呂 韓，陳 萍

( 南京理工大學 理學院，南京 210094 )

基于LM方法的雙指數(shù)跳擴散模型的參數(shù)估計

呂 韓，陳 萍

( 南京理工大學 理學院，南京 210094 )

介紹了雙指數(shù)跳擴散模型的特征，闡述了Lee-Mykland方法識別跳躍的基本思想，用極大似然法對參數(shù)進行估計，從而形成了一種新的組合方法。利用上證指數(shù)2010—2016年的歷史數(shù)據(jù)進行實證分析，實驗結果表明：使用組合方法對收益率時間序列數(shù)據(jù)進行估計，不但能有效估計跳擴散模型的參數(shù)，而且能把跳躍發(fā)生的時點和相應的參數(shù)識別出來。

雙指數(shù)模型；Lee-Mykland方法；上證指數(shù)；跳躍識別

絕大多數(shù)研究都將標的資產(chǎn)價格假設為幾何布朗運動，認為資產(chǎn)的價格關于時間是連續(xù)函數(shù)，資產(chǎn)的價格變動也是連續(xù)的。作為期權定價基石的Black-Scholes[1]模型，在一定的假設前提下解析出了金融衍生產(chǎn)品的定價公式，并因其簡單、易理解等優(yōu)點被廣泛應用。由于模型的高度理想化，實際市場的兩個現(xiàn)象受到很大的關注:① 非對稱的尖峰肥尾特征，即資產(chǎn)回報分布是有偏的，并且有比正態(tài)分布更高的峰度和更厚的尾部；② 波動率“微笑”，BS模型假設隱含波動率是常量，而實際上，金融市場上得到的隱含波動率曲線是像一個“微笑”的曲線，也就是意味著它是執(zhí)行價格的凸函數(shù)。

人們一直試圖放松BS模型的種種假設，來解釋尖峰現(xiàn)象和波動率“微笑”。其中最重要的方向之一，就是在擴散過程的基礎上引入跳躍，以更好地描述標的資產(chǎn)所服從的隨機過程。當市場中有重大信息(如突發(fā)事件、自然災害、政策大調(diào)整等)到達時，市場股價可能發(fā)生間斷性的“跳躍”過程，在實際市場中上，標的資產(chǎn)的價格會出現(xiàn)“不正常”的振動。此時，利用幾何布朗運動再來描述資產(chǎn)收益變動過程就不是很合理了。為了刻畫股票價格變動的這種非連續(xù)行為，研究者們提出了很多模型加以解釋，跳擴散模型[2]就是其中較為重要的一種。研究結果表明：跳躍擴散過程描述股價運動要優(yōu)于布朗運動，已逐漸地被應用在期權定價及匯率、利率的突變研究等方面[3-4]。

股價行為建模作為目前研究的熱點問題，對資產(chǎn)定價、投資組合以及產(chǎn)品設計都有決定性意義。從目前的文獻可以看出：中國股市收益率分布特征的研究已是相當豐富，但是對于股價的運動規(guī)律，尤其是其中跳躍成分的探討還是一個鮮有人涉足的領域。本文利用Lee和Mykland提出的跳識別方法，結合極大似然估計，對雙指數(shù)跳擴散模型的參數(shù)估計方法進行研究，對于擴充現(xiàn)有模型理論、尋求資產(chǎn)價格變動規(guī)律、評估衍生品的風險特征等都具有一定的現(xiàn)實意義。

1 雙指數(shù)跳擴散模型

S.G.Kou[5]在總結前人模型的基礎上，提出雙指數(shù)跳躍擴散模型。模型的基本假設為:資產(chǎn)動態(tài)服從布朗運動加上復合泊松過程，其跳躍幅度服從Laplace雙指數(shù)分布。為了便于參數(shù)估計時的數(shù)值計算，假設Kou提出的模型中p=q，記St為t時刻的股票價格，滿足如下模型：

(1)

其中：μ是漂移率；σ是波動率； dWt是一個服從標準Brown運動的增量；Ju和Jd分別表示向上和向下的跳躍幅度，皆服從指數(shù)分布。密度函數(shù)表達式分別為：

(2)

(3)

ηu(ηd)表示向上(下)跳躍幅度的均值，dNu(λu)(dNd(λd))表示強度為λu(λd)的泊松計數(shù)過程，有p(dNi(λi)=1)=λidt,p(dNi(λi)=0)=1-λidt,i=u,d。由此可見，依方向?qū)ⅰ疤狈殖闪藘煞N類型，服從不對稱的對數(shù)指數(shù)分布。

利用伊藤引理[6]對(1)式進行對數(shù)變換后，得到如下形式：

(4)

用Euler方法[7]對模型進行離散化處理，得到t時刻的收益率：

(5)

所以，在Δt→0時，以上收益(5)可以近似為：

(6)

(7)

