王永源

“人船模型問題”是力學(xué)中動(dòng)量部分司空見慣的問題，可有一些問題從表面上不易看出屬于“人船模型”問題，但由于這類問題往往涉及相對(duì)運(yùn)動(dòng)，不易求解速度之間的關(guān)系，所以對(duì)于部分學(xué)生來講求解和分析此類問題時(shí)感覺非常棘手。但由于此類問題本質(zhì)上是屬于“人船模型”問題，所以采取人船模型問題的求解方法進(jìn)行解答往往得到事半功倍的效果。現(xiàn)舉例如下：

一、斜面上的情況問題

如圖1所示，質(zhì)量為M的斜面體長(zhǎng)為L(zhǎng)，傾角為θ。一個(gè)質(zhì)量為m且可以看作質(zhì)點(diǎn)的小物塊從斜面體的最高點(diǎn)由靜止釋放，一切摩擦均不計(jì)，求小物塊下滑過程中斜面體的位移？

解析：將m和M作為一個(gè)系統(tǒng)，系統(tǒng)水平方向不受外力，所以系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒。其實(shí)這兩個(gè)物體組成的系統(tǒng)水平方向?qū)儆凇叭舜Ｐ汀?，不妨稱之為“類似人船模型”，簡(jiǎn)稱為“類人船模型”。

設(shè)小物塊在下滑過程中斜面體的位移大小為x，方向是水平向右的。則小物塊在下滑過程中的水平位移大小為L(zhǎng)-x，任一時(shí)刻m的水平速度為v1，M的水平速度為v2。

由水平方向的動(dòng)量守恒可得：mv1=Mv2，

設(shè)微小時(shí)間為Δt，則mv1Δt=Mv2Δt，m？鄱（v1Δt）=M？鄱（v2Δt），即m（L-x）=Mx，所以x=■。

即小物塊下滑過程中斜面體的位移大小為■，方是水平向右的。

二、豎直方向上的情況問題

如圖2所示，氣球和梯子用不可伸長(zhǎng)的繩子連接，總質(zhì)量為M，質(zhì)量為m的人站立在梯子的最下端，懸在空中靜止不動(dòng)。不考慮刮風(fēng)的情況，若此人沿梯子向上爬的距離為L(zhǎng)，最后仍站立在梯子上。求在此人向上爬的過程中梯子的位移？

解析：將氣球、繩子、梯子和人作為一個(gè)系統(tǒng)，豎直方向合外力為零，所以豎直方向動(dòng)量守恒，其實(shí)質(zhì)屬于豎直方向的“類人船模型”問題。

設(shè)此人在向上爬的過程中梯子的位移為x，方向豎直向下，則人豎直向上的位移為L(zhǎng)-x，任一時(shí)刻m的豎直速度為v1，M的豎直速度為v2。

根據(jù)豎直方向上動(dòng)量守恒可得：mv1=Mv2，

設(shè)微小時(shí)間為Δt，則mv1Δt=Mv2Δt，

m？鄱（v1Δt）=m？鄱（v2Δt），即m（L-x）=Mx，所以x=■。

即在此人向上爬的過程中梯子的位移大小為■，方向豎直向下。

三、一般情況問題

1.如圖3所示，光滑水平桿上套一質(zhì)量為M的環(huán)，現(xiàn)用一長(zhǎng)度為L(zhǎng)且不可伸長(zhǎng)的輕質(zhì)細(xì)繩將環(huán)與一質(zhì)量為m可視為質(zhì)點(diǎn)的小球相連接。將小球拉至與環(huán)等高且細(xì)繩被拉直時(shí)由靜止釋放，不計(jì)空氣阻力。求小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)的過程中環(huán)的位移？

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解析：將環(huán)、細(xì)繩和小球作為一個(gè)系統(tǒng)，水平方向不受外力，所以水平方向動(dòng)量守恒，其實(shí)質(zhì)屬于水平方向上的“類人船模型”問題。

設(shè)小球從釋放到運(yùn)動(dòng)至最低點(diǎn)的過程中環(huán)的位移為x，方向水平向右。則小球在水平方向上的位移大小為L(zhǎng)-x，任一時(shí)刻m的水平速度為v1，M的水平速度為v2。

根據(jù)系統(tǒng)水平方向上的平均動(dòng)量守恒得：mv1=Mv2，

設(shè)微小時(shí)間為Δt，則mv1Δt=Mv2Δt，m？鄱（v1Δt）=M？鄱（v2Δt），即m（L-x）=Mx，所以x=■。即小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)的過程中環(huán)的位移大小為■，方向是水平向右的。

2.如圖4所示，質(zhì)量為M帶有半徑為L(zhǎng)的半圓光滑凹槽靜止在光滑的水平面上，一個(gè)質(zhì)量為m可視為質(zhì)點(diǎn)的小球從槽的右邊緣最高點(diǎn)由靜止釋放。求小球第一次運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)凹槽的位移？

解析：將小球和凹槽作為一個(gè)系統(tǒng)，水平方向不受外力，所以水平方向動(dòng)量守恒，其實(shí)質(zhì)屬于水平方向的“類人船模型”問題。

設(shè)小球從靜止釋放到運(yùn)動(dòng)至最低點(diǎn)的過程中凹槽的位移大小為x，方向水平向右。則小球在此過程中水平方向的位移大小為L(zhǎng)-x，任一時(shí)刻m的水平速度為v1，M的水平速度為v2。

根據(jù)系統(tǒng)水平方向的動(dòng)量守恒可得：mv1=Mv2，

設(shè)微小時(shí)間為Δt，

則mv1Δt=Mv2Δtm，

m？鄱（v1Δt）=M？鄱（v2Δt），即m（L-x）=Mx，所以x=■。即小球第一次運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)的過程中凹槽的位移大小為■，方向水平向右。

總之，我們?cè)趯W(xué)習(xí)過程中要善于總結(jié)和歸納，采取類比和分析的方法對(duì)遇到的問題從本質(zhì)深處挖掘信息，才能做到舉一反三，從而達(dá)到多題一解的效果。

（作者單位：河南省鄭州外國(guó)語楓楊高中）