孟祥崗

摘要：在現(xiàn)金流間隔不規(guī)范的情況下，債券到期收益率的計(jì)算比較復(fù)雜，可考慮應(yīng)用埃特金迭代法進(jìn)行計(jì)算。本文首先介紹了埃特金迭代法的推導(dǎo)過程，然后給出了現(xiàn)金流間隔規(guī)范情況下分別應(yīng)用IRR函數(shù)和埃特金迭代計(jì)算債券到期收益率的示例，并給出現(xiàn)金流間隔不規(guī)范情況下應(yīng)用埃特金迭代計(jì)算債券到期收益率的示例；最后在債券市場(chǎng)價(jià)格的正常范圍內(nèi)和理論極端情況下，探討了應(yīng)用埃特金迭代法時(shí)更合理設(shè)置初值的方法。

關(guān)鍵詞：到期收益率 埃特金迭代法 IRR函數(shù) 現(xiàn)金流間隔

票息率

債券到期收益率是使得未來現(xiàn)金流貼現(xiàn)之和等于債券現(xiàn)在價(jià)格的內(nèi)在收益率，是計(jì)算出來的債券指標(biāo)，是市場(chǎng)流行的債券收益率表述方法，而非真實(shí)債券年收益率。當(dāng)市場(chǎng)利率上升時(shí)，債券價(jià)格下降，債券到期收益率上升；當(dāng)市場(chǎng)利率下降時(shí)，債券價(jià)格上升，債券到期收益率下降。

債券到期收益率實(shí)現(xiàn)的假設(shè)條件包括：一是票息必須以同樣的到期收益率進(jìn)行再投資，二是所有現(xiàn)金流的折現(xiàn)率相同，三是收到票息的同時(shí)須立刻投資出去。按照上述假設(shè)條件，在現(xiàn)金流間隔不規(guī)范的情況下，債券到期收益率的計(jì)算比較復(fù)雜。本文研究了如何應(yīng)用埃特金（Aitken）迭代法計(jì)算債券到期收益率。

埃特金迭代法簡(jiǎn)介

埃特金迭代法是數(shù)值分析1中的內(nèi)容，其推導(dǎo)過程如下。

將非線性方程轉(zhuǎn)化為等價(jià)形式，若存在，使和成立，則稱為的一個(gè)解。

設(shè)是附近的某近似值，可以得到，如此反復(fù)，構(gòu)造迭代公式，，稱為迭代函數(shù)。

對(duì)于收斂的迭代過程，迭代公式校正一次得，為方便應(yīng)用Excel進(jìn)行迭代計(jì)算，令，由微分中值定理知：

其中介于和之間。

假設(shè)變化不大，近似地取某個(gè)值，則有

若將校正值再校正一次，又得，為方便迭代計(jì)算，令，同理

公式1與公式2聯(lián)立，消去未知的，得到：

由此推知：

于是得到埃特金加速迭代法如下：

由推導(dǎo)過程知，埃特金迭代法是利用兩次迭代巧妙構(gòu)造的新迭代公式；由及，可以證明2，表明序列的收斂速度比的收斂速度快。

埃特金迭代法的具體應(yīng)用步驟如下：

1.將一般方程改寫成的形式；

2.設(shè)置初值，計(jì)算，及；

3.進(jìn)行迭代計(jì)算，直至，是根據(jù)需要設(shè)定的精確度位數(shù)。

根據(jù)埃特金迭代法特點(diǎn)，在給出適當(dāng)初值的前提下，可以應(yīng)用埃特金迭代法快速求解出債券到期收益率。

現(xiàn)金流間隔規(guī)范的債券到期收益率埃特金迭代計(jì)算

由債券到期收益率的定義知道，如果債券每年付息一次，每次付息金額相同，債券到期收益率計(jì)算公式為：

式中：P 表示債券價(jià)格；C表示票息金額；F表示債券面值；表示到期收益率；N表示債券期限；t表示現(xiàn)金流到達(dá)時(shí)間（期）。

公式4是關(guān)于債券到期收益率的N次方程。在具體求解時(shí)，Excel試算法簡(jiǎn)單，但需要多次調(diào)試，較為繁瑣，在此不做介紹；IRR函數(shù)適用于求解現(xiàn)金流間隔規(guī)范的債券到期收益率情形，現(xiàn)舉例說明。

