任果

“功和功率”既是初中物理的重點知識，又是解答有關(guān)機械效率問題的前提與關(guān)鍵；由功、功率與機械效率組合而成的綜合應(yīng)用題，可基本涵蓋力學(xué)的主要知識，能有效甄別學(xué)生的素質(zhì)與能力，在中考中占有舉足輕重的地位。對于中考必考點和考查重點的“功和功率”，一要理解概念；二要掌握判斷、計算的方法；三能靈活運用，分析解答有關(guān)問題。其類型及其解題策略與方法如下：

一、判斷是否做功

判斷力是否對物體做功（或力做功、施力物體做功），依據(jù)是做功的兩個必要因素，先分析物體是否受到力的作用；再分析物體是否在這個力的方向上移動了距離。二者缺一，則力對物體不做功。

如圖1所示的單擺，讓小球從A點靜止釋放，小球從A點向B點擺動的過程中，小球受到的重力對小球

功，細(xì)繩對小球的拉力

功。（均填“做”或“不做”）

解析：小球從A點向B點擺動的過程中，小球的高度降低，在重力的作用下沿重力的方向移動了距離，故小球受到的重力對小球做了功；細(xì)繩對小球的拉力方向與小球的運動方向垂直，小球沒有在拉力的作用下移動距離，故細(xì)繩對小球的拉力沒有做功。

答案：做 不做

【溫馨提示】在判斷某力是否做功時，要抓住“力”與“距離”這兩個必要因素，根據(jù)“移動距離與力的方向的對應(yīng)關(guān)系”進(jìn)行分析。

（1）三種做功的情況：①物體移動方向與力的方向一致，力對物體做功；②物體移動方向與力的方向相反，此時力為阻力，物體克服阻力做功；③物體移動方向與力的方向有一個夾角，此時物體雖然沒有直接沿力的方向移動，但從移動的效果來看，實質(zhì)上已經(jīng)在力的方向上移動了一段距離，力對物體做功。

（2）三種不做功的情況：①由于慣性運動的物體，無力、有距離，不存在力對物體做功；②受力而靜止的物體，有力、無距離，力對物體不做功；③力的方向與物體運動方向垂直，物體在力的方向沒有發(fā)生移動，力對物體不做功。

二、區(qū)分功與功率

功和功率是兩個概念不同、密切相關(guān)而又容易混淆的物理量，它們之間有本質(zhì)的區(qū)別，“功”表示做功的“多少”，而“功率”表示做功的“快慢”，“多少”與“快慢”的意義不一樣。

例2.推土機甲的功率比推土機乙的功率大，下列說法正確的是（ ）

A.甲做的功比乙多

B.甲做的功比乙少

C.甲做的功可以與乙一樣多

D.以上說法都不對

解析：甲的功率比乙的功率大，說明甲做功快，但不一定做功多；根據(jù)功的公式W=Pt可知，甲的功率大，如果做功時間少，甲做的功就少，有可能與乙做的功一樣多。

答案：C

【溫馨提示】正確辨析功與功率，一要弄清它們的物理意義及其之間的關(guān)系；二要會用控制變量法分析，在判斷功與功率的關(guān)系時應(yīng)保持所用時間不變，判斷所用時間與功率的關(guān)系時應(yīng)保持做功多少不變。

三、比較功與功率

分析比較做功多少與功率大小，依據(jù)是功和功率公式。

1.比較做功多少

根據(jù)功的公式W=Fs分析比較，一般方法是：力相同比距離，距離大的做功多；距離相同比力，力大的做功多；力與距離均不同，比較Fs的大小。

例3.如圖2所示，光滑斜面AB>AC，沿斜面AB和AC分別將同一重物從它們的底部拉到頂部，所需拉力分別為F1和F2，所做的功分別為WA和WB。則（ ）

A.F1

B.F1

C.F1>F2，WA>WB

D.F1>F2，WA=WB

解析：斜面光滑說明不計摩擦力，拉力所做的功等于克服重力做的功，則把同一物體沿斜面AB和AC分別拉到頂端A，高度h相同，由W=Gh可知，兩次做的功相同，即WA=WB；因AB>AC，而WA=WB，由功的公式W=Fs可知，F(xiàn)1

