李微哲　婁平

摘要：給出了小剪切變形下的基樁P-△效應(yīng)和大剪切變形下支座P-△效應(yīng)計算的桿單元剛度矩陣方程。假定桿單元彎曲變形位移函數(shù)為三次冪函數(shù)，剪切變形函數(shù)為線性函數(shù)，根據(jù)有限元法一般原理，推導(dǎo)了一種同時計入豎向力徑向剪切分力剪切變形和水平力剪切變形的P-△效應(yīng)桿單元剛度方程，推導(dǎo)了一種僅計入豎向力徑向剪切分力剪切變形而忽略水平力剪切變形的P-△效應(yīng)桿單元剛度方程，推導(dǎo)了一種僅計入水平力剪切變形而忽略豎向力徑向剪切分力剪切變形的P-△效應(yīng)桿單元剛度方程。計入水平力剪切變形而忽略豎向力徑向剪切分力剪切變形的P-△效應(yīng)桿單元可良好的模擬支座在大剪切變形下的偏心工作特性，能實時計入其偏心彎矩影響，為實時計入支座偏心特性的結(jié)構(gòu)動靜力分析提供了理論支撐。最后通過自編MATLAB程序進行算例分析，結(jié)果表明，計入支座大剪切變下的P-△效應(yīng)后，基樁內(nèi)力位移和地基土壓力均顯著增大?；鶚蹲陨砑羟凶冃螌渡韮?nèi)力位移和地基土壓力影響較小，可以忽略。

關(guān)鍵詞：基樁；支座；水平力剪切變形；豎向力徑向剪切分力；P-△效應(yīng)；有限桿單元法

中圖分類號：TU470

文獻標(biāo)志碼：A

文章編號：1674-4764（2016）06-0062-10

傾斜荷載下的基樁，不僅水平力產(chǎn)生剪切變形，豎向力因轉(zhuǎn)角產(chǎn)生徑向剪切分力也將產(chǎn)生剪切變形。樁頂支座大剪切變形下的P-△效應(yīng)極顯著，不容忽略。目前，計人剪切變形的基樁P-△效應(yīng)計算的有桿單元法尚似未見報道。而彈簧、剛臂或等效偏心彎矩均難實時模擬支座大剪切變形下的P-△效應(yīng)。因此研究計人小剪切變形下的基樁P-△效應(yīng)和大剪切變形下支座P-△效應(yīng)計算方法具有實際意義。

目前基樁P-△效應(yīng)計算分析方法較多，可分為解析解法和有限元法兩大類。線彈性土中基樁P-△效應(yīng)靜力計算解析解，主要有m法假定的冪級數(shù)解，C法（張氏法）假定的解析解，以及（mz+c）法假定的冪級數(shù)解。隨后欒魯寶等給出了粘彈性土中考慮P-△效應(yīng)時基樁水平振動的解析解答。趙明華等提出應(yīng)用有限元一有限層法進行基樁P-△效應(yīng)計算。在有限桿元法中，通過附加幾何剛度矩陣來考慮P-△效應(yīng)。常用的桿單元幾何剛度矩陣為線性近似的幾何剛度矩陣或一致幾何剛度矩陣。但因假定和推導(dǎo)過程差異，幾何剛度矩陣形式較多。王用中等、趙明華等、夏擁軍等均給出了不同形式的P-△效應(yīng)桿單元剛度矩陣方程。梁仁杰等提出用白噪聲掃描的手段，結(jié)合數(shù)值計算的方法，求解結(jié)構(gòu)考慮P-△效應(yīng)時的模態(tài)參數(shù)，并研究了P-△效應(yīng)對結(jié)構(gòu)動力特性影響。李剛等應(yīng)用有限桿單元法對結(jié)構(gòu)P-△效應(yīng)動力分析，認(rèn)為P-△效應(yīng)將降低結(jié)構(gòu)抗震能力。耿江瑋等對考慮材料非線性和P-△效應(yīng)的非規(guī)則連續(xù)梁橋進行地震反應(yīng)分析，魏標(biāo)等重點研究了支座布置對不等高墩非規(guī)則連續(xù)梁橋地震響應(yīng)的影響，張志俊等進行了彈性支座對橋梁車致振動的隔振效果研究，以上學(xué)者均用彈簧或彈簧阻尼單元模擬橋梁支座，忽略了支座的偏心彎矩效應(yīng)。馬長飛等、劉彥輝等通過構(gòu)造水平力偶代替支座偏心彎矩，應(yīng)用有限桿單元法對上下部結(jié)構(gòu)和隔震支座進行了地震反應(yīng)分析，雖考了了支座偏心彎矩效應(yīng)，但求解較復(fù)雜，通用性不足。孟凡濤等綜合考慮剪切變形和梁柱節(jié)點連接半剛性影響的基礎(chǔ)上，給出了框架柱的抗側(cè)移剛度公式，認(rèn)為剪切變形對框架結(jié)構(gòu)的P-△效應(yīng)影響顯著，已超出工程上可接受的5%的誤差范圍。

