謝正偉，王創(chuàng)新

(長(zhǎng)沙理工大學(xué) 電氣與信息工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410004)

基于全變分模型改進(jìn)的圖像修復(fù)算法應(yīng)用

謝正偉，王創(chuàng)新

(長(zhǎng)沙理工大學(xué) 電氣與信息工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410004)

傳統(tǒng)全變分(TV)模型對(duì)非紋理破損圖像有較好的修復(fù)效果，但TV算法對(duì)參數(shù)敏感，導(dǎo)致修復(fù)圖像容易在平滑區(qū)域產(chǎn)生階梯效應(yīng)。文中在傳統(tǒng)TV模型的基礎(chǔ)上，結(jié)合非線性擴(kuò)散的思想，提出了一種針對(duì)參數(shù)的自適應(yīng)迭代函數(shù)圖像修復(fù)算法。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該算法在修復(fù)過(guò)程中擴(kuò)散系數(shù)和自適應(yīng)迭代函數(shù)的共同作用，消除了階梯效應(yīng)；修復(fù)的圖像自然過(guò)渡，邊緣信息保存良好。

TV模型；圖像修復(fù)；非線性擴(kuò)散；自適應(yīng)

圖像修復(fù)[1-2]是數(shù)字圖像處理的一個(gè)分支。是利用已破損的圖像信息，使圖像破損部分還原并修復(fù)。圖像修復(fù)技術(shù)分為兩大類：一類是基于紋理的圖像修復(fù)算法[4]，該算法包含基于圖像分解的采樣紋理合成的修復(fù)技術(shù)和基于塊思想的紋理圖像修復(fù)技術(shù)；另一類是非紋理圖像修復(fù)技術(shù)即基于偏微分?jǐn)?shù)理方程(PDE)修復(fù)算法，PDE算法的圖像修復(fù)是一個(gè)非適定(病態(tài))問(wèn)題[5]。為使修復(fù)后的圖像人眼看起來(lái)“自然”，文獻(xiàn)[6]中，提出了PDE圖像修復(fù)算法的3準(zhǔn)則：局域性、邊緣連通性和去噪的魯棒性。具有代表性的偏微分圖像修復(fù)算法 有曲率驅(qū)動(dòng)擴(kuò)散(CDD)修復(fù)算法[7-8]、BSBC修復(fù)算法[9]、全變分(TV)修復(fù)算法[10]。這類算法將PDE進(jìn)行數(shù)值化并進(jìn)行差分轉(zhuǎn)換，最后通過(guò)迭代求解偏微分方程。

Chan[6]等將TV去噪復(fù)原算法進(jìn)行擴(kuò)展，將TV算法運(yùn)用到圖像修復(fù)中。因此基于TV模型的圖像修復(fù)算法成為近年來(lái)研究的熱點(diǎn)。由于算法對(duì)參數(shù)的敏感和運(yùn)算量較大，提出了一個(gè)針對(duì)參數(shù)的自適應(yīng)迭代函數(shù)，并結(jié)合了非線性的思想，使得改進(jìn)后的算法加快了圖像的修復(fù)速度并具有良好的魯棒性。

1 圖像修復(fù)的TV算法

2002年Chan等人基于TV去噪模型的拓展，提出圖像修復(fù)的TV模型即破損圖像的修復(fù)也是一個(gè)最小化能量泛函問(wèn)題。在圖像I的領(lǐng)域內(nèi)，Φ為圖像破損領(lǐng)域，Ω為圖像破損領(lǐng)域的外鄰域，Φ∪Ω為修復(fù)后的領(lǐng)域；且破損圖像的邊界一般具有連通性，如圖1所示。

圖1 破損區(qū)及鄰域示意圖

則基于TV模型的圖像修復(fù)代價(jià)函數(shù)為

(1)

式中，I0是初始圖像；為梯度算子；λ為拉格朗日乘子；|I|dxdy為圖像修復(fù)的TV模型，保證需要修復(fù)圖像盡可能的平滑；|I-I0|2dxdy=const為有約束的最小二乘法，保證修復(fù)后的圖像具有良好的穩(wěn)定性。

當(dāng)求解minEλ(I)時(shí)，得式(1)的Euler-Lagrange方程

(2)

由于式(2)是一個(gè)靜態(tài)偏微分方程，其求解比較困難。因此才要采用梯度下降流的方法將求解靜態(tài)非線性PDE轉(zhuǎn)換動(dòng)態(tài)PDE，當(dāng)?shù)_(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)的解就是式(2)的解，則式(2)對(duì)應(yīng)的梯度下降流方程為

(3)

其中，a是一個(gè)較小的常量；為避免梯度模值|I|為0。

2 非線性擴(kuò)散方程

為達(dá)到去噪并同時(shí)保護(hù)邊緣，Perona和Malik[9]提出了非線性擴(kuò)散PDE方程

(4)