例1.某剩余期限為5年的國(guó)債，票面利率8%，面值100元，年底付息1次，市場(chǎng)價(jià)格為102元。

現(xiàn)金流 -102 8 8 8 8 108

IRR（）= 7.5056%

應(yīng)用IRR函數(shù)求解出該債券到期收益率為7.5056%。

下面應(yīng)用埃特金迭代法求解現(xiàn)金流間隔規(guī)范的債券到期收益率，數(shù)據(jù)如例1所述，根據(jù)現(xiàn)金流折現(xiàn)原理，該債券到期收益率滿足：

給出的非線性表達(dá)式：

選擇合適的初值進(jìn)行埃特金迭代計(jì)算，直至債券到期收益率的近似解滿足，在此設(shè)定精確度位數(shù)為6，下同。埃特金迭代的Excel具體實(shí)現(xiàn)如圖1所示。

操作步驟：

1. A列的序號(hào)及單元格B2中的數(shù)據(jù)是直接輸入的，在價(jià)格波動(dòng)不大的情況下，債券到期收益率接近票息率，所以B2中的初值選擇輸入票息率。

2.在單元格D2中輸入計(jì)算式：

即埃特金迭代法中的計(jì)算。

3.在單元格E2中輸入計(jì)算式：

即埃特金迭代法中的計(jì)算。

4.在單元格B3中輸入計(jì)算式：

即埃特金迭代法的計(jì)算。

5.在單元格C3中輸入邏輯函數(shù)：

=IF（ABS（B3-B2）<=0.000001，"最后結(jié)果是：" &ROUND（B3，6），"請(qǐng)繼續(xù)計(jì)算"）。

6.下拖單元格D2、E2至D3、E3，然后下拖單元格B3、C3、D3、E3，經(jīng)過6次迭代計(jì)算，C列中出現(xiàn)“最后結(jié)果是：0.075056”，即求解出債券到期收益率7.5056%。

在現(xiàn)金流間隔規(guī)范的情形下，埃特金迭代法求解出來的債券到期收益率與大家熟悉的IRR函數(shù)求解出的數(shù)值相同。

現(xiàn)金流間隔不規(guī)范的債券到期收益率埃特金迭代計(jì)算

當(dāng)債券現(xiàn)金流間隔不規(guī)范時(shí)，如第1年年底付息1次，第2年半年末和年底各付息1次（每年付息2次），也就是說奇數(shù)年付息1次，偶數(shù)年付息2次，產(chǎn)生類似現(xiàn)金流或間隔更不規(guī)范時(shí)，則無(wú)法應(yīng)用IRR函數(shù)求解出債券到期收益率。下面應(yīng)用埃特金迭代法求解現(xiàn)金流間隔不規(guī)范的債券到期收益率。

例2.某剩余期限為5年的國(guó)債，票面利率8%，面值100元，第1年年底付息8元，第2年半年末和年底各付息4元，第3年年底付息8元，第4年半年末和年底各付息4元，第5年付息8元及償還本金，當(dāng)前市場(chǎng)價(jià)格為102元。根據(jù)現(xiàn)金流折現(xiàn)原理，該債券到期收益率滿足：

給出的非線性表達(dá)式：

埃特金迭代的Excel具體實(shí)現(xiàn)操作如下。

1.以例1中圖1為基礎(chǔ)，直接輸入A列的序號(hào)及單元格B2中的數(shù)據(jù)，B2中的初值選擇輸入票息率；

2.在單元格D2中輸入計(jì)算式：

3.在單元格E2中輸入計(jì)算式：

4.單元格B3中的計(jì)算式輸入及單元格C3中邏輯函數(shù)的輸入與例1的操作相同。

5.同例1一樣下拖單元格，經(jīng)過7次迭代計(jì)算，C列中出現(xiàn)“最后結(jié)果是：0.075641”，即求解出債券到期收益率為7.5641%。

