謝 磊，聶洪平,何 瑩

(1.中國海上衛(wèi)星測控部，江陰 214431;2.泰州學院，泰州225300)

改進型PID控制永磁偏置磁懸浮軸承

謝 磊1，聶洪平1,何 瑩2

(1.中國海上衛(wèi)星測控部，江陰 214431;2.泰州學院，泰州225300)

針對傳統(tǒng)PID控制超調(diào)與調(diào)節(jié)時間存在矛盾及磁懸浮軸承的特殊性，提出了具有一定非線性補償能力的改進型PID控制算法，根據(jù)偏差與偏差變化率的關(guān)系，使比例、積分、微分調(diào)整大小、分時作用。在MATLAB的Simulink環(huán)境下搭建永磁偏置磁懸浮軸承的控制系統(tǒng)模型，用 S-function函數(shù)實現(xiàn)改進型PID的控制算法和永磁偏置磁懸浮軸承的非線性模型，并進行了動態(tài)仿真。仿真結(jié)果表明，改進型PID控制器相對于傳統(tǒng)PID控制器對永磁偏置磁懸浮軸承在動態(tài)性能、抗干擾能力上有比較好的控制效果，且提高了永磁偏置磁懸浮軸承的剛度，其算法在數(shù)字控制器中較容易實現(xiàn)。

永磁偏置磁懸浮軸承；控制系統(tǒng)；非線性；改進型PID

0 引 言

磁懸浮軸承通過控制磁力的大小與方向使轉(zhuǎn)子穩(wěn)定懸浮，具有摩擦損耗小、不需潤滑、使用壽命長、對極端高溫、極端低溫適應(yīng)性好等優(yōu)點，在高速驅(qū)動、多電全電飛機等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用前景[1-2]。磁懸浮軸承本質(zhì)是一個二階不穩(wěn)定系統(tǒng)，必須通過閉環(huán)控制才能實現(xiàn)轉(zhuǎn)子的穩(wěn)定懸浮[3]。磁懸浮軸承的性能很大程度上取決于控制系統(tǒng)，其剛度和阻尼都與控制系統(tǒng)有關(guān)。對于磁懸浮軸承系統(tǒng)，目前PID控制仍然比較普遍，傳統(tǒng)的PID控制器結(jié)構(gòu)簡單，易于實現(xiàn)，其穩(wěn)定性好，但傳統(tǒng)PID控制中超調(diào)與調(diào)節(jié)時間之間存在矛盾，控制的穩(wěn)定性與軸承的剛度之間存在矛盾[4-5]。文獻[6]提出的變速積分PID控制在磁懸浮軸承中的應(yīng)用與改進對積分控制提出了改進，但使系統(tǒng)穩(wěn)定的基本控制規(guī)律是PID控制，該文獻未對比例與微分環(huán)節(jié)提出改進方案；文獻[7-9]提出的變參數(shù)PID控制，根據(jù)偏差大小與偏差變化量(非負)取比例、積分、微分參數(shù)，但在不同區(qū)域所取參數(shù)的大小有一定的盲目性，有時難以調(diào)到合適的參數(shù)，且沒有體現(xiàn)參數(shù)與偏差的動態(tài)關(guān)系；文獻[10]體現(xiàn)了PID參數(shù)與偏差的動態(tài)關(guān)系，但沒有考慮到磁懸浮軸承起浮階段偏差較大且偏差往減小方向變化的特殊性，其所搭建的控制對象模型是基于磁懸浮軸承在平衡位置附近的線性化模型，沒有充分考慮到磁懸浮軸承在遠離平衡位置處的非線性特性，沒有考慮到在偏差較大時比例系數(shù)較大，完全取消微分作用容易產(chǎn)生較大超調(diào)，其算法應(yīng)用于本實驗室永磁偏置磁懸浮軸承產(chǎn)生較大超調(diào)。針對以上算法的不足，本文在基于有限元仿真的前提下考慮軟磁材料的磁阻及漏磁阻，建立較為準確的永磁偏置磁懸浮軸承的磁路模型，在MATLAB的Simulink環(huán)境下通過S-function函數(shù)實現(xiàn)永磁偏置磁懸浮軸承的非線性模型，在考慮起浮階段特殊性的前提下，改進型PID根據(jù)偏差和偏差的微分關(guān)系使比例、積分、微分分時作用，改善系統(tǒng)性能，提高磁懸浮軸承的剛度。