式(4)中，g(|I|)是與圖像梯度模值有關(guān)的擴(kuò)散系數(shù)；g(|I|)是一個(gè)滿足g(0)=1，g(∞)=0的單調(diào)遞減有界函數(shù)。圖像處于邊緣時(shí)|I|較大，g(|I|)較小圖像擴(kuò)散程度??； 圖像處于平滑區(qū)域時(shí)|I|較小，g(|I|)較大加快了圖像在平滑區(qū)的擴(kuò)散。文獻(xiàn)[11～12]給出的擴(kuò)散系數(shù)函數(shù)分別為如式(5)和式(6) 所示。

g1(|

(5)

g2(|

(6)

式(5)和式(6)中的正常數(shù)K是調(diào)整保護(hù)梯度的范圍，擴(kuò)散系數(shù)函數(shù)g(|I|)與圖像梯度模值|I|的關(guān)系如圖2所示。

圖2 擴(kuò)散系數(shù)和梯度模值的關(guān)系

對(duì)破損圖像，圖像在破損區(qū)存在梯度模值較大的區(qū)域，圖2(a)中g(shù)(|I|)在|I|較大時(shí)，擴(kuò)散系數(shù)為0，因此在較大梯度模值的點(diǎn)的擴(kuò)散就會(huì)停止。而圖2(b)中，在對(duì)應(yīng)較大的梯度模值時(shí)擴(kuò)散系數(shù)仍>0，加強(qiáng)了圖像破損區(qū)的擴(kuò)散速度；因此本文擴(kuò)散系數(shù)函數(shù)選g2(|I|)。

3 TV模型改進(jìn)及數(shù)值實(shí)現(xiàn)

3.1 改進(jìn)的修復(fù)算法

傳統(tǒng)的TV圖像修復(fù)模型為各向異性擴(kuò)散。也就是說(shuō)TV算法無(wú)論在大梯度還是在小梯度，對(duì)修復(fù)區(qū)域的領(lǐng)域像素點(diǎn)采用相同的擴(kuò)散系數(shù)進(jìn)行修復(fù)，因此易在平滑區(qū)產(chǎn)生階梯效應(yīng)；且式(3)中的參數(shù)a，在圖像修復(fù)區(qū)域，a的參數(shù)的選取對(duì)圖像的修復(fù)效果和修復(fù)速度影響大；若a取值較大，|I|的作用弱，可知迭代的得到的修復(fù)圖像等效各向同性擴(kuò)散，加快了迭代效率和擴(kuò)散速度；若a取值很小，|ΔI|的作用強(qiáng)，得到修復(fù)的迭代圖像為各向異性擴(kuò)散，突出了圖像的邊緣。

(7)

3.2 數(shù)值實(shí)現(xiàn)

圖3 鄰域像素點(diǎn)

(8)

式(8)中，h為步長(zhǎng)，“半點(diǎn)”離散化時(shí)為1。選取n半像素點(diǎn),其中I0為修復(fù)后的圖像

(9)

|In|?

(10)

將式(8)～式(10)代入式(7)得到離散化的修復(fù)方程

(11)

(x,y)∈Ω

(12)

整理式(11)和式(12)，并采用Gauss-Jacobi迭代算法[15]，目標(biāo)像素o點(diǎn)為破損像素點(diǎn)，則(x0,y0)∈Φ，在破損區(qū)域λ(o)=0，得到迭代次數(shù)為n0的圖像修復(fù)區(qū)域數(shù)值方程

(13)

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析與對(duì)比

本實(shí)驗(yàn)在CPU為3.33 GHz，內(nèi)存為2 GB的計(jì)算機(jī)平臺(tái),運(yùn)用Matlab7對(duì)算法進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證。本文實(shí)驗(yàn)采用Lena灰度圖像，像素大小為256×256；進(jìn)行兩組對(duì)比實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證本文算法。對(duì)比實(shí)驗(yàn)1，是對(duì)Lena圖像進(jìn)行劃痕修復(fù)，對(duì)比實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖4所示。對(duì)比實(shí)驗(yàn)2，是對(duì)Lena圖像進(jìn)行文字修復(fù)，對(duì)比實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖5所示。根據(jù)文獻(xiàn)[15]，當(dāng)自適應(yīng)參數(shù)a為0.01時(shí)，為停止迭代閾值。因此，本文的兩組對(duì)比實(shí)驗(yàn)根據(jù)式(13)的迭代方程，當(dāng)修復(fù)迭代次數(shù)達(dá)到2 000次或自適應(yīng)參數(shù)a的閾值為0.01時(shí)停止迭代，即得到修復(fù)圖像。

圖4 劃痕修復(fù)實(shí)驗(yàn)

圖5 文字修復(fù)實(shí)驗(yàn)

在圖4(d)～圖4(e)和圖5 (d)～圖5(e)中，采用TV算法和自適應(yīng)算法輸出的修復(fù)圖像有明顯的階梯效應(yīng)；圖4和圖5(g)可看出，本文算法對(duì)劃痕修復(fù)和文字修復(fù)輸出圖像無(wú)明顯的階梯效應(yīng)，從使修復(fù)的圖像邊緣清晰，過(guò)渡自然。且基于偏微分的圖像修復(fù)采用峰值信噪比(PSNR)[8]來(lái)對(duì)修復(fù)的結(jié)果進(jìn)行評(píng)價(jià)。評(píng)價(jià)函數(shù)如下