答案：A

例4.如圖3甲所示，小紅用彈簧測力計拉木塊，使它在同一水平木板上滑動，圖3乙是她兩次拉動同一木塊得到的路程隨時間變化的圖象。請根據(jù)圖象判斷：在相等時間內(nèi)，木塊兩次受到的拉力F1

F2；兩次拉力對木塊做的功W1

W2。（填“>”“

解析：由圖象可以看出，圖象為一條過原點的傾斜的直線，說明兩次拉動過程中木塊均做勻速直線運動，則不論木塊速度大小如何（v1>v2），都受到平衡力的作用，即在水平方向上拉力和摩擦力是一對平衡力，故兩次拉動木塊的拉力和摩擦力均大小相等，即F=f；因兩次拉動過程中木塊所受的摩擦力f相等，故木塊兩次受到的拉力F1=F2。

由圖象可知，在相等時間內(nèi)，木塊兩次運動的距離不同，第1次木塊通過的距離大；由功的公式W=Fs可知，在相同拉力作用下，第1次拉力對木塊所做的功多，即W1>W2。

答案：= >

【溫馨提示】在比較做功多少時，要抓住“力的大小”與“在力的方向上移動距離的大小”進(jìn)行分析，勿受“光滑面”、“粗糙面”、“斜面”或“速度大小”等條件的干擾。

2.比較功率大小

根據(jù)功率公式P=Wt分析比較，方法是：先確定做功的多少和做功所用時間的長短；再比較功與做功時間的比值大小。在相同時間內(nèi)，做功多的功率大；做功相同，所用時間短的功率大；只知功或做功所用的時間，無法比較和判斷功率的大小。

例5.在自由下落過程中物體運動速度會越來越快。一個物體由A點自由下落，相繼經(jīng)過B、C兩點，已知AB=BC，如圖4所示，物體在AB段重力做功W1，做功功率P1；在BC段重力做功W2，做功功率P2，則下列關(guān)系正確的是（ ）

A.W1≠W2P1≠P2

B.W1=W2P1=P2

C.W1=W2P1>P2

D.W1=W2P1

解析：已知AB=BC，根據(jù)W=Gh可知，物體在AB段和BC段重力所做的功大小相等，即W1=W2。

因小球在自由下落時做加速下落運動，由速度公式的變形式t=sv可知，小球在BC段運動的時間短；由功率公式P=Wt可知，物體在AB段重力做功功率小于BC段重力做功功率，即P1

答案：D

例6.甲、乙兩人在相同的水平路面上，分別以1 m/s和0.5 m/s的速度將兩個完全相同的木箱沿直線勻速推動了10 m。在此過程中，甲推木箱的力

（填“大于”“小于”或“等于”）乙推木箱的力；

（填“甲”或“乙”）做功的功率大。

解析：“相同的水平路面”，說明木箱在兩種情況下受到的摩擦力相同；木箱在推力和摩擦力的作用下均做勻速直線運動，由二力平衡的條件可知，人對木箱的推力相等，即甲推木箱的力等于乙推木箱的力。

由功率公式P=Wt和功的公式W=Fs、速度公式v=st可推導(dǎo)出：P=Wt=Fst=Fv，因甲、乙對木箱的推力相等，甲的速度大于乙的速度，故甲的功率大于乙的功率。

答案：等于 甲

例7.圖5是使用汽車打撈水下物體的示意圖。在物體從水底拉到井口的過程中，汽車以恒定速度向右運動，忽略水的阻力和滑輪的摩擦，圖6所示的汽車功率P隨時間t變化的圖象中，正確的是（ ）

解析：物體在水中受到拉力F、重力G和浮力F浮的作用，汽車以恒定速度向右運動，即物體上升的速度v不變，則F=G-F??；將物體逐漸拉出水面的過程中，浮力F浮=ρ水gV排減小，則拉力F增大；由功率公式的導(dǎo)出式P=Fv可知，v不變，故P在增大；當(dāng)物體完全在水面下和全部拉出水面以后，拉力不變，功率P也不變。

答案：C

例8.已知雨滴在空中豎直下落時所受空氣阻力與速度大小的二次方成正比，且不同質(zhì)量的雨滴所受空氣阻力與速度大小的二次方的比值相同。現(xiàn)有兩滴質(zhì)量分別為m1和m2的雨滴從空中豎直下落，在落到地面之前均做勻速直線運動，那么在兩滴落地之前做勻速直線運動的過程中，其重力的功率之比為（ ）

