湖北 盧曉勇

(作者單位：湖北省孝感市云夢縣黃香高級(jí)中學(xué))

研究數(shù)列有三法
——列舉觀察與歸納

研究、認(rèn)識(shí)數(shù)列的最簡單的方法就是列舉，列舉出足夠多的項(xiàng)，然后觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測、歸納、類比、抽象、概括，尋找出最本質(zhì)的東西，進(jìn)而就能發(fā)現(xiàn)規(guī)律，找到解題的基本方向.

1．觀察數(shù)列規(guī)律，寫出通項(xiàng)公式

【例1】已知數(shù)列{an}的前幾項(xiàng)，寫出它的一個(gè)通項(xiàng)公式．

(3)每項(xiàng)的分母為2n的形式，從第2項(xiàng)起每項(xiàng)的分子比分母小3，且正負(fù)相間.

【評注】觀察法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)求通項(xiàng)公式時(shí)，抓住以下幾方面的特征：①分式中分子、分母的特征，分子與分母的差異特征；②相鄰項(xiàng)的變化特征；③拆項(xiàng)后的特征；④各項(xiàng)符號(hào)的特征．聯(lián)想項(xiàng)與序號(hào)n的函數(shù)關(guān)系．

如果給出的項(xiàng)中既有分?jǐn)?shù)又有整數(shù)的統(tǒng)一化為分?jǐn)?shù)即一定要統(tǒng)一形式，有些分?jǐn)?shù)進(jìn)行了約分，還要再進(jìn)行還原； 如果有正有負(fù)的可以用(-1)n或者(-1)n+1調(diào)整，也可以利用三角函數(shù)調(diào)整．

【變式】寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前4項(xiàng)分別是下列各數(shù)：

(2)9,99,999,9 999;

(3)-1,2,-3,4；

(5)3,15,35,63.

(2)an=10n-1(n∈N*)；

(3)an=(-1)nn(n∈N*)；

(5)an=(2n-1)(2n+1)=4n2-1(n∈N*).

2. 觀察圖形,總結(jié)通項(xiàng)公式

【例2】(1)根據(jù)下面的圖形及相應(yīng)的點(diǎn)數(shù)，在空格和括號(hào)中分別填上適當(dāng)?shù)膱D形和點(diǎn)數(shù)，并寫出點(diǎn)數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：

(2)下圖中的三個(gè)正方形塊中，著色正方形的個(gè)數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)數(shù)列的前3項(xiàng)．請寫出這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng)和數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.

【解析】(1)①16，21，an=5n-4 (n∈N*)；

②10,13,an=3n-2 (n∈N*)；

③24,35,an=n2+2n(n∈N*).

【評注】觀察圖形求數(shù)列的通項(xiàng)公式，根據(jù)圖形前幾項(xiàng)求通項(xiàng)公式時(shí)，抓住以下幾方面的特征：①圖形發(fā)展變化的規(guī)律；②相鄰項(xiàng)的變化特征；③建立數(shù)列遞推關(guān)系式求解.

【變式】把正整數(shù)按一定的規(guī)則排成了如圖所示的三角形數(shù)表．

1

2________4

3 5 7

6 8 10 12

9 11 13 15 17

14 16 18 20 22 24

設(shè)aij(i,j∈N*)是位于這個(gè)三角形數(shù)表中從上往下數(shù)第i行、從左往右數(shù)第j個(gè)數(shù)，如a52=11.則a87=________.

【解析】由三角形數(shù)表可以看出其奇數(shù)行為奇數(shù)列，偶數(shù)行為偶數(shù)列，故a87表示第8行的第7個(gè)數(shù)字，即第2+4+6+7=19個(gè)正偶數(shù)．故a87=2×19=38.

3.列舉法是研究項(xiàng)的最簡單方法

【例3】在數(shù)列{an}中，a1=1,|an|=|an-1+1|(n≥2,n∈N*)，則a1+a2+a3+a4的最小值是________.

【解析】可用樹狀圖分析，得滿足條件的數(shù)列共有7個(gè)，易得a1+a2+a3+a4的最小值是-2.

4.有些數(shù)列的項(xiàng)具有周期性

所以數(shù)列{an}的周期T=3，

【評注】若有f(x+T)=f(x)，則f(x)的周期是T．類似地，若an+k=an(n∈N*,k為非零正整數(shù))，則{an}為周期數(shù)列，T=k為{an}的一個(gè)周期．

【變式】已知數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=1,an+1=|an-an-1|(n≥2)，則該數(shù)列前2 012項(xiàng)和等于________．

【解析】因?yàn)閍1=1,a2=1,an+1=|an-an-1|(n≥2)，所以a3=|a2-a1|=0;a4=|a3-a2|=1;a5=|a4-a3|=1;a6=|a5-a4|=0,…,

所以數(shù)列{an}是周期為3的數(shù)列，每個(gè)周期內(nèi)所有項(xiàng)的和為2，

【例5】在數(shù)列{an}中，已知a1=2,a2=3,當(dāng)n≥2時(shí)，an+1是an·an-1的個(gè)位數(shù)，則a2016=________.

【解析】因?yàn)閍1=2,a2=3,

所以a3=6,a4=8,a5=8,a6=4,a7=2,a8=8,

a9=6,a10=8,a11=8,a12=4,a13=2,a14=8,…,

所以數(shù)列{an}從第3項(xiàng)起是以6為周期的數(shù)列，

因?yàn)? 016=2+335×6+4,

所a2016=a2+4=a6=4.

【評注】函數(shù)周期是T，則f(x+kT)=f(x),k∈Z，類似地，若數(shù)列周期是T，則am+kT=am(其中m∈N*,k∈N,T為非零正整數(shù))．尋找數(shù)列的周期，可以先通過列舉的方法進(jìn)行．

【變式】已知數(shù)列{an}中，Sn是其前n項(xiàng)和，若a1=1,a2=2,anan+1an+2=an+an+1+an+2，且an+1an+2≠1，則a1+a2+a3=________，S2010=________．

(作者單位：湖北省孝感市云夢縣黃香高級(jí)中學(xué))