安徽 郭洪莉

(作者單位:安徽省蚌埠市懷遠三中)

基本不等式的兩種特殊應用
——例談“1”的代換

利用基本不等式在求函數(shù)最值、求參數(shù)范圍是高考的熱點，深刻理解基本不等式以及會使用基本不等式是學生學習中的重點.本文就著重介紹運用基本不等式求代數(shù)式的最值類型中的兩種特殊應用以饗讀者.

一、 “1”的代換

(法3)∵a,b>0,a+b=1，

【評注】上述法1、法2都是兩次使用了基本不等式，不等號也能同時成立，符合不等式傳遞性，求出來的最小值也是正確的，但是卻不是此類問題的通法，因為等號成立的條件很脆弱，當已知條件稍微修改，如a+3b=1，那么等號成立的條件就喪失了；法三則只是用一次基本不等式，等號又能取到，不會出現(xiàn)法1、2的尷尬，是一個通法．

【評注】本題定值是以分式形式出現(xiàn)，目標函數(shù)則是整式.那么這里的“1”代到哪里去呢？顯然是代到x+y的旁邊，并與之相乘，即(x+y)ד1”.此種方法有人把它稱為“1”的附乘．凡是定值不為1也可這樣用，這種方法也經(jīng)常用，此類題型同樣是具體有如下特點：分式的分母之和往往與多項式相差一數(shù)．

當且僅當x=1,y=1時等號成立，

所以2x+y的最小值為3.

3 . 分母之和為常數(shù)是用“1”的代換的特征

【評注】本題要注意分式的分母x,1-x的整體特點，從而探索到隱含的條件：和為定值即x+(1-x)=1.

4.曲線過一點,為“1”的代換提供“定值”

【評注】對于一些結(jié)構(gòu)復雜的的函數(shù)式，可以采用換元法，使得它們的特征“分母之和為定值”更加顯現(xiàn).

5. 隱藏在三角最值中的“1”的代換

【評注】“1”的代換的形式特征是分式的分母相加，可得到定值．分母相加，平方關(guān)系sin2x+cos2x=1，等，都可能提供分母之和為定值的條件．

二、似曾相識的“1”的代換

1.換元法可凸顯“1”的代換的典型特征

【評注】待求式的分母較為復雜，研究雙變元分式函數(shù)的最值問題，常用換元法.

2.含有不等關(guān)系m+n≤a的“1”的代換

3.“1”的代換在不等式恒成立中的應用

【評注】通過對原不等式的變形，最終化歸成典型的“1”的附乘問題.

4.“1”的代換在數(shù)列最值中的應用

【解析】由a3=a2+2a1，可得q2-q-2=0，

【評注】均值不等式與數(shù)列知識交匯也是近年高考常考題，仍然是先求出和或積的定值，再用均值不等式，但要特別注意m，n為正整數(shù)這一條件，要細心考察等號是否成立.

(作者單位:安徽省蚌埠市懷遠三中)