1 永磁偏置磁懸浮軸承工作原理及數(shù)學模型

以三自由度永磁偏置磁懸浮軸承為例，其磁通路徑如圖1 所示[11-13]。

(a)軸向磁通路徑(b)徑向磁通路徑

圖1 磁通路徑

永磁偏置磁懸浮軸承一般采用差動激磁方式，當轉(zhuǎn)子受到擾動偏離平衡位置時，位移傳感器檢測出磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子位置信號傳遞給處理器，處理器輸出控制信號經(jīng)功率放大電路轉(zhuǎn)化為控制電流，產(chǎn)生電磁場，轉(zhuǎn)子氣隙增大側(cè)的磁場是永磁鐵產(chǎn)生的磁場與電磁鐵產(chǎn)生的磁場相加，轉(zhuǎn)子氣隙減小側(cè)的磁場是永磁鐵產(chǎn)生的磁場與電磁鐵產(chǎn)生的磁場相減。通過改變控制電流的大小和方向，改變轉(zhuǎn)子所受合力，使轉(zhuǎn)子穩(wěn)定在平衡位置。

針對磁懸浮軸承的受力分析通常采用等效磁路法，為簡化磁路模型，一般不考慮軟磁材料磁阻與漏磁阻，這樣建立的磁路模型不精確，計算結(jié)果存在較大偏差。文獻[14]在充分考慮上述兩者的前提下，建立永磁偏置三自由度磁懸浮軸承等效磁路模型，并對各部分磁阻進行量化分析。本文根據(jù)其研究成果，計及氣隙及永磁體處漏磁，依據(jù)有限元仿真結(jié)果建立永磁偏置磁懸浮軸承等效磁路模型，如圖2、圖3所示。

圖2 偏置磁場仿真示意圖圖3 偏置磁場等效磁路

圖3中，F(xiàn)m為環(huán)形永磁體磁動勢，Rm為永磁體磁阻，Rs為漏磁阻，包括永磁體漏磁與氣隙處漏磁。徑向氣隙磁阻R1,R2,R3,R4以及軸向氣隙磁阻R5,R6分別并聯(lián)連接，以軸向永磁偏置磁懸浮軸承為例，磁拉力：

偏置磁通：

Rs1,Rs2分別為永磁體漏磁和氣隙處漏磁,參考文獻[19]中磁懸浮軸承設(shè)計方法,漏磁阻計算式:

軸向控制磁場仿真及等效磁路圖如圖4、圖5所示。

Rsz=1∫Do2Di28μ0r(2r-Drpi)dr(6)

φcz=2NrirR5+R6(7)

將式(1)在x=0,ir=0處泰勒展開，忽略二階以上無窮小量,得

式中:kx為永磁偏置磁懸浮軸承的位移剛度，kiz為永磁偏置磁懸浮軸承的電流剛度。對于一個確定的永磁偏置磁懸浮軸承系統(tǒng)，在平衡位置附近，二者的大小是確定的。

式(8)即為在小偏差范圍內(nèi)得到的永磁偏置磁懸浮軸承推力線性化模型。由式(1)～式(7)可以看出，永磁偏置磁懸浮軸承系統(tǒng)的磁拉力與轉(zhuǎn)子位置、繞組電流、磁懸浮軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)是復雜的非線性關(guān)系。

2 改進型PID 控制器

傳統(tǒng)的PID控制器如圖6所示。

圖6 標準PID控制系統(tǒng)

