吳成業(yè)

《數(shù)學課程標準》指出：“符號意識主要是指能夠理解并且運用符號表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律；知道使用符號可以進行運算和推理，得到的結(jié)論具有一般性?！薄皥D形與幾何”是數(shù)學課程一個非常重要的學習領(lǐng)域，如何在“圖形與幾何”復(fù)習課中培養(yǎng)學生的符號意識，既是對學生學科核心素養(yǎng)培養(yǎng)的細化與實化，也是對學生數(shù)學表達和數(shù)學思考的強化與深化。下面以人教版“ 圓柱與圓錐的復(fù)習”為例，談?wù)勅绾卧凇皥D形與幾何”復(fù)習課中培養(yǎng)學生的符號意識。

一、 在感知中了解符號的簡潔性——數(shù)學符號感知

數(shù)學符號意識是一種數(shù)學核心素養(yǎng)，它既包括數(shù)學符號的知識與能力，還包括學生的綜合思維能力?！稊?shù)學課程標準》對第二學段“圖形與幾何”的課程內(nèi)容做出了明確的界定：“結(jié)合具體情境，探索并掌握長方體、正方體、圓柱的體積和表面積以及圓錐體積的計算方法，并能解決簡單的實際問題?！?/p>

朱立明、馬云鵬在《數(shù)學符號意識”研究：內(nèi)涵與維度》一文中認為：所謂“數(shù)學符號意識”，即學習者在思維（具體表現(xiàn)為數(shù)學思維）的引導下，對數(shù)學知識與數(shù)學符號之間抽象對應(yīng)關(guān)系的一種積極主動的心理認知活動（內(nèi)隱性），在通過數(shù)學符號的感知與理解、運算與推理、交流與表達等數(shù)學思考方式解決數(shù)學問題的過程中所表現(xiàn)出來的與數(shù)學符號相關(guān)的一種數(shù)學核心素養(yǎng)（外顯性）。

在“圖形與幾何”復(fù)習課中，我們不能僅僅滿足于數(shù)學知識與技能的重復(fù)練習，還應(yīng)在數(shù)學基本活動經(jīng)驗的基礎(chǔ)上深化學生的符號感知意識。數(shù)學符號的感知不僅包括對數(shù)學符號本身所特有的意義與內(nèi)涵的理解，而且包括對數(shù)學符號的美學欣賞與了解其暗示功能。顯然，圓柱的體積和表面積以及圓錐的體積公式的掌握是“圓柱與圓錐的復(fù)習”的一個重點，也是培養(yǎng)學生符號意識的一個很好的復(fù)習素材。在人教版“圓柱與圓錐的復(fù)習”中，我們注意到，六年級下冊關(guān)于圓柱的體積是這樣下定義的：圓柱的體積=底面積×高，而用數(shù)學符號表示就是“V=Sh”，圓柱的表面積=圓柱的側(cè)面積+兩個底面的面積，用數(shù)學符號表示就是“S表=S側(cè)+2S底”。通過文字與符號的對比，使學生認識到用數(shù)學符號來表達圓柱與圓錐的面積、體積公式具有簡潔性。這種核心素養(yǎng)一旦形成，對學生將來的發(fā)展會起積極作用。

二、 在推理中刻畫符號的抽象性——數(shù)學符號推理

數(shù)學符號意識是學生必須發(fā)展的一種數(shù)學核心素養(yǎng)，需要學生的直覺力與洞察力，并不是通過教師教的方式獲得的。朱立明、馬云鵬在《數(shù)學符號意識”研究：內(nèi)涵與維度》一文中認為，對于數(shù)學符號推理，學生主要表現(xiàn)為以下三個層次水平：其一，不能利用數(shù)學符號進行推理，邏輯思維沒有條理性；其二，能夠借助數(shù)學符號通過合情推理對結(jié)論進行猜想，或者通過演繹推理對問題進行論證，具備單一的推理思維；其三，可以通過合情推理得到結(jié)論并能夠從一般的概念、公理出發(fā)，對所得結(jié)論利用演繹推理進行論證，具備“猜想—驗證”推理思維。

在“圖形與幾何”復(fù)習時，讓學生在推理過程中重新刻畫符號的抽象性，是發(fā)展學生數(shù)學符號推理能力的重點。在教學“圓柱與圓錐的復(fù)習”時，我們通過展示圓柱體積公式的產(chǎn)生過程，清晰地刻畫出學生的符號發(fā)展維度。圓柱的體積公式是運用了轉(zhuǎn)化的思想，通過分割，拼成的立體圖形越來越接近長方體，于是，圓柱的體積就轉(zhuǎn)化成長方體的底面積乘以高。而長方體的底面積等于圓柱的底面積，長方體的高等于圓柱的高。于是，在這樣的推理過程中，學生觀察并刻畫出轉(zhuǎn)化前后各部分的對應(yīng)關(guān)系，自然而然地推導出圓柱的體積公式。

