文︳鄭毓信

數(shù)學(xué)應(yīng)讓學(xué)生學(xué)會思維（下）
——數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的理論性思考與實踐性解讀

文︳鄭毓信

五、努力提升學(xué)生的思維品質(zhì)

相對于各個具體數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)而言，我們應(yīng)當(dāng)更加重視學(xué)生思維品質(zhì)的提升，包括思維的清晰性與嚴(yán)密性（合理性），思維的深刻性與全面性，思維的綜合性與靈活性，以及思維的創(chuàng)新性。容易想到，這事實上也可被看成這樣一個立場的具體體現(xiàn)，即我們應(yīng)當(dāng)超出數(shù)學(xué)，并從更為一般的角度認(rèn)識數(shù)學(xué)思維教學(xué)的意義。

第一，由以下論述我們可更好地認(rèn)識努力提升學(xué)生思維清晰性、深刻性、全面性與合理性的現(xiàn)實意義。

“中國人，趕時間。最愛‘快進(jìn)’，狂點(diǎn)‘刷新’。評論，要搶‘秒發(fā)’。寄信，最好是特快專遞。拍照，最好是立等可取。坐車，最好是高速鐵路、磁懸浮。坐飛機(jī)，最好是直航。做事，最好是名利雙收。創(chuàng)業(yè)，最好是一夜暴富。結(jié)婚，最好有現(xiàn)房現(xiàn)車。排隊，最好能插隊，若不能，就會琢磨：為什么別人排的隊總比我的快呢？”

“靜心思量，在教育行業(yè)內(nèi)部，我們不是也存在著諸多的急躁行為嗎？學(xué)校要辦最大的，教學(xué)樓要最新的，設(shè)備要最現(xiàn)代化的，教育思想要最前沿的，教學(xué)實驗最好馬上出成果……”（白宏太，“回歸傳統(tǒng)，回到人本身”，《人民教育》，2010年第23期）

特殊地，從上述角度我們顯然也可更好地理解數(shù)學(xué)中明確提倡長時間思考的積極意義。從而，我們在課堂中也就不應(yīng)過多地宣揚(yáng)“看看誰已經(jīng)做出來了”，而應(yīng)表現(xiàn)出更大的耐心：“孩子，不要急，慢慢想！”

更為一般地說，這事實上也就直接關(guān)系到教育的這樣一個本質(zhì)：教育是慢的藝術(shù)。（張文質(zhì)）

這也是現(xiàn)代人的普遍性弊病，即過于任性，思想又往往過于膚淺、過于片面……

“現(xiàn)代人將浮淺當(dāng)作時尚，把信息當(dāng)作知識，把知識當(dāng)作智慧。許多人日夜在網(wǎng)上泡著，四處收集新聞熱點(diǎn)，仿佛天下大事盡在心頭。可是你仔細(xì)聽聽，卻發(fā)現(xiàn)他嘴里沒有一句是他的話……”（辛泊平，《雜文月刊》，2008年第6期）

與此相對照，以下事實即可被看成十分清楚地表明了數(shù)學(xué)在這方面所能發(fā)揮的重要作用：

這是國際數(shù)學(xué)教育委員會（ICMI）組織的一項專題研究所得出的一個具體結(jié)論：“從中小學(xué)課程中，兒童們認(rèn)識到他們所做的大多數(shù)事情是憑個人見解來判斷的，文章的質(zhì)量、繪畫質(zhì)量或外語發(fā)音的好壞都是如此。甚至明顯是以事實為基礎(chǔ)的學(xué)科，如歷史，也只得不予深究地加以接受。只有在數(shù)學(xué)中可驗證其確定性。告訴一個小學(xué)生第二次世界大戰(zhàn)持續(xù)了十年，他會相信；告訴他兩個4的和為10，就會引起爭論了。孩子們借助已有的數(shù)學(xué)能力，能知道什么是對的，什么是錯的，還能自己驗證，即使有時并沒有要求他們這樣做。”（《國際展望：1990年代的數(shù)學(xué)教育》，上海教育出版社，1990，第79頁）