A.m1∶m2 B.m1∶m2

C.m2∶m1 D.m31∶m32

解析：因雨滴落到地面前均做勻速直線運動，故雨滴所受的重力和空氣阻力是一對平衡力，即雨滴受到的阻力：f=mg=kv2，則雨滴的速度：v=mgk；由功率公式的導(dǎo)出式P=Fv可知，兩雨滴功率之比：P1P2=F1v1F2v2=m1gv1m2gv2=m1v1m2v2=m1·m1gkm2·m2gk=m31m32。

答案：D

【溫馨提示】若已知物體在力F的作用下，以速度v做勻速直線運動，則力F做功的功率P=Wt=Fst=Fv（注意F和v同向）。利用功率公式的導(dǎo)出式P=Fv可方便地解答有關(guān)P、F、v的問題，應(yīng)用該式判斷功率的大小時，先找出力的大小，再確定物體在該力的方向上的速度大小，然后分析比較。

四、功與功率的計算

根據(jù)功的公式W=Fs計算功，先明確研究對象，分析研究對象受到幾個力的作用；再弄清要求的是哪個力做功，分析該力的大小及在力的方向上移動的距離的大小；然后代入功的公式計算。注意“F”和“s”的同體性、同向性和同時性。

根據(jù)功率的公式P=Wt計算功率，先由功的公式W=Fs求出功；再確定對應(yīng)的做功時間；然后代入功率的公式計算。有時可利用功率的導(dǎo)出式P=Fv計算功率，要注意力的大小必須與所對應(yīng)的速度相乘，絕對不能張冠李戴。

利用功、功率的公式的變形式可求出相關(guān)的其他物理量。

例9.如圖7所示，質(zhì)量為40 g的金屬小球從導(dǎo)軌的a處自由滑下，依次經(jīng)過b、c處，到達(dá)d處時恰好停下。在從a到b的過程中，重力做功為

J。（g取10 N/kg）

解析：利用重力公式求出小球所受的重力；再利用重力做功公式求出重力所做的功。

小球的重力：

G=mg=40×10-3 kg×10 N/kg=0.4 N

小球從a到b的過程中，重力做功：

W=Gh=0.4 N×0.5 m=0.2 J。

答案：0.2

【溫馨提示】計算重力做功，可分為兩種情況：

（1）物體在重力作用下自由下落或物體豎直向下運動，重力做功：W=Gh。

（2）物體沿斜面或其他非豎直路徑下滑，重力做功與具體路徑無關(guān)，只與物體豎直高度的變化有關(guān)，重力做功：W=Gh。

例10.一輛在水平路面上沿直線勻速行駛的貨車，行駛時所受的阻力為車總重的0.1倍，貨車（含駕駛員）空載時重為2.5×104 N。

（1）求貨車以36 km/h的速度空載勻速行駛時，10 s內(nèi)貨車牽引力做的功；

（2）當(dāng)貨車以90 kW的額定功率、90 km/h的速度勻速行駛時，求貨車最多可裝載多重的貨物。

解析：利用速度公式的變形式s=vt求出行駛路程；貨車空載勻速行駛時，牽引力與阻力為一對平衡力，F(xiàn)=f，利用阻力與車重的關(guān)系求出阻力f；再利用功的公式求出牽引力做的功；利用功率公式的導(dǎo)出式P=Fv求出牽引力，貨車勻速行駛時f=F，再利用阻力與車重的關(guān)系求出貨車總重，其最多可裝載的貨物的重等于貨車總重與空車重之差，進(jìn)而利用重力公式求出貨物質(zhì)量。