2 跳的識別與模型的參數(shù)估計

由于跳的存在，極大似然估計等傳統(tǒng)的模型參數(shù)估計方法存在較大的估計誤差。針對這個問題，學者提出了馬爾可夫鏈的蒙特卡洛模擬方法(MCMC)，在估計跳擴散模型參數(shù)問題中得到了廣泛應用[8-9]。MCMC方法是從總體上對參數(shù)進行估計，無法將跳變序列和連續(xù)序列分離識別，因而無法估計跳變時刻和跳躍幅度。

2.1 Lee-Mykland跳識別理論及算法

Lee和Mykland[10]提出了一種跳識別方法，即Lee-Mykland逐時點檢驗方法，此方法能檢測某個給定的收益率數(shù)據(jù)是否服從純粹連續(xù)分布，從而識別出過程中的跳。主要思想是：先確定一個窗口大小K，在檢驗給定時刻前選擇K個數(shù)據(jù)，計算最大變動幅度，并與需要檢驗時刻的價格變化幅度進行比較，如果需要檢驗時刻的變化幅度超過最大變動幅度則說明這個點為跳。最后依次將窗口后移，逐個時刻檢驗是否存在跳。Lee和Mykland用價格的時點方差對價格改變量進行標準化構造，得出服從標準正態(tài)分布的跳檢驗統(tǒng)計量。關鍵是要估計出時點方差。他們采用現(xiàn)實雙冪變差為基礎來估計時點方差，并且證明了當時間間隔趨于0時，檢驗誤判和漏判的概率趨于0。基于以上思路，他們構造了檢驗統(tǒng)計變量L(i) 來測試在ti時刻是否存在從ti-1到ti的跳：

(8)

其中

(9)

Lee和Mykland給出了跳識別的拒絕域，并證明了若在時間間隔(ti-1,ti]內(nèi)不存在跳，則在Δt→0 時有：

(10)

下面給出了股票價格收益率序列的跳躍識別算法：

1) 對第i個股價收益率數(shù)據(jù)用式(8)和(9)計算統(tǒng)計變量L(i)。

2) 選擇一個顯著性水平α計算閾值，這是一個累計分布函數(shù)，滿足P(ψ≤β*)=exp(-e-β*)=1-α。

2.2 參數(shù)估計方法

1) 跳躍頻率的估計

對于強度為的Poisson計數(shù)過程來說，對其頻率的估計可以用極大似然法估計：

(11)

其中ξ1,ξ2,…,ξn為樣本點。

假設1年有250個交易日，則跳躍頻率的年估計值為：

(12)

2) 跳躍幅度的估計

(13)

其中x1,x2,…,xn為樣本點。

(14)

(15)

3) 擴散過程參數(shù)估計

正態(tài)分布的均值與方差的極大似然估計分別為：

(16)

(17)

(18)

3 上證指數(shù)的實證分析

本文將股票價格描述為一個帶有指數(shù)跳的擴散過程。為了有效地估計跳躍的頻率和幅度，以便預測未來價格。選擇上證指數(shù)總共4 001個樣本(n=4 001)，采用本文提出的組合方法來估計模型的參數(shù)，并在Matlab中實現(xiàn)以上算法[11]。圖1為原始樣本數(shù)據(jù)序列，即2000—2006年上證指數(shù)走勢。

圖1 上證指數(shù)走勢

由于原始數(shù)據(jù)波動性較大，使得數(shù)據(jù)不夠穩(wěn)定，因此對原數(shù)據(jù)取對數(shù)，這樣既不會改變數(shù)據(jù)的相關性又能使原始數(shù)據(jù)變得相對平穩(wěn)。然后用

Ri=lnSi-lnSi-1

(19)

得到上證指數(shù)的收益率序列。圖2給出了樣本數(shù)據(jù)收益率的時間序列圖。

圖2 上證指數(shù)收益率的時間序列圖

從圖2可以明顯看到，股指收益率原始數(shù)據(jù)圖并不平穩(wěn)，在多個地方存在跳躍點。下面觀察收益率序列Rt的基本統(tǒng)計特征。

在Matlab中計算得到收益率數(shù)據(jù)基本統(tǒng)計量，見表1。

表1 收益率數(shù)據(jù)基本統(tǒng)計量

從表1可以看出：收益率數(shù)據(jù)的偏度為-0.339 5，呈現(xiàn)出左偏；峰度系數(shù)為7.354 3，大于正態(tài)分布峰度系數(shù)3，說明股指收益率序列呈現(xiàn)出尖峰厚尾的特征。數(shù)據(jù)表明，“跳”的存在使得原始數(shù)據(jù)收益率并不服從正態(tài)分布，出現(xiàn)異常點，呈現(xiàn)尖峰厚尾的特征。

圖3 跳辨識結果

用跳躍點前后6個數(shù)據(jù)來取代跳躍點的收益率，得到修正后的連續(xù)擴散過程收益率序列Rt′，根據(jù)其與原始數(shù)據(jù)之差統(tǒng)計出向上跳躍發(fā)生次數(shù)為24次，向下跳躍次數(shù)為28次，跳躍時間如表2、3所示。

