荀 坤

(北京大學 基礎物理實驗教學中心，北京 100871)

周期性弦鏈系統(tǒng)振動模研究實驗介紹

荀 坤

(北京大學 基礎物理實驗教學中心，北京 100871)

圍繞物理、技術和能力培養(yǎng)的課程目標，詳細地介紹了北京大學近代物理實驗課中“周期性弦鏈系統(tǒng)振動模研究”的建設和教學情況. 周期性弦鏈系統(tǒng)是一段等間距穿有小球的細弦. 實驗要求用動態(tài)信號分析儀獲得不同實驗條件下的幾種有限周期弦鏈的振動譜，并由此得到對應的無限長弦鏈的振動譜結(jié)構(gòu). 此實驗有助于理解周期性與帶狀譜結(jié)構(gòu)之間的關系，了解動態(tài)信號分析技術，也比較適合于訓練在數(shù)學抽象與物理圖像間建立聯(lián)系的能力.

周期系統(tǒng)；能帶；譜帶；動態(tài)信號分析

2008年左右，北京大學基礎物理實驗教學中心在任尚元教授建議下以指導研究的形式開始了“弦鏈系統(tǒng)振動模研究”的實驗教學. 2年前，吳思誠教授建議將“周期性弦鏈系統(tǒng)振動模研究實驗”納入近代物理實驗課. 后由“綜合物理實驗Ⅱ”(指導研究型實驗課)課中1位學生就實驗的設計安排作為常規(guī)近代物理實驗是否合適作過測評. 上學期該實驗正式進入近代物理實驗課. 本文將結(jié)合北京大學近代物理實驗課的特點，從培養(yǎng)學生的角度來介紹該實驗的設計思想、主要內(nèi)容和教學安排，并討論存在的問題和可能的改進方向. 由于篇幅限制，本文不討論實驗細節(jié)，具體內(nèi)容請參閱參考文獻[1-3].

1 課程設計

北京大學近代物理實驗課以“使學生對物理有更好的領悟，對物理各領域的重要技術有更廣泛的了解，對基本實驗素質(zhì)養(yǎng)成有自覺意識”為目標，在設計每個新實驗時都要考慮能否和如何服務于這3個目標，“周期性弦鏈系統(tǒng)振動模研究實驗”也不例外. 物理內(nèi)容是決定實驗質(zhì)量的首要因素，此外還需要在實驗裝置、教材、網(wǎng)絡資源和教法等方面加以配合才能達到好的教學效果.

1.1 物理

固體物理可以說是物理中最大的研究領域. 固體物理研究的一個重要內(nèi)容是電子在原子整齊排列的晶體中的行為. 周期性使得晶體中電子具有帶狀能級結(jié)構(gòu)和布洛赫形式的電子波函數(shù)這一事實是解釋眾多材料物性的基礎. 不僅晶體中的電子，其他具有周期結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)，例如光子晶體和聲子晶體中的光子和聲子,都同樣具有帶狀頻譜結(jié)構(gòu)和布洛赫波形式的波函數(shù). 既然如此，如果關注重點是周期性與帶狀譜結(jié)構(gòu)間的關系，完全可以研究最簡單直觀的周期性系統(tǒng). 這就是設計“周期性弦鏈系統(tǒng)振動模研究實驗”的基本考慮. 在均勻細弦上等間距地固定一些直徑很小的小球，研究其上的橫波的振動模確實是足夠簡單的.

在導出布洛赫波時要求晶體要么無限大，要么滿足循環(huán)邊界條件，而實際研究的是一段有限的、存在2個端點的弦. 所幸的是，當一段弦含有的周期數(shù)恰為整數(shù)時，從數(shù)學上可以證明其頻譜與無限長弦的頻譜間存在一些簡單的關系. 雖然直接研究的是一段有限的弦，仍然可以得到無限長弦的頻譜和波函數(shù)的知識. 不僅如此，在有限長的周期性弦鏈系統(tǒng)中還可以觀察到無限大晶體中并不存在的“表面態(tài)”.