本文將假定桿單元剪切變形和彎曲變形的位移模式，推導(dǎo)小剪切變形下的P-△效應(yīng)桿單元剛度方程，用以計算樁身剪切變形影響；推導(dǎo)大剪切變形下的P-△效應(yīng)的桿單元剛度方程，用以計算支座大剪切變形下的P-△效應(yīng)。

1.計入剪切變形的P-△效應(yīng)桿單元

為推導(dǎo)計人了剪切變形和P-△效應(yīng)的桿單元剛度方程，假定彎曲變形產(chǎn)生的水平位移為三次冪函數(shù)，剪切變形產(chǎn)生的水平位移為線性函數(shù)。

1.1P-△效應(yīng)桿單元受力平衡微分方程

假定P-△效應(yīng)桿單元為彈性體，單元受力如圖1所示。

式（43）～（45）分別由式（35）～（37）演化而來，主要是在反算單元節(jié)點剪力時已計人了小變形情況下豎向力因傾角而產(chǎn)生的徑向剪切分力。式（43）～（45）的剪力項分別減去式（35）～（37）對應(yīng)的剪力項-即可得豎向力因傾角而產(chǎn)生的徑向剪切分力。

1.7支座等大剪切變形構(gòu)件PA效應(yīng)計算

工程中大部分構(gòu)件剪切變形影響很小而可以忽略。但如支座等大剪切變形構(gòu)件，豎向力產(chǎn)生的偏心彎矩十分顯著，而剛臂或彈簧均不能實時模擬支座的偏心彎矩效應(yīng)。支座發(fā)生大剪切變形時，本文豎向力徑向剪切分力近似計算公式不再適用。但是僅計入水平力剪切變形時的P-△效應(yīng)桿單元剛度方程式（36）卻能很好地反映支座的工作性能，可以很好地計人豎向力在因支座大剪切變形而產(chǎn)生的偏心彎矩影響，即支座的P-△效應(yīng)。

2.支座P-△效應(yīng)算例

某支座高h=0.3m，直徑d=850mm，剪切模量G一2 MPa，抗壓彈性模量E=5000MPa，豎向力FN=15000kN，水平力F_H=180kN。

支座受力如圖2，支座頂水平位移由剪切變形V_s和彎曲變形V_m組成，但剪切變形遠大于彎曲變形，且與支座高度同數(shù)量級，為典型的大剪切變形構(gòu)件；支座底部總彎矩由豎向力偏心彎矩和水平力矩組成，豎向力偏心彎矩往往極顯著，且遠大于水平力矩。支座偏心受壓后其豎向抗壓剛度會隨之變化，其彎曲變形會出現(xiàn)一定的非線性，本文暫時忽略此影響，并假定其抗壓彈模不變。

本文中將支座劃分為10個桿單元，按僅計入水平力剪切變形而忽略豎向力徑向剪切分力剪切變形時，P-△應(yīng)桿單元剛度矩陣方程式（21），自編Matlab程序計算，支座單元節(jié)點水平位移、彎曲轉(zhuǎn)角、彎矩計算如下表1所示?？梢娭ё酌嫫膹澗卣伎倧澗氐?3.65%，水平力產(chǎn)生的彎矩僅占6.35%。偏心彎矩顯著，不容忽略，在基樁內(nèi)力位移計算分析時應(yīng)予以考慮。

