安振平

第Ⅰ卷（選擇題 共60分）

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知集合M=xx（x2-1）=0，N=yy=1-2sinπx6，x∈M，則集合M∩N的非空子集的個數(shù)是（ ）.

A.4 B.3 C.2 D.1

2. 在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，復(fù)數(shù)z=20i1-i的模是（ ）.

A.55 B.52 C.105 D.102

3. 下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后在生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y（噸）的幾組對應(yīng)數(shù)據(jù)：

x3

4

5

6y2.5t44.5 根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程為

y^=0.7x+0.35，那么表中t的值為

（ ）.

A.3 B. 3.15 C.3.5 D.3.75

圖14.用若干個棱長為 1 的正方體拼成一個幾何體，它的主視圖，側(cè)視圖都如圖1所示，則這個幾何體體積的最小值是（ ）.

A. 5 B.7 C. 9 D. 11

5. 在一次救援活動中，我空軍接到救援隊(duì)急需要緊急醫(yī)療器械，但由于霧霾天氣，空軍只能根據(jù)信息判斷搜救隊(duì)大概在M={（x，y）x+y≤6，x≥0，y≥0}區(qū)域內(nèi)活動，為縮小目標(biāo)范圍，空軍利用高科技，將搜救隊(duì)活動范圍縮小在

A={（x，y）|x≤4，y≥0，x-2y≥0}區(qū)域，若向區(qū)域M上空投救援物資，則該救援物資落入?yún)^(qū)域A的概率為（ ）.

A.13 B.23 C.19 D.29

6. 閱讀如圖2所示的流程圖，若記y=f（x），且x0滿足f[f（x0）]=1，，則x0可能是（ ）.

A.π4 B. π3 C.2π3 D.5π4

7.已知函數(shù)f（x）=lgx2，a>b>0，f（a）=f（b），則2a+1b取得（ ）.

A. 最小值22 B. 最小值2

C . 最大值22 D.最大值2

圖38. 如圖3，在△ABC中，CA=4，CB=6.若點(diǎn)G為△ABC的重心，則CG·AB的值為（ ）.

A.23 B. 103 C.203 D. 243

9. 若等比數(shù)列an的首項(xiàng)a1>0，公比q>0，前n項(xiàng)和為Sn，則S4a4與

S6a6

的大小為（ ）.

A.S4a4=S6a6 B.S4a4>S6a6

C.S4a4

10.已知點(diǎn)F是雙曲線C：x2a2-y2b2=1 （a>0，b>0）的右焦點(diǎn)，以F為圓心和雙曲線的漸近線相切的圓與雙曲線的一個交點(diǎn)為M，且MF與雙曲線的實(shí)軸垂直，則雙曲線C的離心率是（ ）.

A.52 B.5 C.2 D.2

11. 不等式2ax2-x-2≤1在x∈-1，1上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）.

A.-1，+∞ B.-∞，1

C.-1，1 D.-1，1

12.正四棱錐的體積為23，則該正四棱錐內(nèi)切球體積的最大值為（ ）.

A. 2π24 B.224 C.2π12 D.212

第Ⅱ卷（非選擇題 共90分）

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中的橫線上.

13. 已知3t+t3=135，x表示不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，則t=.

14.若（1x-x2）n的常數(shù)項(xiàng)是15，則展開式中x3的系數(shù)為.

15. 紅星高中學(xué)生測量隊(duì)，為測量學(xué)校附近的發(fā)射塔高度，他們站在教學(xué)樓樓頂，測得信號發(fā)射塔的塔頂仰角為600，塔底的俯角為450，通過計(jì)算測得塔高10（1+3）米，則他們所站的教學(xué)樓高米.

16.已知函數(shù)f（x）由下表給出：

三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.（本小題滿分12分）

在△ABC中，角C所對的邊長為c， △ABC的面積為S，且tanA2tanB2+3tanA2+tanB2=1.

（Ⅰ） 求ΔABC的內(nèi)角C的值；

（Ⅱ）求證：c2≥43S.