總體來說，通過研究一維有限周期弦鏈系統(tǒng)的振動?？梢栽鲞M對周期系統(tǒng)所特有的通帶、禁帶和布洛赫波等概念的理解，了解有限性引起的波矢離散化和表面態(tài)等現(xiàn)象.

1.2 實驗技術

實驗裝置如圖1所示. 弦的一端固定在光學導軌的固定架上，另一端跨過位于光學導軌的定滑輪后由砝碼加一固定張力T. 張緊的弦要與導軌保持平行，弦的兩固定端S1和S2可以在導軌上滑動，以改變到最近鄰小球的距離. 弦上事先穿有若干質(zhì)量為mb的小球，它們最初可以放置在S1和S2的外側(cè)，以便先研究不加小球時的弦(后面稱其為裸弦). 實驗過程中可以用502膠水將小球固定在所需位置.

分別采用PASCO公司的WA-9613驅(qū)動器和探測器來激勵和探測弦鏈的振動. 驅(qū)動器和探測器都可以沿光學導軌滑動，且可以在垂直于弦的2個方向調(diào)節(jié)，以得到較好的激勵和探測效果.

圖1 弦球鏈系統(tǒng)振動模研究實驗裝置示意圖

最初采用功率信號發(fā)生器為驅(qū)動器提供激勵電源，用鎖相放大器檢測探測器感應到的信號. 后改為利用SR785動態(tài)信號分析器(Dynamic signal analyzer)正弦掃頻(Sine swept)工作模式來獲取弦鏈的頻譜特性. 圖1畫出了2個探測器是因為SR785有2個Input口，可以配置2個探測器，并能同時顯示它們檢測到的信號.

實驗中采用動態(tài)信號分析儀的原因，一是為了學生能接觸更多種類實驗技術和實驗儀器；二是可以提高實驗效率，并得到更豐富的實驗結(jié)果，這既有助于將教學重點放在解決物理問題上，也使學生認識到選擇合適的儀器對實驗的重要性.

SR785動態(tài)信號分析儀是專用信號分析器，具有頻譜分析(FFT)、倍頻分析(Octave analysis)、頻響函數(shù)測量(Frequency response function)和正弦掃頻(Sine swept)等功能. 本實驗主要用到正弦掃頻工作模式. 在正弦掃頻工作模式下，按設定的頻率范圍和頻率點數(shù)，Source會依次在每個指定的頻率持續(xù)輸出指定幅度的正弦激勵電源，同時檢測進入Input的同頻率信號的幅度及相對于激勵源信號的相位. Input口接收到的信號幅度或相對相位與激勵信號頻率的關系可以實時顯示在儀器顯示屏上，得到幅頻或相頻特性曲線，如圖2所示(圖中帶隙態(tài)是由于有限性導致的).

實驗中，當激勵信號的頻率等于弦的某個本征振動頻率時就會發(fā)生共振，探測器感應到的信號會顯著增大，對應幅頻特性曲線上尖銳的峰.

圖2 SR785動態(tài)信號分析儀采集到的含6個整周期的弦鏈的帶狀頻譜

探測系統(tǒng)在外加擾動下的響應特性是一類重要的物理實驗技術. 利用交變驅(qū)動力激勵獲得一段弦的振動譜的方式和利用光激勵獲得1個原子或分子的能級結(jié)構(gòu)的方式是相同的. 本實驗廣義地也可以看成一種譜學實驗. 動態(tài)信號分析器在正弦掃頻工作模式下只測量與Source輸出信號頻率相同的信號幅度所采用的就是鎖相放大技術，也可以視為一種窄帶濾波技術. 這些在實驗物理研究中會經(jīng)常遇到.

1.3 講義

由于實驗主要關注的并不是一段弦的振動模，而是周期系統(tǒng)頻譜的一般特性. 所以，在講義的原理部分重點不是討論弦球鏈. 在說明電子晶體、光子晶體和聲子晶體(弦鏈系統(tǒng)實際上也是一種聲子晶體)中的定態(tài)波動方程均可以化為形如式(1)的周期系數(shù)二階線性常微分方程：

(1)

重點討論方程(1)的解的性質(zhì).