下面考慮更為復(fù)雜的債券現(xiàn)金流情況。

例3.假設(shè)有一特殊的企業(yè)債券，剩余期限為6年，票面利率10%，面值100元，第1年年底付息10元；第2年1季度末付息2.5元，半年末付息2.5元，年底付息5元；第3年每個(gè)季度末付息2.5元；第4年半年末付息5元；第5年1季度末付息7.5元，年底付息7.5元；第6年年底付息10元及償還本金；當(dāng)前市場(chǎng)價(jià)格為97元，則其到期收益率滿足：

給出的非線性表達(dá)式：

埃特金迭代的Excel具體實(shí)現(xiàn)如圖2所示。

操作步驟：

1.直接輸入A列的序號(hào)及單元格B2中的數(shù)據(jù)，B2中的初值暫且輸入票息率。

2.在單元格D2中輸入計(jì)算式：

3.在單元格E2中輸入計(jì)算式：

4.單元格B3中的計(jì)算式輸入及單元格C3中邏輯函數(shù)的輸入與例1的操作相同。

5.同例1一樣下拖單元格，經(jīng)過384次迭代計(jì)算，C列中出現(xiàn)“最后結(jié)果是：0.108897”，即求解出債券到期收益率為10.8897%。

例3中，在設(shè)置票息率為初值的情況下，應(yīng)用埃特金迭代法要進(jìn)行多次迭代計(jì)算才能得到滿意的數(shù)值解，所以需要探討尋找更合適的初值，減少迭代次數(shù)，快速得到數(shù)值解。

埃特金迭代法初值設(shè)置探討

在債券價(jià)格波動(dòng)不大的情況下，票息率與到期收益率比較接近，所以通常將票息率設(shè)置為埃特金迭代法中的初值。在債券價(jià)格波動(dòng)較大的情況下，如設(shè)置初值為票息率，則需要大量迭代次數(shù)才能計(jì)算出數(shù)值解，有時(shí)還可能出現(xiàn)無(wú)法計(jì)算的情況，因此需要尋找更接近于真實(shí)到期收益率的初值進(jìn)行迭代計(jì)算。對(duì)于計(jì)算現(xiàn)金流間隔不規(guī)范債券的到期收益率，下面給出價(jià)格處于正常合理范圍內(nèi)初值的設(shè)置方法，及理論上極端價(jià)格情況下初值的設(shè)置思考。

（一）埃特金迭代初值的設(shè)置方法

首先將現(xiàn)金流間隔不規(guī)范的債券簡(jiǎn)化成間隔規(guī)范的債券，然后應(yīng)用IRR函數(shù)求解出該簡(jiǎn)化債券的到期收益率，將之設(shè)置為埃特金迭代法中的初值并進(jìn)行迭代計(jì)算。如例3，將該特殊企業(yè)債券的現(xiàn)金流簡(jiǎn)化為：前3年年底各付息10元，第4年年底付息5元，第5年年底付息15元，第6年年底付息10元及償還本金100元的年度間隔規(guī)范債券，債券當(dāng)前市場(chǎng)價(jià)格為97元；由IRR函數(shù)求解出該簡(jiǎn)化債券到期收益率約為10.6%，即IRR（-97，10，10，10，5，15，110）=10.6%；將10.6%設(shè)為例3中埃特金迭代法的初值，進(jìn)行7次迭代計(jì)算即可得到數(shù)值解10.8897%，大大減少了迭代次數(shù)。