標準的PID控制系統(tǒng)包括PID控制器和被控對象永磁偏置磁懸浮軸承兩部分，永磁偏置磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子與平衡位置的位移偏差作為控制器的輸入，控制器根據(jù)控制算法算得控制永磁偏置磁懸浮軸承所需的電流控制被控對象。其控制規(guī)律

式中:KP為比例系數(shù)；TI為積分時間常數(shù)；TD為微分時間常數(shù)。

比例環(huán)節(jié)是成比例地反映永磁偏置磁懸浮軸承與平衡位置之間的位移偏差，位移偏差一旦產(chǎn)生，比例控制器瞬間對其作出反應(yīng)，使磁懸浮軸承向平衡位置運動。增大比例系數(shù)，磁懸浮軸承向平衡位置運動的速度變快；反之，減小比例系數(shù)，運動速度變慢，增加系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間。但在平衡位置附近，如果比例系數(shù)選擇過大，則會導致磁懸浮軸承的運動速度過快，產(chǎn)生較大超調(diào)，甚至可能使系統(tǒng)不穩(wěn)定。對于永磁偏置磁懸浮軸承系統(tǒng)而言，比例系數(shù)還與永磁偏置磁懸浮軸承剛度相關(guān)。剛度是軸承的基本參數(shù)之一，剛度過高，磁懸浮軸承在小位移偏差時就會產(chǎn)生很大的力，有可能使系統(tǒng)達到力飽和。剛度過低，若系統(tǒng)剛度與軸承負剛度kx不在一個數(shù)量級上，kx的精度偏差可能使系統(tǒng)不穩(wěn)定。一般選取合適的比例系數(shù)，使系統(tǒng)剛度為軸承負剛度的2～8倍。

微分環(huán)節(jié)影響磁懸浮軸承位移偏差的變化趨勢，當磁懸浮軸承向某個方向運動時，提前預報磁軸承位移偏差的變化方向，有效減小超調(diào)[15]。微分系數(shù)(kD=kPTD)影響磁懸浮軸承控制系統(tǒng)的阻尼比，阻尼比過小，起浮階段和受干擾時振蕩加劇，系統(tǒng)相對穩(wěn)定性變差。增加阻尼意味著增加微分系數(shù)，阻尼過大，將導致系統(tǒng)調(diào)節(jié)時間過長，且微分作用會放大反饋信號中的干擾，因此不能過大，一般選取合適的微分系數(shù)，使阻尼比為0.5～1。

積分環(huán)節(jié)將磁懸浮軸承控制系統(tǒng)位移偏差的累積作為輸出，主要用于消除系統(tǒng)靜差，提高系統(tǒng)無差度[15]。積分系數(shù)(kI=kP/TI)越大，系統(tǒng)靜差越小，但同時系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)變慢，在位移偏差較大時易引起積分飽和。

PID控制器基于磁軸承位移偏差信號的比例、積分、微分運算的簡單線性組合控制磁軸承，系統(tǒng)的快速性與魯棒性存在嚴重的矛盾?？刂破鞯膮?shù)基于永磁偏置磁懸浮軸承在平衡點附近線性化后設(shè)計，在遠離平衡位置處，控制參數(shù)可能不匹配。對于永磁偏置磁懸浮軸承這種非線性、時變、強耦合系統(tǒng)而言，傳統(tǒng)PID控制效果往往不是很理想。

本文提出的改進型PID控制算法，以磁懸浮軸承位移偏差與位移偏差變化率作為改進型PID控制器的輸入，根據(jù)位移偏差的大小與變化率在系統(tǒng)響應(yīng)的過程中動態(tài)調(diào)整控制器的參數(shù)。