考慮到該實驗是近代物理實驗，特別是可能有相當一部分學生之前已經(jīng)學習過固體物理，對方程(1)的討論比一般固體物理教材更深，更數(shù)學化. 對方程(1)，講義大致給出了如下內(nèi)容：

1)當ω增大時，Q(x)會增大，從而影響解的形式.

2)對每個ω都會存在2個線性獨立的解，除了一些特殊情況，可寫成弗洛蓋(Floquet)形式：

y1(x)=eiκxp1(x) ，y2(x)=e-iκxp2(x) ，

(2)

這里，p1(x)和p2(x)是周期函數(shù)，周期為a. 當ω在某些區(qū)間時κ為實數(shù)，解在全空間都有限，稱為穩(wěn)定解，對應的ω區(qū)間稱為通帶. 當ω在另一些區(qū)間時，κ有虛部，解不能在全空間保持有限，稱為非穩(wěn)定解，對應的ω區(qū)間稱為禁帶.

3)對無限系統(tǒng)，只存在穩(wěn)定解，ω可以在通帶內(nèi)連續(xù)取值. 對加入循環(huán)邊界條件的有限系統(tǒng)，也只存在穩(wěn)定解，ω只能在通帶內(nèi)離散取值. 這實際就是布洛赫定理，κ即為布洛赫波矢.

4)對無循環(huán)邊界條件的有限系統(tǒng)，既允許有穩(wěn)定解，也可以有非穩(wěn)定解.

6)當ω處于通帶與禁帶邊界上時，解比較特殊，稱為帶邊態(tài)，一般不能寫成弗洛蓋形式.

圖3給出了一維周期性無限系統(tǒng)(曲線)和只含其中8個整周期且兩端固定的有限系統(tǒng)(圓點)的頻譜示意圖. 有限系統(tǒng)的周期平移不變性被破壞，但在通帶內(nèi)其解是1對弗洛蓋解的疊加，仍可由κ標識，仍有與無限系統(tǒng)一樣的“色散關系”，只不過κ只能取分離本征值. 通帶與禁帶交界處的態(tài)會有一些特別，被稱為帶邊態(tài).

圖3 周期系統(tǒng)的能帶結(jié)構(gòu)示意圖

除了原理外，講義還給出了弦鏈系統(tǒng)本征頻率和波函數(shù)的算法. 在介紹算法時先對弦鏈系統(tǒng)的波動方程作了約化(去量綱)處理，并介紹了二階線性齊次常微分方程的矩陣算法，要求學生在課前編寫計算程序.

近代物理實驗課程網(wǎng)除了放有實驗講義、數(shù)學附錄外，還放有SR785動態(tài)信號分析器使用說明書、2篇弦球鏈系統(tǒng)的教學研究論文和1篇近年的聲子晶體方面的科學研究論文，同時，還提供正版Mathcad輔助教學軟件下載.

1.4 內(nèi)容

被研究的弦鏈可以由左端到最近鄰小球的距離τ、小球間距a、小球質(zhì)量mb、弦線質(zhì)量密度μ0、張力T和周期數(shù)N等參量完備表征. 其中，mb和μ0由實驗室直接給出，T僅需由砝碼和托盤質(zhì)量計算，具體見表1.

表1 實驗過程中保持不變的參量

教學重點放在研究τ和N對頻譜的影響上，要求學生完成如下實驗內(nèi)容：

1)在N=6，τ分別等于0,a/3和a/2時，測出弦球鏈的前13個本征頻率；

2)在N=7，τ分別等于0,a/3和a/2時，測出弦球鏈的前15個本征頻率；

3)仿照圖3，在同一圖上畫出2)和3)測得的振動頻譜；

4)根據(jù)需要做適當?shù)难a充測量后，再在內(nèi)容3)所畫的圖上畫出同樣實驗條件下的無限長弦鏈頻譜的前2個通帶，并給出第1禁帶的寬度；

5)定性測量并畫出內(nèi)容1)中τ=a/3時，第1禁帶內(nèi)的本征波函數(shù)，并標出節(jié)點位置；

6)編寫數(shù)值模擬程序，給出每種實驗條件下的本征頻率的理論值，并與實驗結(jié)果比較.