三、 在運算中體驗符號的精確性——數(shù)學符號運算

數(shù)學符號的運算是數(shù)學活動中最重要的基本形式，對學生數(shù)學符號意識的形成有著重要的推動作用。用字母表示“圖形與幾何”領(lǐng)域的公式并進行運算，是數(shù)學思維的集中體現(xiàn)?！稊?shù)學課程標準》對數(shù)學思考提出了指導性意見：“建立數(shù)感、符號意識和空間觀念，初步形成幾何直觀和運算能力，發(fā)展形象思維與抽象思維?！本汀皥D形與幾何”領(lǐng)域而言，我們應(yīng)培養(yǎng)學生在具體的運算中體驗到數(shù)學基本思想與基本活動經(jīng)驗，使學生認識到符號的精確性。

在“圓柱與圓錐的復(fù)習”中，筆者設(shè)計了以下教學流程：

1.情景創(chuàng)設(shè)：你們玩過橡皮泥嗎？在玩的過程中有沒有想到一些數(shù)學問題？

2.如上圖，出示一塊底面直徑是2厘米、高是3厘米的圓柱形橡皮泥。

3.請大家根據(jù)給出的條件，充分發(fā)揮想象力，提出有創(chuàng)意的問題。

預(yù)設(shè)：（1）表面積計算。

（2）底面積計算。

（3）側(cè)面積計算。

（4）一個底面和側(cè)面的面積計算。

（5）縱切面增加的表面積計算。

（6）橫切面增加的表面積計算。

（7）體積計算。

（8）削成等底等高的圓錐的體積計算。

（9）削成等底等高的圓錐后，削去部分的體積計算。

（10）將它捏成等底的圓錐，高是多少的計算。

（11）將它捏成等高的圓錐，底面是多少的計算。

……

4.選擇問題解決。

顯然，這樣的復(fù)習題極具創(chuàng)新性、整合性，學生在數(shù)學運算過程中體驗到數(shù)學符號的精確性，學生的符號意識得到較好的培養(yǎng)。

四、 在表征中彰顯符號的生成性——數(shù)學符號表征

發(fā)展符號意識最重要的是從數(shù)學符號的角度進行數(shù)學表征。數(shù)學符號表征是一種理性的表現(xiàn)，可以使數(shù)學問題的解決呈現(xiàn)出一定的規(guī)律，提升有序思維。傅小蘭、何海東指出：“正確的表征是解決問題的必要前提，在錯誤的或不完整的問題空間中進行搜索，不可能求得問題的正確解?！蔽覀冊凇皥D形與幾何”教學實踐中不難發(fā)現(xiàn)，學生對一些具體的“圖形與幾何”問題在解決過程中存在一定的差異，對于同一表征的不同時期也存在差異。小學生頭腦中的表征系統(tǒng)存在著概念表征系統(tǒng)、命題表征系統(tǒng)、表象表征系統(tǒng)、圖式表征系統(tǒng)等，這些不同的表征方式對于“圖形與幾何”領(lǐng)域數(shù)學問題的解決起著決定性作用。

數(shù)學符號表征的目標是使學生建立公式的技能，通過這些公式和表達式去表示數(shù)學的意義。在“圖形與幾何”復(fù)習中，學生的數(shù)學符號表征存在一些問題，就“圓柱與圓錐的復(fù)習”而言，學生存在以下三種表現(xiàn)：一是不能選擇恰當?shù)姆栠M行數(shù)學表征，對于圓柱與圓錐的體積、面積公式容易混淆；二是能選擇單一的數(shù)學符號進行數(shù)學表征，但是在計算圓柱的底面積時很容易將半徑機械地理解成面積；三是能夠選擇一種可行的數(shù)學符號表征并能夠根據(jù)需要及時替換，在圓柱與圓錐的體積、面積之間靈活地相互轉(zhuǎn)化，理解數(shù)學符號表征的多樣化。

在教學“圓柱與圓錐的復(fù)習”時，對等體積等底的圓柱和圓錐而言，經(jīng)過數(shù)學表征與思考，我們不難得出結(jié)論：h錐=3h柱。在“圖形與幾何”領(lǐng)域用符號表征數(shù)學要注意兩點：一是學生用符號表達數(shù)學對象是一個由簡單到復(fù)雜、由具體到抽象的過程，這個過程需要教師創(chuàng)設(shè)生動活潑的教學情境和循序漸進的教學鋪墊為保障。二是數(shù)學符號的表達是多樣化的，我們允許學生用關(guān)系式、表格、圖像等不同方式表征，但多樣化與最優(yōu)化并不矛盾，我們要注重符號的生成性。

通過對數(shù)學符號的感知、數(shù)學符號的運算、數(shù)學符號的推理和數(shù)學符號的表征等方面的培養(yǎng)，學生符號意識的培養(yǎng)才會有扎實、有效的學習基礎(chǔ)，學生才會形成良好的數(shù)學符號意識，最終促進核心素養(yǎng)的發(fā)展。

（作者單位：浙江省永嘉縣甌北第一小學）

□責任編輯 周瑜芽

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