18.（本小題滿分12分）近年來我國電子商務(wù)行業(yè)迎來發(fā)展的新機(jī)遇，2016年雙11期間，某購物平臺的銷售業(yè)績高達(dá)918億人民幣.與此同時，相關(guān)管理部門推出了針對電商的商品和服務(wù)的評價體系.現(xiàn)從評價系統(tǒng)中選出200次成功交易，并對其評價進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，對商品的好評率為0.6，對服務(wù)的好評率為0.75，其中對商品和服務(wù)都做出好評的交易為80次.

（Ⅰ）能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下，認(rèn)為商品好評與服務(wù)好評有關(guān)？

（Ⅱ）若將頻率視為概率，某人在該購物平臺上進(jìn)行的5次購物中，設(shè)對商品和服務(wù)全好評的次數(shù)為隨機(jī)變量X：

①求對商品和服務(wù)全好評的次數(shù)X的分布列（概率用組合數(shù)算式表示）；

②求X的數(shù)學(xué)期望和方差.

19.（本小題滿分12分）如圖5，已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面邊長AB=2，側(cè)棱BB1的長為4，過點(diǎn)B作B1C的垂線交側(cè)棱CC1于點(diǎn)E，交B1C于點(diǎn)F.

（Ⅰ）求證：A1C⊥平面BED；

（Ⅱ）求A1B與平面BDE所成的角的正弦值.

20. （本小題滿分12分）長度為a（a>0）的線段AB的兩個端點(diǎn)A、B分別在x軸和y軸上滑動，點(diǎn)P在線段AB上，且AP=λPB（λ為常數(shù)且λ>0）.

（Ⅰ）求點(diǎn)P的軌跡方程C，并說明軌跡類型；

（Ⅱ）當(dāng)λ=2時，已知直線l1與原點(diǎn)O的距離為a2，且直線l1與軌跡C有公共點(diǎn)，求直線l1的斜率k的取值范圍.

21.（本小題滿分12分）已知函數(shù)fx=x3eax，

gx=eaxf ′x在0，2上單調(diào)遞增（a>0）.

（Ⅰ） 求a的最大值；

（Ⅱ） 在a取最大值的條件下，證明：當(dāng)x1+x2=6且0

請考生在第22、23題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.

22. （本小題滿分10分）選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1：x=acosφ，y=bsinφ，（φ為參數(shù)），其中a>b>0.以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：ρ=2cosθ，射線l：θ=α（ρ≥0）.若射線l與曲線C1交于點(diǎn)P，射線l與曲線C2交于點(diǎn)O，Q；當(dāng)α=0時，

|PQ|=1；當(dāng)α=π2時，|OP|=3.

（Ⅰ）求曲線C1的普通方程；

（Ⅱ）設(shè)直線l′：x=-t，y=3t，（t為參數(shù)，t≠0）與曲線C2交于點(diǎn)R，若α=π3，求△OPR的面積.

23. （本小題滿分10分）選修4—5：不等式選講

已知f（x）=|2x+1|+x-12（x∈R）.

（Ⅰ）關(guān)于x的不等式f（x）≥2a2-a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（Ⅱ）設(shè)m，n，p，q為正實(shí)數(shù)，且m+n=f-12，求證：mp-nq2≤mp2+nq2.

參考答案：

一、選擇題

1.B 2. D 3.A 4.A 5. D 6. C 7.A 8. C 9. C. 10.C 11. B 12. A

二、填空題

13.3 14.-20 15. 10 16. 0

三、解答題

17.解

18.解 （Ⅰ）能在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下，認(rèn)為商品好評與服務(wù)好評有關(guān)；

由題意可得關(guān)于商品和服務(wù)評價的2×2列聯(lián)表如下：

19.解 （Ⅰ）如圖6，以D為原點(diǎn)，DA、DC、DD1所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系

20. 解 （Ⅰ）設(shè)P（x，y）、A（x0，0）、B（0，y0），則AP=λPBx-x0=-λxy=λ（y0-y）x0=（1+λ）xy0=1+λλy，由此及|AB|=ax20+y20=a2，得

（1+λ）x2+1+λλy2=a2，

21.解

23. 解

24. 解