3 改進型PID控制算法

3.1 改進型比例控制

當系統(tǒng)出現(xiàn)干擾，磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子位移偏差變化率必然發(fā)生較大變化。當偏差與偏差變化率乘積大于0(或偏差較大，針對起浮階段)，表明磁懸浮軸承正向遠離平衡位置方向運動，此時補償環(huán)節(jié)應(yīng)適當放大比例系數(shù)，及時消除擾動對磁懸浮軸承的影響。當偏差與偏差變化率乘積小于0且偏差較小，表明磁懸浮軸承正向平衡位置運動，此時應(yīng)使調(diào)節(jié)器的輸出小于補償前調(diào)節(jié)器的輸出，盡量避免過調(diào)造成振蕩，縮小調(diào)節(jié)時間，增強魯棒性。具體實現(xiàn)形式如圖7所示。

圖7 比例系數(shù)調(diào)整準則

3.2 改進型積分控制

假設(shè)磁懸浮軸承控制系統(tǒng)位移偏差曲線如圖8所示，在(a，b)與(b，c)中，系統(tǒng)出現(xiàn)超調(diào)，常規(guī)控制是增加負量控制，以壓低超調(diào)，但由于(o，a)區(qū)間存在位移偏差累積，(a，b)與(b，c)積分首先要抵消(o，a)區(qū)間作用，延長系統(tǒng)過渡時間；在(c，d)與(d，e)中，積分作用使磁懸浮軸承向平衡位置運動。但在(d，e)區(qū)間積分作用繼續(xù)增強，結(jié)果勢必造成磁懸浮軸承控制系統(tǒng)再次出現(xiàn)超調(diào)。

圖8 偏差曲線

基于以上積分控制控制磁懸浮軸承的缺點，改進型積分控制僅在(a，b),(c，d),(e，f),(g，h)區(qū)間積分，抑制磁懸浮軸承系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差；在磁軸承向平衡位置運動時取消積分作用，系統(tǒng)靠慣性向平衡位置運動，但此時系統(tǒng)比例微分仍起作用。這種積分有選擇的記憶有用信息，遺忘無用信息，能克服常規(guī)積分作用的一些缺點。

3.3 改進型微分控制

微分系數(shù)主要是響應(yīng)磁懸浮軸承位移偏差變化速率的，當位移偏差導數(shù)較大時，微分作用在一定程度上會抵消比例控制的作用，使軸承到達平衡位置的時間延長。因此，在磁軸承起浮階段微分控制作用不能太強，但也不能為0(或者太小)，因為此時比例系數(shù)較大，微分太弱，極易出現(xiàn)大的超調(diào)；當偏差接近0時，則加強其作用。

綜上所述，在磁懸浮軸承位移偏差較大時根據(jù)偏差與偏差變化率增大比例系數(shù)，同時取較小微分系數(shù)；偏差較小時，取較大微分系數(shù)，同時判斷偏差變化方向：若偏差往減小方向變化，則根據(jù)偏差與偏差變化率減小比例系數(shù)，取消積分作用；若偏差往增大方向變化，則根據(jù)偏差與偏差變化率增大比例系數(shù)，加入積分作用。

4 系統(tǒng)仿真研究

在MATLAB的Simulink環(huán)境下搭建如圖9所示系統(tǒng)，模擬實際系統(tǒng)從左到右分別為控制器、功放電路、單相全橋電路、控制對象永磁偏置磁懸浮軸承。通過S-function函數(shù)編程實現(xiàn)改進型PID控制模塊與永磁偏置磁懸浮軸承非線性模型，比例系數(shù)具體實現(xiàn)形式如下[16]：

if((e>0 &&e>e1)||e>0.5)|| ((e<0 &&e

kpn=6.15*(1+k0*(1-exp(abs(k1*(e-e1)))));

elseif(e>0 &&ee1 &&e>-0.5)

kpn=kp*exp(-abs(k2*(e-e1)));

其中e為本次采樣誤差；e1為上一次采樣誤差；k0,k1,k2是放大系數(shù)；kp是補償前的比例增益；kpn是補償后的比例增益，控制系統(tǒng)框圖如圖9所示。