支座基樁受力如圖3，支座頂水平位移由基樁水平位移V_p和支座自身水平變形V_b組成；且二者同數(shù)量級?；鶚俄敽奢d除了上部結(jié)構(gòu)傳遞的豎向力FN和水平力F_Q外，還有豎向力因支座自身變形而產(chǎn)生的偏心彎矩F_N·V_B，因豎向力和支座變形均很大，因此偏心彎矩不能忽略。

將支座劃分了2個桿單元，其單元剛度矩陣方程采用式（36）；基樁劃分了731個桿單元，在忽略和計人樁身剪切變性影響情況下其單元剛度矩陣方程分別采用（38）和式（35）；并用自編MATLAB有限元程序計算，結(jié)果如表2和圖4。

由表1可知，在忽略樁身剪切變形的情況下，計人支座偏心彎矩效應(yīng)（即P-△效應(yīng)）后，樁頂位移和轉(zhuǎn)角分別增加了13.41%和18.46%，地面處樁身位移和轉(zhuǎn)角分別增加了9.83%和10.29%，樁身最大彎矩和最大剪力分貝增加了10.82%和10.59%，樁頂修正剪力增加了5.55%，最大土壓力增加了9.40%。進一步考慮樁身剪切變形影響后，樁頂位移和轉(zhuǎn)角分別增加了0.70%和O.87%，地面處樁身位移和轉(zhuǎn)角分別增加了0.55%和0.92%，樁身最大彎矩和最大剪力分貝增加了1.49%和0.23%，樁頂修正剪力增加了0.24%，最大土壓力增加了一0.10%。

因此，支座P-△效應(yīng)對基樁內(nèi)力位移影響顯著，應(yīng)該考慮；而剪切變形對樁身內(nèi)力位移影響極小，則可忽略。

支座偏心彎矩效應(yīng)也可以通過水平力作用在支座的剪切變形乘以豎向力近似求得，并將此偏心彎矩加載至基樁頂，即可在基樁P-△效應(yīng)計算時等效考慮支座的影響。但在上下部結(jié)構(gòu)、支座和地基共同作用時，支座的偏心彎矩效應(yīng)很難用等效彎矩進行實時模擬。因此，提出的計入水平力剪切變形時的P-△效應(yīng)桿單元剛度方程式（35）能很好地反映支座的偏心工作特性，為上下部結(jié)構(gòu)共同作用的關(guān)鍵銜接構(gòu)件——支座提供了理論支撐。

4.結(jié)論

假定桿單元位彎曲變形移函數(shù)為三次冪函數(shù)，剪切變形位移函數(shù)為線性函數(shù)，根據(jù)有限元一般原理，導(dǎo)出了考慮了P-△效應(yīng)、水平力剪切變形、豎向力徑向剪切分力剪切變形的桿單元的剛度方程，通過算例分析，主要結(jié)論如下：

1）推導(dǎo)了同時考慮水平力剪切變形、豎向力徑向剪切分力剪切變形和P-△效應(yīng)的桿單元剛度矩陣方程；推導(dǎo)了僅計入水平力剪切變形而忽略豎向力徑向剪切分力剪切變形時的P-△效應(yīng)桿單元剛度矩陣方程；推導(dǎo)了僅計人豎向力徑向剪切分力剪切變形而忽略水平力剪切變形時的P-△效應(yīng)桿單元剛度矩陣方程，進一步完善了P-△效應(yīng)桿單元理論。

2）僅計入水平力剪切變形而忽略豎向力徑向剪切分力剪切變形時的P-△效應(yīng)桿單元能很好地反映支座大剪切變形的偏心工作特性，為上下部結(jié)構(gòu)共同作用動靜力分析的關(guān)鍵銜接構(gòu)件——支座提供了理論支撐。

3）支座和基樁共同作用的P-△效應(yīng)分析表明，在水平力作用下，支座大剪切變形下的P-△效應(yīng)將使基樁內(nèi)力位移和樁側(cè)土壓力顯著增大，并進一步削弱支座和墩臺綜合水平剛度，基樁P-△效應(yīng)分析、墩臺水平力分配時應(yīng)予以考慮。

4）基樁自身剪切變形對基樁P-△效應(yīng)影響極小，可以忽略。