實驗在8個課內(nèi)學時完成. 此外，要求學生課外5學時預習，11學時寫實驗報告.

2 教學過程

由于過于追求嚴格和普適，實驗講義的原理部分比較數(shù)學化，內(nèi)容比一般固體物理教材更深. 多數(shù)學生在做此實驗前并未學過固體物理，預習原理時普遍比較困難，幾乎所有學生都表示沒讀懂. 還有，盡管要求事先編好數(shù)值計算程序且給出了算法，但只有極個別學生能完成. 再加上講義中介紹的是鎖相放大器，實際用的是動態(tài)信號分析器，學生普遍表現(xiàn)出對實驗沒有信心.

面對學生畏難情緒，上課時教師可以解釋：

1)實驗物理工作者最重要的職責是給出真實可信的實驗結(jié)果，能否正確解釋在其次，原理不十分清楚不影響實驗；

2)大家都做過弦上駐波實驗，對均勻弦的振動模和頻譜已經(jīng)非常清楚，現(xiàn)在不過是在弦上等間距地加了一些小球，并沒有超出牛頓力學范圍；

3)使用更合適儀器只會更省事，學習使用儀器也是課程內(nèi)容；

4)主要考察課上是否全程用心，完成多少講義要求的內(nèi)容不重要.

與講義上原理敘述比較抽象和數(shù)學化不同，課堂上教師會更加注意研究對象的特殊性和物理圖像.

學生應該明白本實驗和弦上駐波實驗一樣是要測一段弦的頻譜，只是所用的工具有所變化. 此前他們并沒有關于動態(tài)信號分析儀方面的知識，也未被告知要用何功能. 面對500多頁的SR785動態(tài)信號分析儀英文說明書，他們需要快速地檢索目錄，大致了解儀器的特性和功能，從中鑒別出有可能適用的部分. 然后，再稍微仔細地閱讀這些部分，選擇最適合的功能. 在學生自己做出選擇后，教師再和他們討論選擇的優(yōu)劣，確定采用正弦掃頻模式. 此后，學生要再花一定時間閱讀正弦掃頻部分的說明書. 北京大學近代物理實驗課教師普遍認為實驗課程應該培養(yǎng)學生閱讀儀器使用說明書的能力. 學生應在盡可能短的時間內(nèi)做到：不損害人身和損壞儀器；能正確使用儀器獲得滿足自己需要的結(jié)果.

閱讀過說明書并不意味著就能正確使用儀器. 用不熟悉的儀器去檢測不熟悉的對象很難保證能得到正確的結(jié)果. 所以，學生首先要測量弦上不加小球時的頻譜，并與式(3)比較.

(3)

實際上正弦掃頻幾乎就是“弦上駐波實驗”的全自動版. 說明書說，在確定掃描范圍和測量點后，儀器會在每一個頻率點由Source端持續(xù)送出一段時間的正弦信號，同時由Input端檢測該頻率信號的幅度和相位. 這里，只測量某個頻率的信號意味著什么？顯然不是1個頻率點，而是1個頻率窗口的信號. 頻率窗口的大小是多少？如何確定？這需要教師簡單講解鎖相放大器和傅氏分析的知識.

從上課開始大約3h后，學生一般就可以用動態(tài)信號分析儀的正弦掃頻功能測出與式(3)理論值一致的均勻弦的頻譜，并掌握數(shù)據(jù)的存取和轉(zhuǎn)換方法.

由于PASCO公司的WA-9613驅(qū)動器是軟磁鐵芯，雖然Source送出的激勵電流頻率為f，但弦受到的驅(qū)動力最主要的成分的頻率是2f，Input只檢測頻率為f的振動，信號極弱. 在驅(qū)動器磁芯上加1個小永磁圓片后，弦受力主要成分的頻率會變成f，Input測得的信號幅度會增加幾個量級. 這種小改進帶來的顯著結(jié)果會給學生留下比較深刻的印象.