圖4給出了修正后的收益率序列Rt′的時間序列圖。

表2 上證指數(shù)向上跳躍時間點匯總

表3 上證指數(shù)向下跳躍時間點匯總

圖4 修正后的收益率序列圖

表4給出了修正后的收益率序列的基本統(tǒng)計量。

表4 修正收益率數(shù)據(jù)基本統(tǒng)計量

由圖4可見:修正后的收益率基本平穩(wěn)，通過和圖2的原始收益率序列對比，發(fā)現(xiàn)Lee-Mykland跳辨識方法確能很好地辨別出跳躍點。觀察表4修正后的收益率序列的統(tǒng)計特征發(fā)現(xiàn)：其偏度從-0.219 1變?yōu)?0.064 3，左偏程度明顯減弱；峰度也從7.594 2降為4.237 9，更加接近正態(tài)分布的峰度值3。

在完成了跳的識別工作后，根據(jù)本文的極大似然方法估計出收益率序列的參數(shù)，估計結果見表5。

表5 跳擴散模型參數(shù)估計結果

從參數(shù)估計結果可以看出，收益率序列的年波動率為23.81%，這與實際數(shù)據(jù)的較高波動性相吻合。向上跳躍和向下跳躍的年頻率分別為1.500 0和1.750 0，而跳躍的幅度相仿。

以上完成了上證指數(shù)跳擴散模型跳的辨識和參數(shù)估計工作，下面對將方法的有效性進行檢驗。由本文模型(1)和由歷史數(shù)據(jù)估計的參數(shù)(表5)，采用蒙特卡洛模擬方法生成模擬收益率數(shù)據(jù)圖，通過與真實值(觀測值)進行對比來檢驗估計方法的有效性。根據(jù)

(20)

將表5中的參數(shù)代入，在Matlab中利用蒙特卡洛方法模擬出相應的收益率數(shù)據(jù)序列，并生成模擬數(shù)據(jù)和真實數(shù)據(jù)的Q-Q圖，如圖5所示。

圖5 上證指數(shù)模擬數(shù)據(jù)與真實值的Q-Q圖

從真實值與模擬數(shù)據(jù)的Q-Q圖可以看出，本文建立的雙指數(shù)跳擴散模型的擬合值和真實值幾乎位于一條直線，說明該模型模擬出的數(shù)據(jù)與真實數(shù)據(jù)的分布情況擬合效果很好。

4 結束語

[1] BLACK F,SCHOLES M.The pricing of options and corporate liabilityes[J].The journal of political economy,1973(2):637-654.

[2] MERTON R C.Option pricing when underlying stock returns are discontinuous[J].Journal of financial economics,1976,3(1/2):125-144.

[3] CHEN S W,SHEN C H.GARCH,jumps and permanent and transitory components of volatility:the case of the Taiwan exchange rate[J].Mathematics and Computers in Simulation,2004,67(3):201-216.

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[5] KOU S G.A jump-diffusion model for option pricing[J].Management science,2002,48(8):1086-1101

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[10]LEE S S,MYKLAND P A.Jumps in financial markets:A new nonparametric test and jump dynamics[J].Review of Financial studies,2008,21(6):2535-2563.

[11]鄭志勇.金融數(shù)量分析——基于Matlab編程[M].2版.北京:北京航空航天大學出版社,2013.

ZHENG Zhiyong.Financial quantitative analysis based on Matlab programming[M].2 Edition.Beijing:Beihang University Press,2013.

(責任編輯 劉 舸)

Parameter Estimation of Double Exponential Jump Diffusion Model Based on LM Method

LYU Han, CHEN Ping

(School of Science, Nanjing University of Science and Technology, Nanjing 210094, China)

This paper introduces the characteristics of the double exponential jump diffusion model, and expounds the basic idea of the Lee-Mykland method to identify the jump, and uses the maximum likelihood method to estimate the parameters, thus forming a new combination method. We use Shanghai stock index from 2010 to 2016 to do empirical analysis.The results show that using the combination method of return time series data to estimate can not only effectively estimate the parameters of the jump diffusion model, but also identify the jumping point and the corresponding parameter.

double exponential model; Lee-Mykland method; Shanghai composite index; jump recognition

2016-12-25 基金項目：國家自然科學基金資助項目(11271189)

呂韓(1991—)，男，江蘇泰州人，碩士研究生，主要從事金融隨機分析、應用統(tǒng)計研究，E-mail:nplvhan@163.com。

呂韓，陳萍.基于LM方法的雙指數(shù)跳擴散模型的參數(shù)估計[J].重慶理工大學學報(自然科學)，2017(3):151-157.

format： LYU Han, CHEN Ping.Parameter Estimation of Double Exponential Jump Diffusion Model Based on LM Method[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2017(3):151-157.

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2017.03.023

O212

A

1674-8425(2017)03-0151-07