不到突破口。動直角是動點(diǎn)問題中的冰山一角，所謂“動直角”，是指角的頂點(diǎn)位置按照一定的規(guī)律軌跡在運(yùn)動，并且角度始終是直角。所以，我們要解決利用動直角求線段的最值，首先要準(zhǔn)確無誤地畫出該動直角頂點(diǎn)的運(yùn)動軌跡（定圓），然后以不變應(yīng)萬變。但是要找到其中的不變，找到解決問題的突破口，對于學(xué)生來說，的確是件不容易的事。下面我僅從教學(xué)中遇到的幾題提煉出其中一個類型，來闡述一種解題的教學(xué)方法。

例1 如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，將30°的三角尺的直角頂點(diǎn)O放在坐標(biāo)原點(diǎn)，其斜邊兩端點(diǎn)A，B分別在x軸、y軸上，且AB=12cm。點(diǎn)C是平面內(nèi)的一個動點(diǎn)，始終滿足∠ACB=90°，求點(diǎn)C與點(diǎn)O之間距離的最大值。

學(xué)情分析：一般情況下，往往讓我們求兩點(diǎn)間距離的最小值，可以利用“兩點(diǎn)之間線段最短”，也可以利用“垂線段最短”，但本題卻求兩點(diǎn)間距離的最大值。常規(guī)做法：用二次函數(shù)的形式來表示該兩點(diǎn)間的距離，利用二次函數(shù)的最值來求解?？墒?，本題如若用函數(shù)思想來完成，學(xué)生幾乎不知道該令什么是自變量，所以毫無頭緒。

考點(diǎn)：圓周角定理；直角三角形斜邊上的中線；兩點(diǎn)之間線段最短。

分析：雖然點(diǎn)C是動點(diǎn)，但∠ACB=90°這個條件始終不變。利用“90°的圓周角所對的弦是直徑”這一定理，從而找到一個以AB為直徑的定圓，而點(diǎn)C的運(yùn)動軌跡恰巧在該圓上。

解：如圖2，∵∠ACB=∠AOB=90°

∴點(diǎn)C，O都在以AB為直徑的圓D上

∴CO是圓D的一條弦

即當(dāng)CO為直徑時，CO最大

此時CO=AB=12cm

當(dāng)然，利用三角形的“兩邊之和大于第三邊”也可以解決。取AB中點(diǎn)D，連接CD與OD，因?yàn)镃D=OD=6，所以當(dāng)C、D、O三點(diǎn)共線時CO最大，等于12cm

總結(jié)：解決本題的關(guān)鍵在于能夠找到點(diǎn)C在運(yùn)動變化中的不變，并借助圓或三角形的有關(guān)知識點(diǎn)來解答問題，學(xué)生看到這樣一個圓，問題就迎刃而解，充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)中圓的四兩撥千斤之功效。

例2 如圖3，在邊長為■的正方形ABCD中，動點(diǎn)F，E分別以相同的速度從D，C兩點(diǎn)同時出發(fā)向C和B運(yùn)動（任何一個點(diǎn)到達(dá)即停止），在運(yùn)動過程中，求線段CP的最小值。

學(xué)情分析：一般情況下，求一條線段的最小值都是利用“垂線段最短”或是“兩點(diǎn)之間線段最短”等知識點(diǎn)來解決的，但這道題利用以上兩個常用的知識點(diǎn)無法解決，學(xué)生甚至都找不到不變的量，找不到CP最小時的位置，關(guān)鍵在于畫不出點(diǎn)P的運(yùn)動路徑。

考點(diǎn)：圓周角定理；全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；點(diǎn)與圓的位置關(guān)系。

分析：首先對于即將參加中考的學(xué)生來說，看到圖3，根據(jù)長期的解題經(jīng)驗(yàn)，他們肯定可以得到△ABF≌△BCF，從而得到AE與BF垂直且相等，也就是說∠APB=90°恒成立。這樣此題就比較明朗了，點(diǎn)P一定在以AB為直徑的半圓上（如圖4），當(dāng)A、P、C三點(diǎn)共線時CP最小。