（1）貨車速度：v=36 km/h=36×13.6 m/s=10 m/s

10 s內(nèi)行駛的路程：

s=vt=10 m/s×10 s=100 m

貨車勻速行駛，牽引力：

F=f=0.1G=0.1×2.5×104 N=2.5×103 N

牽引力所做的功：

W=Fs=2.5×103 N×100 m=2.5×105 J

（2）貨車速度：

v'=90 km/h=36×13.6 m/s=25 m/s

由P=Wt=Fst=Fv可得，此時牽引力：

F'=Pv'=90×103 W25 m/s=3600 N

因貨車勻速行駛，故此時貨車受到的阻力：

f'=F'=3600 N

由f=0.1G可得，貨車總重：

G'=f'0.1=3600 N0.1=3.6×104 N

貨車最多可裝載貨物的重力：

G貨=G'-G=3.6×104 N-2.5×104 N=1.1×104 N

貨車最多可裝載貨物的質(zhì)量：

m貨=G貨g=1.1×104 N10 N/kg=1.1×103 kg=1.1 t

答案：（1）2.5×105 J （2）1.1 t

【溫馨提示】計算動力做功及其功率時，要注意兩點：

（1）物體在動力F的作用下，沿動力F的方向上移動的距離為s，則動力F做功：W=Fs；動力做功的功率：P=Wt=Fst。在已知阻力f的情況下，可利用二力平衡條件由阻力f而確定動力F。

（2）若物體沿動力F的方向以速度v做勻速直線運動，則動力F做功的功率：P=Fv。在計算題中，利用此式時應(yīng)有推導(dǎo)過程，即P=Wt=Fst=Fv。

例11.新建成的牛欄江引水濟(jì)昆工程，是將水從海拔較低的德澤水庫，引到海拔較高的盤龍江上游。每年對昆明提供5.67億立方米的水，耗電及相關(guān)運行費用已近10億元。所以，珍惜水資源是每一個市民應(yīng)盡的責(zé)任和義務(wù)。此工程是在德澤水庫庫區(qū)建泵站，將水泵入山坡高處的水池后，再自流回昆明。泵站的提水高度約220 m，每秒流過水流橫截面的水量是18 m3。在泵站提水過程中，水泵連續(xù)正常抽水1 h，水泵對水所做的功是

J，做功的功率是

W。（g取10 N/kg，ρ水=1.0×103 kg/m3）

解析：利用密度公式的變形式m=ρV求出水泵1 h抽水的質(zhì)量；水泵對水所做的功等于克服水的重力所做的功，利用公式W=Fs=Gh=mgh求出水泵對水所做的功；利用功率公式求出做功的功率。

由每秒流過水流橫截面的水量是18 m3可得，水泵1 h抽水的質(zhì)量：

m=ρVt=1.0×103 kg/m3×18 m3×3600 s=6.48×107kg

水泵對水所做的功：

W=Fs=Gh=mgh=6.48×107 kg×10 N/kg×220 m=1.425 6×1011 J

水泵對水做功的功率：

P=Wt=1.425 6×1011 J3600 s=3.96×107 W

答案：1.425 6×1011 3.96×107

【溫馨提示】對于“提升”類問題，將物體提升某一高度：

（1）計算克服重力所做的功時，克服重力做功：W=Gh=mgh。

（2）計算動力所做的功（或人、機械對物體所做的功）時，若不能直接計算，可利用動力做功與克服阻力所做功的關(guān)系求解，僅克服重力做功時，W=Fs=Gh=mgh；考慮克服阻力做功時，W=Fs=WG+Wf。

例12.小華參加體育中考的跳繩考試時，她在1 min內(nèi)連續(xù)跳了150次，獲得跳繩項目的滿分。已知小華的質(zhì)量為45 kg，跳起時重心升高的平均高度為4 cm，g取10 N/kg。求：

（1）小華跳一次所做的功；

（2）小華跳繩時的平均功率。

（3）若小明在1 min內(nèi)連續(xù)跳了100次，試問：成績好的小華做功一定比小明多嗎？說出你的理由。

解析：跳繩時人做的功等于克服自身重力所做的功。利用功的公式W=Gh求出跳一次做的功；跳一次做的功乘以跳的次數(shù)即為跳150次所做的功，再利用功率公式求出平均功率。

（1）跳繩一次所做的功：

W1=Fs=Gh=mgh=45 kg×10 N/kg×0.04 m=18 J

（2）跳繩150次所做的功：

W=nW1=150×18 J=2700 J

跳繩時的平均功率：

P=Wt=2700 J60 s=45 W

（3）相同時間內(nèi)做功多少與重力大小、跳起高度、次數(shù)有關(guān)，而本題中只明確了次數(shù)的關(guān)系，重力和高度的關(guān)系均不明確，無法得出明確的結(jié)論，所以成績好的小華，做功不一定多。