結(jié)合例3，假設(shè)債券的當(dāng)前市場(chǎng)價(jià)格為80元，將票息率10%設(shè)為埃特金迭代法中的初值，按其應(yīng)用步驟計(jì)算出，將數(shù)值-4.7969代入單元格E2中的表達(dá)式，則式中有許多項(xiàng)無(wú)法計(jì)算，如第3項(xiàng)，因此迭代不能進(jìn)行，主要原因是初值10%距離較遠(yuǎn)；若將由IRR函數(shù)求解出的簡(jiǎn)化債券的到期收益率15.2%設(shè)置為初值，進(jìn)行10次迭代計(jì)算就能得到滿足精確度要求的數(shù)值解15.6376%。另假設(shè)上述債券當(dāng)前市場(chǎng)價(jià)格為120元，將票息率10%設(shè)為埃特金迭代法中的初值，需要進(jìn)行268次迭代才能得到滿足精確度要求的數(shù)值解6.0301%；若將由IRR函數(shù)求解出的簡(jiǎn)化債券到期收益率5.9%設(shè)為初值，進(jìn)行5次迭代就能得到數(shù)值解6.0301%。在例3中，如果假設(shè)債券的當(dāng)前市場(chǎng)價(jià)格分別為80、90、95、97、100、105、108、110、120和130元，通過改變相應(yīng)單元格中價(jià)格和初值的設(shè)置，表1給出了埃特金迭代法初值設(shè)置的敏感性情況，凸顯了初值設(shè)置的重要性。

（二）極端價(jià)格情況下埃特金迭代法初值設(shè)置思考

由債券的凸性可知，當(dāng)債券價(jià)格上升到一定程度后繼續(xù)上升時(shí)，其到期收益率下降的幅度越來越小，對(duì)價(jià)格的敏感性減弱，埃特金迭代法初值的設(shè)置受其影響較小，將IRR函數(shù)求解出的簡(jiǎn)化債券到期收益率設(shè)置為初值即可。當(dāng)債券價(jià)格下降到一定程度后繼續(xù)下降時(shí)，其到期收益率上升的幅度越來越大，對(duì)價(jià)格的敏感性急劇增強(qiáng)，不利于初值的設(shè)置。隨著債券市場(chǎng)價(jià)格下降至理論上的極端價(jià)格，如20元，初值可能需要在IRR函數(shù)求解出的簡(jiǎn)化債券到期收益率基礎(chǔ)上進(jìn)行修正，如乘以（1+票息率），否則將出現(xiàn)不能計(jì)算的情況，迭代無(wú)法進(jìn)行。

在例3中，假設(shè)理論上的債券市場(chǎng)價(jià)格為500元，將由IRR函數(shù)求解出的簡(jiǎn)化債券到期收益率-19.3%設(shè)置為的初值，進(jìn)行5次迭代計(jì)算得到滿足精確度要求的數(shù)值解-19.4845%。另假設(shè)理論上的債券市場(chǎng)價(jià)格為20元，將由IRR函數(shù)求解出的簡(jiǎn)化債券到期收益率63.2%設(shè)置為的初值，埃特金迭代不能進(jìn)行，主要原因是的初值63.2%距離較遠(yuǎn)；現(xiàn)將63.2%進(jìn)行修正，乘以（1+票息率10%）得到69.5%并設(shè)之為的初值，進(jìn)行18次迭代計(jì)算得到滿足精確度要求的數(shù)值解67.6019%。隨著債券市場(chǎng)價(jià)格繼續(xù)深度下降，埃特金迭代法的設(shè)置可能需要根據(jù)實(shí)際情況做進(jìn)一步修正。但極低（高）的債券市場(chǎng)價(jià)格只是理論上給出的，在現(xiàn)實(shí)中幾乎是不存在的。

注：1.數(shù)值分析也稱作計(jì)算數(shù)學(xué)，主要內(nèi)容包括高次代數(shù)方程近似解的迭代方法、線性代數(shù)方程組求解的高斯法等系列方法、微分方程的近似解及邊界問題、以插值法為基礎(chǔ)的函數(shù)數(shù)值逼近問題、矩陣特征值的求法等，還包括解的存在性、唯一性、收斂性和誤差分析等理論問題。

2. 具體證明過程為：由埃特金加速迭代法（公式3）知：

由于，及，因此可得