做實驗時應該要帶有一定預期，這樣才會區(qū)分正常與反?，F(xiàn)象. 絕大多數(shù)反?，F(xiàn)象是由于干擾因素引起的，排除所有干擾因素后還存在的反常則可能意味著新的發(fā)現(xiàn). 在開始實驗前教師會與學生一起基于簡單的物理圖像討論周期性弦鏈的特性. 比如會問：與不加小球相比，加小球?qū)谋菊黝l率是增加還是下降？對此，學生基本上都會回答下降. 但如果再問為什么會下降，就不是所有學生都能很快回答. 能用弦的等效線質(zhì)量密度增加來解釋就是不錯的答案，雖然更準確的答案應該是：加小球后本征頻率不會大于加小球前的.

通過討論學生會意識到：系統(tǒng)由多段均勻子弦組成，每段弦的波函數(shù)都能用一簡諧函數(shù)描述，這意味著相位的概念依然存在. 所有節(jié)點位置(包括2個固定端)的相位可以表示為nπ，其中n是自然數(shù). 同一子弦上不同位置間的相位差為kΔx，ω=kv，這里k和v分別是裸弦的波矢和波速. 將小球看成質(zhì)點，若其振幅不為零，要作加速運動必受一有限的力作用，這意味著小球處波函數(shù)雖然連續(xù)，但波函數(shù)的導數(shù)，除節(jié)點外不再連續(xù). 可以認為，弦跨過小球時會有一附加相移，振幅和頻率越大相移也越大. 容易看出，小球引起的附加相移最多為π. 有了如上基本物理圖像后學生就會進行積極思考，往往不再愿意教師給予過多指導.

有了研究裸弦的經(jīng)驗和得到的裸弦頻譜作為參考，后面的實驗就相對容易. 由裸弦的第13個本征頻率可以確定掃描頻率的上限，其他參量也可以參照裸弦的情況設定. 只有在τ=a/3時，才會遇到檢測不到第12個本征模的信號的困難. 原因如圖4(b)所示,為了保證上方不正好是節(jié)點，一般會把驅(qū)動器放置在距左端較近的位置A(此處如是節(jié)點意味著頻率會大大高于測量范圍). 但是對第12個模，此位置雖不是節(jié)點，但振幅極小，實際效果也和節(jié)點一樣，所以當驅(qū)動器放置在A位置時不可能觀察到第12個模. 反之，如果將驅(qū)動器放置在位置B就可以觀察到第12個模，但卻又觀察不到第6個模.

(a)n=18

(b)n=12

(c)n=6圖4 N=6，τ=a/3的前3個帶隙態(tài)的波函數(shù)示意圖(n是模的序號，A和B代表驅(qū)動器可能放置的位置. n=18的態(tài)正好位于通帶與禁帶交界處，是弦兩端波幅相同的帶邊態(tài))

圖5是張宇鵬同學測得的N=6，3種τ的弦球鏈的頻譜，橫軸采用了駐波節(jié)點數(shù)，其值比模序號值小1.N=7的情況與N=6的類似，這里沒有畫出.

(a)τ=0

(b)τ=a/2

(c)τ=a/3圖5 N=6的弦球鏈頻譜

實驗任務要求畫出無限大的弦鏈系統(tǒng)的譜帶結(jié)構(gòu)，如圖6中實線. 由N=6和N=7時測得的數(shù)據(jù)可以得到通帶內(nèi)的點，已標在圖上. 但是帶邊態(tài)對應的點也必須給出. 帶邊態(tài)是帶隙態(tài)的一種特例，從弦的一端到另一端波函數(shù)的幅度不會衰減. 前面已經(jīng)指出過，帶隙態(tài)的本征頻率只與τ有關，與N無關. 根據(jù)分析，圖6中態(tài)“1”,“2”和“4”分別是τ=a/2的第1個帶隙態(tài)、τ=0的第1個和第2個帶隙態(tài)，其數(shù)據(jù)前面已經(jīng)測出. 但點“3”必須作補充測量才能得到.

圖6 實驗報告中需要給出的譜帶結(jié)構(gòu)

第3點對應第2個禁帶的頻率最低位置. 可以用測量N=6的第12個模的本征頻率隨τ的變化，找出極小頻率來得到.