圖9 控制系統(tǒng)框圖

仿真數(shù)據(jù)取自實際永磁偏置磁懸浮軸承實驗裝置，氣隙寬度為0.5mm，位移剛度為4 880N/mm，電流剛度為628N/A，質(zhì)量為3.5kg，根據(jù)參數(shù)整定原則與仿真取比例系數(shù)為5，積分系數(shù)為3，微分系數(shù)為0.002，放大系數(shù)k0為3.5，k1為2.5，k2為0.05。系統(tǒng)在0.05s時施加200N的干擾，持續(xù)時間為0.001s。觀察控制系統(tǒng)對永磁偏置磁懸浮軸承起浮與受擾動時的控制效果。

起浮階段與擾動時仿真結(jié)果如圖10、圖11所示；而控制性能比較結(jié)果如表1所示。

圖10 永磁偏置磁懸浮軸承起浮仿真

圖11 永磁偏置磁懸浮軸承擾動仿真

表1 傳統(tǒng)PID與改進型PID控制性能比較

由圖10及表1可見，改進型PID控制永磁偏置磁懸浮軸承超調(diào)很小，可以進一步增加比例系數(shù)，減小調(diào)節(jié)時間，增加磁懸浮軸承剛度。增加比例系數(shù)到6，其余參數(shù)不變，仿真結(jié)果如圖12、圖13所示，在保證起浮超調(diào)大致相同的情況下，減小了調(diào)節(jié)時間，且抗干擾能力變得更好。表2為傳統(tǒng)PID與改進型PID(加剛度)控制性能比較結(jié)果。

圖12 永磁偏置磁懸浮軸承起浮仿真

圖13 永磁偏置磁懸浮軸承擾動仿真

表2 傳統(tǒng)PID與改進型PID(加剛度)控制性能比較

仿真結(jié)果表明，改進型PID控制要比傳統(tǒng)PID控制輸出超調(diào)量小很多,進一步提高比例系數(shù)，減小調(diào)節(jié)時間，提高了磁懸浮軸承的剛度和抗干擾能力,說明其控制特性要優(yōu)于傳統(tǒng)PID控制。

5 結(jié) 語

根據(jù)傳統(tǒng)PID控制的一些缺點以及磁懸浮系統(tǒng)的特殊性，提出了一種改進型PID控制永磁偏置磁懸浮軸承的控制算法，根據(jù)系統(tǒng)偏差與系統(tǒng)偏差變化率，對PID控制進行一定程度的非線性補償，新控制器的動、靜態(tài)性能得到改善，有更強的魯棒性，提高了永磁偏置磁懸浮軸承的剛度。另外，數(shù)字控制器很容易實現(xiàn)這些控制思想或算法。

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Improved PID Control of Permanent Magnet Bias Magnetic Bearings

XIELei1，NIEHong-ping1，HEYing2

(1.China Satellite Maritime Tracking and Control Department,Jiangyin 214431,China；2.Taizhou University,Taizhou,225300,China)

For contradictions of conventional PID control overshoot and settling time and magnetic bearings are unique, made with a certain nonlinear ability to compensate improved PID control algorithm, according to the deviation and the deviation rate of change of its relationship with the proportional, integral, differential resize , time effect. In the MATLAB Simulink environment to build control system model, using S-function function to prepare the modified PID control algorithm and permanent magnet bias magnetic bearings nonlinear model and the dynamic simulation. Simulation results show that the improved PID controller relative to the conventional PID controller for permanent magnet bias magnetic bearings in a dynamic performance, anti-jamming capability has better control effect and improves the stiffness of permanent magnet bias magnetic bearings, which algorithm more easily achieved in the digital controller.

permanent magnet biased magnetic bearings； control systems； nonlinear; improved PID

2016-04-05

TH133.3;TM315

A

1004-7018(2017)02-0023-04

謝磊,男，碩士研究生，研究方向為伺服控制。