答案：（1）18 J （2）45 W （3）見解析

【溫馨提示】因每次跳起時重心升高的高度不盡相同，由跳起時重心升高的平均高度求得的功率即為平均功率。

例13.如圖8所示，用F=10 N水平拉力，使重為100 N的物體A，沿水平方向在1 s內(nèi)勻速直線運動了0.5 m，則物體受到地面的摩擦力為

N，拉力F的功率為W。

解析：物體做勻速直線運動，動滑輪對物體的拉力F'和物體受到地面的摩擦力是一對平衡力；有2段繩子承擔(dān)摩擦力，根據(jù)F=12f求出物體受到地面的摩擦力；繩子自由端移動的距離是物體移動距離的2倍，即s=2s'，根據(jù)功的公式求出拉力所做的功，再根據(jù)功率公式求出拉力的功率。

有2段繩子承擔(dān)物體所受的摩擦力，摩擦力：

f=2F=2×10 N=20 N

繩子自由端移動的距離：

s=2s'=2×0.5 m=1 m

拉力所做的功：

W=Fs=10 N×1 m=10 J

拉力F的功率：

P=Wt=10 J1 s=10 W

答案：20 10

例14.如圖9所示，一滑輪下端懸吊一個重為50 N的物體，在拉力F的作用下使物體在2 s內(nèi)勻速上升了2 m，不計滑輪、繩的重力和摩擦，則拉力F=

N，滑輪上升的速度v=

m/s，拉力F所做的功W=

J。

解析：根據(jù)動滑輪的特點由拉力F與物重G的關(guān)系求出拉力；利用速度公式求出滑輪上升的速度；利用功的公式求出拉力F所做的功。

根據(jù)動滑輪的特點可知，拉力F=2G；拉力F移動的距離是物體移動距離的二分之一，滑輪在2 s內(nèi)移動的距離為1 m。

拉力：F=2G=2×50 N=100 N

滑輪上升的速度：v=st=1 m2 s=0.5 m/s

拉力F所做的功：W=Fs=100 N×1 m=100 J

答案：100 0.5 100

【溫馨提示】對于“滑輪”類問題，無論水平使用還是豎直使用滑輪組，應(yīng)在弄清滑輪組的結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，找出拉力與阻力的關(guān)系和二力移動距離的關(guān)系，水平使用時阻力為摩擦力，豎直使用時阻力為被提升重物（包括動滑輪）的重力；根據(jù)這兩個關(guān)系，利用功的公式和功率公式進(jìn)行有關(guān)計算。

例15.圖10是某種升降電梯工作原理圖，它由轎廂、配重、纜繩、滑輪和電動機等部件組成，連接轎廂的兩根纜繩非?？拷?，轎廂空載時的重量是3100 N，配重的重量是3000 N，某次電梯載貨量的重量是1000 N，當(dāng)電梯勻速上升15 m，所用的時間為10 s，不計纜繩重力和一切摩擦阻力，在此運動過程中，求：

（1）轎廂的速度大??；

（2）配重重力對配重做的功；

（3）電動機的功率至少是多大？

解析：利用速度公式求出轎廂的速度；由圖可知，通過定滑輪拉轎廂，當(dāng)電梯上升15 m時，配重下降15 m，利用功的公式求出配重的重力對配重所做的功；分析轎廂受力確定電動機對轎廂的拉力，利用功率公式的導(dǎo)出式P=Fv求出電動機的功率。

（1）轎廂的速度：

v=st=15 m10 s=1.5 m/s

（2）配重下降的距離h=s，配重重力對配重做的功：

W=Gh=3000 N×15 m=4.5×104 J

（3）當(dāng)轎廂勻速上升時，轎廂豎直向下受到自身的重力和載貨的重力，豎直向上受到配重拉力和纜繩的拉力，則纜繩對轎廂的拉力：

F=G箱+G貨-G配重=3100 N+1000 N-3000 N=1100 N

電動機的功率至少為：

P=Wt=Fst=Fv=1100 N×1.5 m/s=1650 W。

答案：（1）1.5 m/s （2）4.5×104 J （3）1650 W

【溫馨提示】電動機的“至少”功率，是指“不計纜繩重力和一切摩擦阻力”情況下的功率。電動機的實際功率一定大于這個“至少”功率，因為電動機在工作過程中不可避免地要克服纜繩重力和摩擦阻力做功。