3 實驗報告

北京大學近代物理實驗要求用研究論文的形式撰寫實驗報告，會有一定的格式要求. 在內(nèi)容上，首先要求客觀準確地用示意圖和文字報告實驗條件，用表格和圖報告實驗結(jié)果. 然后，要求從實驗結(jié)果中找出盡可能多的規(guī)律. 比如，會比較關心：

1)是否對比了N=6不同τ的3種情況；

2)是否對比了τ=0，N=6和N=7的情況；

3)是否能正確討論并給出圖6中的4個帶邊態(tài)的本征頻率；

4)是否對比裸弦與弦鏈的頻譜；

5)是否思考過當頻率很高時，頻譜會退化成什么形式；

6)是否注意到隨著頻率的增大，通帶和禁帶寬度的變化規(guī)律；

7)是否對比了實驗與理論計算值，注意到隨著頻率的增高，實驗測得的本征頻率會比理論值偏大；

8)是否注意到了幅頻特性曲線的峰型并不是對稱.

用文字總結(jié)出實驗結(jié)果后，能解釋的解釋，不能解釋的也可以說原因尚不清楚. 除了顯而易見的情況，所有解釋都應該有理有據(jù).

通過給附加分來鼓勵學生作進一步深入研究. 例如，有學生討論了節(jié)點位置變化規(guī)律，小球位置發(fā)生微小偏離會帶來什么結(jié)果. 此實驗可以發(fā)揮的空間還比較大，如可以討論弦不是整數(shù)周期的情況，其中有1個小球缺失或者具有與眾不同的質(zhì)量(雜質(zhì)態(tài))，2種周期性弦球鏈再組成新的周期鏈(超晶格)等.

只要學生愿意，教師就采用面批的方式批改實驗報告.

4 問 題

經(jīng)過1學期的教學，暴露了不少問題，如講義原理沒做到深入淺出，太糾纏于細節(jié)，條理性不強，沒有考慮學生不會花太多時間預習，使得學生普遍反映慢了看不完，快了看不懂；1次8學時實驗比較匆忙，應該安排成2個4學時，這樣學生在接觸儀器后有更多時間思考、與教師討論或作針對性閱讀；課內(nèi)用502粘小球比較費勁，學生不小心還會把自己手粘住了，而且最后小球位置還會有1～2 mm的誤差. 這些都需要在今后的教學中逐步改進和完善.

[1] 吳思誠，荀坤. 近代物理實驗[M]. 4版. 北京：高等教育出版社，2015：376.

[2] 任尚元. 有限晶體中的電子態(tài)——Bloch波的量子限域[M]. 北京：北京大學出版社，2005.

[3] 荀坤，郭猜，田正陽. 有限周期性弦球鏈系統(tǒng)的振動模[J]. 大學物理，2009,28(10):4-7.

[4] 賀卓然，周廷弢，荀坤. 用力學方法測量一維有限狄拉克梳的電子態(tài)[J]. 物理實驗，2013,33(1):1-3.

[5] Maynard J D. Acoustical analogs of condensed-matter problems [J]. Rev. Mod. Phys., 2001, 73(2):401-417.

[6] 劉尚，姚文杰，荀坤. 利用弦鏈系統(tǒng)模擬量子力學中的Dirac梳[J]. 物理實驗,2017,37(1):7-12.

[責任編輯：任德香]

Vibration modes of periodical string-chain

XUN Kun

(Teaching Center for Experimental Physics, Peking Unversity, Beijing 100871, China)

In view of the course aim for education on physics, technology and ability, the experiment of vibration modes of periodical string-chain in the modern physics laboratory of Peking University was introduced in detail. The periodical string-chain was a periodically beaded string. The vibration spectra of different finite string-chains were measured by a dynamic signal analyzer, and the band structure of an infinite string-chain corresponding to the finite string-chain could be derived. The experiment was helpful to understand the relation between the periodicity and band spectra, and to train the ability to associate abstract mathematics with physical picture.

periodic system; energy band; spectrum band; dynamic signal analysis

2017-02-20

荀 坤(1961-)，男，貴州興義人，北京大學物理學院副教授，博士，研究方向為磁性薄膜.

O413.1;O32

A

1005-4642(2017)03-0025-06