解：由題意得：BE=CF

∵AB=BC，∠ABE=∠BCE=90°

∴△ABE≌△BCF

∴∠BAE=∠CBF

∵∠CBF+∠ABF=90°

∴∠BAE+∠ABF=90°

∴AE⊥BF

∴∠APB=90°

即點(diǎn)P在以AB為直徑的半圓O上，如圖4

當(dāng)點(diǎn)O、P、C三點(diǎn)共線時CP最短，等于OC-OP

此時CP=■-■

總結(jié)：本題的關(guān)鍵在于點(diǎn)P的運(yùn)動軌跡，一旦朝這個方向想了，并且畫出了準(zhǔn)確的圖，動中求靜，使學(xué)生充分感受到解決動點(diǎn)問題的實(shí)質(zhì)是變動為靜、尋找不變的量。

例3 （2015年武漢市中考第10題）如圖5，△ABC，△EFG均是邊長為2的等邊三角形，點(diǎn)D是邊BC，EF的中點(diǎn)，線段AG，F(xiàn)C相交于點(diǎn)M。當(dāng)△EFG繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)時，線段BM的最小值是（）

A.2-■ B.■+1

C.■ D.■-1

考點(diǎn)：圓周角定理；相似三角形；等腰三角形。

分析：先考慮讓△EFG和△BCA重合，然后把△EFG繞點(diǎn)D順時針旋轉(zhuǎn)，聯(lián)結(jié)AG、DG，根據(jù)旋轉(zhuǎn)角相等，旋轉(zhuǎn)前后的對應(yīng)線段相等，容易發(fā)現(xiàn)∠ADG=∠FDC，DA=DG，DF=DC，故∠DFC=∠DCF=∠DAG=∠DGA。又根據(jù)等腰三角形的“三線合一”可知∠FDG=90°，所以∠DFG+∠DGF=90°，即∠DFC+∠CFG+∠DGF=90°。所以∠AMC=∠MGF+∠CFG=∠AGD+∠DGF+∠CFG=∠DFC+∠DGF+∠CFG=90°。故點(diǎn)M始終在以AC為直徑的圓上。

解：連接AD，DG，

由等腰三角形的“三線合一”得：∠ADC=∠FDG=90°

∴∠ADG=∠CDF

∵AD=DG，DF=DC

∴△ADG∽△FDC

∴∠DFC=∠DGA

∵∠DFC+∠MFG+∠DGF=90°

∴∠DGA+∠MFG+∠DGF=90°

即∠AMC=90°

∴點(diǎn)M一定在以AC為直徑的圓上

即BM最小=BP=BO-OP=■-1

故答案為D。

總結(jié)：本題的關(guān)鍵在于∠AMC=90°恒不變。對于此題，我們還可以求出BM的最大值。其實(shí)，利用三角形的三邊和差關(guān)系求某條線段的最值問題是比較常見的。

從這三道題中我們可以看到，要解決這種隱含動直角的題，就必須找到題目中所隱含的那個定圓，然后利用“90°的圓周角所對的弦是直徑”這一圓周角定理的推論，可以輕松畫出動直角頂點(diǎn)的運(yùn)動軌跡，然后解決動直角問題，求出題意中所求線段的最值，這種方法往往和“兩點(diǎn)之間線段最短”一起結(jié)合著用，達(dá)到事半功倍的效果。

數(shù)學(xué)也可以有優(yōu)美的弧線，圓就是最美麗的圖案。從動直角找到定圓，最后求出線段的最值，這就是一個動中找靜的過程，它蘊(yùn)含著豐富的數(shù)形結(jié)合、分類轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，需要我們師生共同努力，譜寫更加優(yōu)美的思維閃光點(diǎn)。

（作者單位：浙江省余姚市三七市鎮(zhèn)初級中學(xué)）