(14)

式(14)中，M×N為圖像的像素；I(i,j)為修復(fù)后的圖像。修復(fù)效果越好，PSNR值也越大；修復(fù)后的PNSR值及算法的迭代時(shí)間如表1和表2所示。

表1 劃痕修復(fù)實(shí)驗(yàn)

表2 文字修復(fù)實(shí)驗(yàn)

從表1和表2可知，本文算法相比TV算法和自適應(yīng)算法，PSNR值有大幅提高；相比于復(fù)雜的CDD算法，在基本相同的修復(fù)效果下，修復(fù)圖像所耗費(fèi)的時(shí)間要少，且本文算法輸出的修復(fù)圖像，無(wú)明顯的階梯效應(yīng)，體現(xiàn)了本文算法的有效性和實(shí)用性。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文通過(guò)分析和評(píng)價(jià)TV圖像修復(fù)算法的局限性，提出了一個(gè)針對(duì)參數(shù) 的自適應(yīng)迭代函數(shù)并結(jié)合非線性擴(kuò)散的思想，對(duì)TV算法進(jìn)行改進(jìn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，改進(jìn)后的算法復(fù)原的圖像，峰值信噪比得到較大提高，修復(fù)效果自然，驗(yàn)證了本文算法的可行性。

[1] 張紅英,彭啟琮.數(shù)字圖像修復(fù)技術(shù)綜述[J].中國(guó)圖象圖形學(xué)報(bào),2007,12(1):1-10.

[2] 趙顏偉,李象霖.一種基于TV模型的快速圖像修復(fù)算法[J].微電子學(xué)與計(jì)算機(jī),2009,26(6):253-256.

[3] 邵肖偉,劉政凱,宋璧.一種基于TV模型的自適應(yīng)圖像修復(fù)算法[J]. 電路與系統(tǒng)學(xué)報(bào),2004(2):113-117.

[4] 朱曉臨,許云云,李震宇.自適應(yīng)Snake-TV模型在彩色圖像修復(fù)中的應(yīng)用[J].合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2011, 34(11):1655-1660.

[5] 林云莉.數(shù)字圖像修復(fù)算法的研究[D].廣州:華南理工大學(xué),2010.

[6] Chan T F,Shen J.Mathematical model for local non-texture inpaintings[J].SIAM Journal on Application Mathmatical,2002,62(3):1019-1043.

[7] Tony F Chan.Nontexture inpainting by curvature-driven diffusions[J].Journal of Visual Communication and image Representation,2001,12(19):436-449.

[8] 印勇,李丁,胡琳昀.采用CDD模型的自適應(yīng)圖像修復(fù)算法[J].重慶大學(xué)學(xué)報(bào),2013,36(4):80-86.

[9] Perona P,Malik J.Scale-space and edge detection using anisotropic diffusion[J]. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence,1990,12(7):629-639.

[10] 林云莉,趙俊紅,朱學(xué)峰,等.改進(jìn)的模型圖像修復(fù)算法[J].計(jì)算機(jī)工程與設(shè)計(jì),2010,31(4):776-779.

[11] 王濤,王軍峰,白青,等.改進(jìn)的TV模型圖像修復(fù)算法[J].計(jì)算機(jī)系統(tǒng)應(yīng)用,2013,22(3):121-124.

[12] 田艷艷,祝軒,彭進(jìn)業(yè),等.一種基于整體變分的圖像修補(bǔ)算法及其應(yīng)用[J].計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用,2008,44(26):180-182.

[13] 王大凱,候榆青,彭進(jìn)業(yè).圖像處理的偏微分方程方法[M].北京:科學(xué)出版社,2008.

[14] 顧建平.圖像修復(fù)快速算法研究[D].北京:中國(guó)科學(xué)院自動(dòng)化研究所,2005.

[15] 屈磊,韋穗,梁棟,等.綜合自適應(yīng)與多尺度的TV圖像修復(fù)方法[J].計(jì)算機(jī)工程,2007,33(22):18-20.

Application of Improved Inpainting Algorithm Based on TV Model

XIE Zhengwei，WANG Chuangxin

(School of Electrical and Information Engineering, Changsha University of Science and Technology, Changsha 410004, China)

The Total Variation (TV) has a positive effect for non-texture damaged image; Owning to the TV algorithm of parameter sensitivity, the result of inpainting is easy to occur staircase effect. This paper proposes an improved image inpainting algorithm based on TV model, with the nonlinear diffusion theory and an adaptive iterative function for the parameter; In consequence of the influence of diffusion coefficient and an adaptive iterative function, the improved algorithm eliminate the staircase effect. The consequence of image inpainting transit naturally and protect the edge information.

TV model; image inpainting; nonlinear diffusion; self-adaptive

2016- 03- 24

謝正偉(1991-)，男，碩士研究生。研究方向：圖像處理。王創(chuàng)新(1965-)，女，副教授，碩士生導(dǎo)師。研究方向：圖像處理等。

10.16180/j.cnki.issn1007-7820.2017.01.017

TP391.41

A

1007-7820(2017)01-061-05