嵇純德

摘 要：通過廣義雙線性衍生方程 ， ，推導出廣義雙線性的（2+1）維類淺水波方程?；诜蔷€性發(fā)展方程的雙線性形式，可以通過符號計算直接獲得方程的有理解。對（2+1）維類淺水波方程進行多項式求解得到方程了九類有理解。這些有理解可以描述一類代數(shù)孤立波，因此它們對于研究發(fā)生在海洋和大氣中的孤立波具有很高的應用價值。此外，給出了特定參數(shù)的有理解三維圖，用來描述能量分布。

關鍵詞：有理解；廣義雙線性方法；（2+1）維類淺水波方程

DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2017.04.195

1 引言

眾所周知，在物理學等科學學科中，非線性發(fā)展方程被廣泛用來描述自然現(xiàn)象[1][2][3]。所以，例如有理解、代數(shù)幾何解等非線性發(fā)展方程的解的問題成為了當今研究關注的焦點。以有理解為研究方向的課題在氣象學和物理海洋學領域扮演著舉足輕重的角色，例如怪波解是一類特殊的有理解，而怪波解能夠描述海洋學[4][5]和非線性光學[6][7]中非線性波的現(xiàn)象。所以，研究非線性發(fā)展方程的有理解是非常有研究意義和價值的。

可積方程的有理解可以通過諸如達布變換[8]，雙線性方法[9][10]等許多途徑求得?？煞e方程包括Korteweg-de Vries方程（KdV方程）[8]，Boussinesq方程[11]，Toda晶格方程[12]，AB系統(tǒng)[13]，類KdV方程[14]，類Boussinesq方程[15]等等。另一方面，（3+1）維不可積KP I方程[16][17]和（3+1）維不可積KP II方程[12]的有理解也可以通過不同的方法求的。特別的，（3+1）維不可積KP II方程的有理解可以轉化成 Boussinesq方程的有理解[12]。

研究過程主要是基于廣義雙線性形式得到一個（2+1）維類淺水波方程并由多項式解求得此類方程的有理解。論文主要包含對（2+1）維類淺水波方程的介紹，給出了（2+1）維類淺水波方程的有理解，最后比較了有理解的圖像并進行了分析。

2 （2+1）維類淺水波方程及其廣義雙線性形式

4 總結

通過廣義雙線性方法討論了（2+1）維類淺水波方程，并利用多項式函數(shù)求解（2+1）維類淺水波方程，從而獲得了九類不同的有理解。研究過程中用到的基本理論是廣義雙線性算子[18]。

研究過程中對有理解圖像進行簡單的分析之后發(fā)現(xiàn)（6）式的有理解，相對于坐標軸具有良好的對稱性。這些有理解中有的是怪波解，怪波解在氣象學、海洋學等領域具有重要的物理意義。因此，有理解是存在討論和研究價值的。可設想文中提出的此類有理解概括了類淺水波方程的所有有理解。

在研究過程中，通過同樣的方法還得到了（3+1）維類淺水波方程的有理解，但（3+1）維方程的有理解與文中得到的（2+1）維方程的有理解是類似的，所以在此文中暫不討論（3+1）維類淺水波方程。此外，文中對有理解的求解的過程對討論類淺水波方波的Wronskian行列式解[19]Pfaffian解是非常有意義的。最重要的是，通過本文的研究可以向大家證明高階微分方程的有理解是非常有研究價值的。

參考文獻：

[1]Rogers C， Shadwick W F. Backlund Transformations and Their Applications[J]. 1982.

[2]Miura R M. B?cklund transformations， the inverse scattering method， solitons， and their applications ：[M]. Springer-Verlag， 1976.

[3]Yang H W， Yin B S， Shi Y L. Forced dissipative Boussinesq equation for solitary waves excited by unstable topography[J]. Nonlinear Dynamics， 2012， 70（2）：1389-1396.

[3]Müller P， Garrett C， Osborne A. Rogue waves-The Fourteenth ‘Aha Hulikoa Hawaiian Winter Workshop[J]. Oceanography， 2005， 18（3）：66-75.

[4]Kharif C， Pelinovsky E， Slunyaev A. Rogue waves in the ocean： observations， theories and modelling[J]. Investig Andin， 2008， 16.

[5]Solli D R， Ropers C， Koonath P， et al. Optical rogue waves.[J]. Nature， 2007， 450（7172）：1054-7.

[6]Akhmediev N， Dudley J M， Solli D R， et al. Recent progress in investigating optical rogue waves[J]. Journal of Optics， 2013， 15（6）.

[7]Ma W X， You Y. Solving the Korteweg-de Vries equation by its bilinear form： Wronskian solutions[J]. Transactions of the American Mathematical Society， 2005， 357（5）：1753-1778.

Ma W X， Li C X， He J. A second Wronskian formulation of the Boussinesq equation[J]. Nonlinear Analysis， 2009， 70（12）：4245-4258.

[8]Ma W X， You Y. Rational solutions of the Toda lattice equation in Casoratian form[J]. Chaos Solitons & Fractals， 2004， 22（2）：395-406.

[9]Tacchella A. On rational solutions of multicomponent and matrix KP hierarchies[J]. Journal of Geometry & Physics， 2010， 61（8）：1319–1328.

[10]Ma W X. Comment on the 3+1 dimensional Kadomtsev–Petviashvili equations[J]. Communications in Nonlinear Science & Numerical Simulation， 2011， 16（7）：2663-2666.

[11]Wang X， Li Y， Chen Y. Rogue wave solutions in AB system[J]. Communications in Nonlinear Science & Numerical Simulation， 2013， 20（2）.

[12]Ma W X. Bilinear equations， Bell polynomials and linear superposition principle[C]// 2013：594-597.＼

[13]Zheng H C， Ma W X， Gu X. Hirota bilinear equations with linear subspaces of hyperbolic and trigonometric function solutions[J]. Applied Mathematics & Computation， 2013， 220（4）：226-234.

[14]Khalfallah M. New exact traveling wave solutions of the （3 + 1） dimensional Kadomtsev–Petviashvili （KP） equation[J]. Communications in Nonlinear Science & Numerical Simulation， 2009， 14（4）：1169-1175.

[15]Sinelshchikov D I. Comment on： New exact traveling wave solutions of the （3+1）-dimensional Kadomtsev–Petviashvili （KP） equation[J]. Communications in Nonlinear Science & Numerical Simulation， 2010， 15（11）：3235-3236.

Ma W X. Trilinear equations， Bell polynomials， and resonant solutions[J]. Frontiers of Mathematics in China， 2013， 8（5）：1139-1156.

Ma W X. Wronskians， generalized Wronskians and solutions to the Korteweg–de Vries equation[J]. Chaos Solitons & Fractals， 2003， 19（1）：163-170.