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        例談雙變量不等式解決策略

        2017-03-27 03:44:46楊映湘陳亞凡
        湖南教育 2017年11期
        關鍵詞:換元單調解決問題

        文︳楊映湘陳亞凡

        例談雙變量不等式解決策略

        文︳楊映湘陳亞凡

        在平時的數(shù)學學習和高考中,我們經常會遇到一類含有雙變量的不等式問題。由于變量多且復雜,學生感到很棘手,找不到突破點,解題的錯誤率非常高。其實,我們可以化雙變量為單變量,再利用導數(shù)這個強有力的工具,往往能使問題迎刃而解。

        一、分離變量

        簡潔性是數(shù)學的特性之一,因此,遇到多變量的時候,唯一目的就是化繁為簡,而分離變量就是化繁為簡的手段之一。利用分離變量這一方法處理雙變量問題,一般情況下是式子兩邊變量形式比較對稱,這樣只需把變量分離到兩邊即可解決問題。

        二、集中變量

        如果變量不能分離出來,或者分離變量顯得更麻煩,這個時候,我們需要考慮將雙變量看成一個整體,利用整體換元的思想解決問題。

        例2.已知f(x)=ex,求證:對任意x1,x2∈R,

        證明:不妨設x1>x2,

        設g(t)=et-e-t-2t,(t>0),則g′(t)=et+e-t-2≥

        所以g(t)在(0,+∞)上單調遞增,則g(t)>g(0)=0,因此當t>0時,et-e-t>2t。從而原不等式成立。

        題目中,x1,x2不好分離,因此,我們通過將變量x1,x2整體代換,使問題變成單元變量,從而得解。

        三、固定其中一個變量作為參數(shù)

        當分離變量、換元等方法都行不通的時候,我們可以考慮將其中一個變量作為參數(shù),也可使問題得以解決。

        例3.已知f(x)=xlnx,求證:當0<a<b時,0<

        證明:f(x)=lnx+1,

        當0<x<a時,F(xiàn)′(x)<0,當x>a時,F(xiàn)′(x)>0,

        即F(x)在x∈(0,a)上為減函數(shù),在x∈(a,+∞)上為增函數(shù),

        所以F(x)min=F(a)=0,又b>a,所以F(b)>F(a)=0,

        當x>0時,G′(x)<0,因此G(x)在區(qū)間(0,+∞)上為減函數(shù);

        因為G(a)=0,又b>a,所以G(b)<G(a)=0,

        當然,解雙變量問題遠不止這些方法,需要靈活考慮。在處理這些問題時首先可以往以上思路上去想。比如下面這個題目:已知函數(shù)f(x)=lnxma+m(x>0),

        (1)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間;

        (2)若f(x)≤0在(0,+∞)上恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;

        (3)在(2)的條件下,證明:對任意的0<a< b,求證

        我們不能用分離變量去處理,那又怎么解決呢?

        (作者單位:長沙市明德中學)

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