第二，除去清晰性、深刻性、全面性與合理性以外，我們還應(yīng)十分重視學(xué)生思維的綜合（整體）性與靈活性。這也就是指，后者同樣應(yīng)當(dāng)被看成提升學(xué)生思維品質(zhì)十分重要的方面。

事實上，這也是現(xiàn)代社會的一個常見現(xiàn)象，即人們往往只注意了對各個細(xì)節(jié)的考察，卻忽視了對對象的整體性把握。例如，后者顯然就正是所謂的“知識碎片化”的主要癥結(jié)所在。

與此相對照，由法國著名科學(xué)家、數(shù)學(xué)家彭加萊的以下論述我們即可很好地理解數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)為什么與思維的整體性密切相關(guān)：

“一個數(shù)學(xué)證明并不是若干三段論的簡單并列，而是眾多三段論在確定的序之中的安置。這種使元素得以安置其中的序要比元素本身重要得多。一旦我感覺到，也可以說，直覺到這個序，以至于我一眼之下就領(lǐng)悟了整個推理，我就再也不必害怕會忘掉任何一個元素，因為每個元素都將在序中各得其所，而這是不需要我付出任何記憶上的努力的?！保ā犊茖W(xué)的價值》，光明日報出版社，1988，第376頁）

當(dāng)然，嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明已經(jīng)超出了小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的范圍。但是，這難道不也正是小學(xué)數(shù)學(xué)算術(shù)應(yīng)用題所能發(fā)揮的一個重要作用嗎？（對此可見另著《小學(xué)數(shù)學(xué)概念與思維教學(xué)》，江蘇教育出版社，2014，第7.6節(jié)）

另外，正如我國旅美學(xué)者馬立平博士所指出的，思維的靈活性也是我們能否真正做到對數(shù)學(xué)知識的深刻理解的又一要素（另外兩個要素即是上面提到的深度和廣度）。當(dāng)然，又如她所使用的“完整度”這一術(shù)語所清楚地表明的，除去靈活性以外，這也包含有整體性的含義：

“深度和寬度依賴于完整度——貫穿某一領(lǐng)域的所有部分的能力——把它們編織起來?！保ā缎W(xué)數(shù)學(xué)的掌握和教學(xué)》，華東師范大學(xué)出版社，2011，第115-116頁）

在此還應(yīng)強(qiáng)調(diào)這樣一點(diǎn)：相對于現(xiàn)今人們經(jīng)常提到的多元性而言，這里所說的整體性與靈活性可被看成提出了一個更高的要求。這也就是指，我們不僅應(yīng)當(dāng)清楚地認(rèn)識世上很多事物和現(xiàn)象都有多個不同的方面，從而，我們應(yīng)當(dāng)從多個不同的角度對此進(jìn)行研究，包括考慮到各種可能的情況，而且應(yīng)通過所有這些方面的綜合分析與適當(dāng)整合獲得更深層次的認(rèn)識，包括根據(jù)不同的情況與需要在這些方面或不同成分之間作出靈活的轉(zhuǎn)換。

例如，從上述角度分析，我們顯然可更好地理解數(shù)形結(jié)合這樣一個原則，包括現(xiàn)實中還應(yīng)注意超出數(shù)和形這樣兩個方面，并從更多的方面去從事數(shù)學(xué)的分析與研究，如實物操作、現(xiàn)實原型、符號語言，等等。

第三，相對于各種關(guān)于創(chuàng)新性的泛泛之談，我們顯然應(yīng)當(dāng)更為深入地研究什么是實現(xiàn)創(chuàng)新的必要條件或有效途徑，包括清楚地認(rèn)識到這樣一點(diǎn)：創(chuàng)新不應(yīng)簡單地被等同于與眾不同，而是主要表現(xiàn)為已有工作的不斷優(yōu)化，包括不同意見的適當(dāng)整合。

由于優(yōu)化事實上也可被看成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)（[10]第三部分），從而也就十分清楚地表明了數(shù)學(xué)在這方面所發(fā)揮的重要作用。

當(dāng)然，就數(shù)學(xué)教育乃至一般教育領(lǐng)域的現(xiàn)實情況而言，我們又應(yīng)特別提及這樣一個現(xiàn)象，即對于國外最新思潮的盲目追隨：“本次課改在文本解讀和宣傳的過程中，人本主義、建構(gòu)主義、后現(xiàn)代主義等思想一直居于上風(fēng)，‘概念重建’的聲音比較響亮，似乎成了‘十年課改’的時髦的理論觀點(diǎn)?！保◤垬s偉，“我國基礎(chǔ)教育‘十年課改’的反思”，《課程·教材·教法》，2010年第12期）顯然，這也就更為清楚地表明了我們決不應(yīng)將創(chuàng)新簡單地等同于標(biāo)新立異。

進(jìn)而，也正是從上述角度分析，筆者以為，我們應(yīng)將一定的批判性看成思維品質(zhì)的又一重要內(nèi)涵。當(dāng)然，我們在此又應(yīng)特別重視批判性與繼承性之間的辯證關(guān)系。這也就如吳文俊先生所指出的：“有了陳，才有新，不能都講新，沒有陳，哪來的新！創(chuàng)新是要有基礎(chǔ)的。只有了解得透，有較寬的知識面，才會有洞見，才會有底氣，才會有創(chuàng)新?！保ā段膮R報》，2004，11，14）

最后，還應(yīng)強(qiáng)調(diào)的是，上面所提到的各個思維品質(zhì)不應(yīng)被看成互相孤立的。恰恰相反，我們應(yīng)當(dāng)高度重視它們之間的密切關(guān)系。而這事實上也可被看成理性思維最為重要的一個內(nèi)涵，或者說，應(yīng)成為我們努力追求的一個更高目標(biāo)：我們不僅應(yīng)當(dāng)幫助學(xué)生逐步學(xué)會理性地思維，也應(yīng)促成他們由理性思維逐步走向理性精神，從而真正成為一個高度自覺的理性人。

也正是基于這樣一個認(rèn)識，筆者愿意引用著名數(shù)學(xué)史學(xué)家克萊因的以下論述以結(jié)束全文，更希望大家都能在這一方面做出切實的努力：“在最廣泛的意義上說，數(shù)學(xué)是一種精神，一種理性的精神。正是這種精神，激發(fā)、促進(jìn)、鼓舞并驅(qū)使人類的思維得以運(yùn)用到最完善的程度；亦正是這種精神，試圖決定性地影響人類的物質(zhì)、道德和社會生活，試圖回答有關(guān)人類自身存在提出的問題，試圖努力去理解和控制自然，試圖盡力去探求和確立已經(jīng)獲得知識的最深刻的和最完美的內(nèi)涵。”（M.Kline，MathematicsinWesternCulture，George AllenandUuwinLtd.，1954，前言）

（作者單位：南京大學(xué)哲學(xué)系）

[1]顧明遠(yuǎn).核心素養(yǎng)：課程改革的原動力[J].人民教育，2015年第13期.

[2]《人民教育》編輯部.核心素養(yǎng)：重構(gòu)未來教育圖景[J].人民教育，2015年第7期.

[3]鄭毓信.關(guān)于核心素養(yǎng)的若干思考[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2016年第1期.

[4]馬云鵬.小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的內(nèi)涵與價值[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2015年第5期.

[5]鄭毓信.從整合數(shù)學(xué)到整合課程[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2016年第2期.

[6]鄭毓信.聚焦數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2016年第3期.

[7]鄭毓信.數(shù)學(xué)與思維之深思[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2015年第1期.

[8]林福來.主動思考——貼近數(shù)學(xué)的心跳[J].開學(xué)文化（臺灣），2015.

[9]H.Ginsaberg，“Toby’sMath”，載R.Sternberg等主編.TheNatureofMathematicalThinking[M]，LawrenceErlbaumAssociates，1996.

[10]鄭毓信.新數(shù)學(xué)教育哲學(xué)[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2015.